Nombre de Fermat

Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme 2 2 n + 1, avec n entier. Le n e nombre de Fermat, 2 2 n + 1, est noté F n.



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Suite d'entiers - Nombre premier - Arithmétique modulaire

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  • Les Nombres de Fermat cela au regard de certains résultats, que tout nombre de la forme Fn = 22n. +1, avec n entier naturel, était premier.... (source : les-mathematiques.u-strasbg)
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  • Bonsoir j'ai un dm sur les nombres de Fermat.... 2) vérifier si 641 est un nombre premier ou non (tu m'excuseras mais j'ai la flemme juste... (source : forums.futura-sciences)
Pierre de Fermat étudie les propriétés des nombres portant désormais son nom.

Un nombre de Fermat est un entier naturel qui peut s'écrire sous la forme 22n + 1, avec n entier. Le ne nombre de Fermat, 22n + 1, est noté Fn.

Ces nombres doivent leur nom au mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que l'ensemble des nombres de Fermat jusqu'à F32. Les seuls nombres de Fermat premiers connus sont par conséquent F0, F1, F2, F3 et F4, et on ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés.

Ces nombres disposent de propriétés intéressantes, généralement issues de l'arithmétique modulaire ; surtout, Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et uniquement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers différents.

Histoire

En 1640, dans une lettre adressée à Bernard Frénicle de Bessy (1605 - 1675) , Pierre de Fermat décrit, et certainement démontre son petit théorème : «Et cette proposition est le plus souvent vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long»[1]. Ce théorème lui permet d'étudier les nombres portant désormais son nom. Dans cette même lettre[2], il émet la conjecture que ces nombres sont tous premiers sans parvenir à trouver une preuve «... je n'ai pu toujours démontrer obligatoirement la vérité de cette proposition». Cette hypothèse le fascine, deux mois plus tard, dans une lettre à Marin Mersenne (1588 - 1648) , il rédige : «Si je puis une fois tenir la raison principale que 3, 5, 7, 17, 257, 65537... sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car j'ai déjà trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part»[3]. Il rédige toujours à Blaise Pascal (1623 - 1662)  : «je ne vous demanderais pas de travailler à cette question si j'avais pu la résoudre moi-même». Dans une lettre à K. Digby, non datée mais envoyée par Digby à Wallis le 16 juin 1658, Fermat donne toujours sa conjecture [4] comme non démontrée[5]. Cependant, dans une lettre de 1659 à Caracavi[6], il s'exprime en des termes qui, selon certains auteurs, impliquent qu'il estime avoir trouvé une démonstration[7].

Cette conjecture se révèlera fausse, c'est d'ailleurs l'unique conjecture erronée de Fermat. Leonhard Euler (1707 - 1783) présente[8] un diviseur de F5 en 1732. Il ne dévoile la construction de sa preuve[9] que quinze ans plus tard. Elle correspond précisément aux travaux de Fermat lui ayant permis de démontrer[10] en 1640 la non primalité des candidats de paramètres 23 et 37 pour les nombres de Mersenne.

Propriétés

Premières propriétés

La suite des nombres de Fermat possède plusieurs relations de récurrence. On peut citer par exemple si n est supérieur ou égal à 2 :

  • F_n \ = \ (F_{n - 1} -1)ˆ2 + 1 \quad ou \quad F_{n} = F_{n-1}ˆ2 - 2(F_{n-2}-1)ˆ2\;

Ou encore, avec des produits de nombres de Fermat :

  • F_n \ = \ \prod_{i=0}ˆ{n-1} F_i  \ + \ 2 \quad ou \quad F_{n} = F_{n-1} + 2ˆ{2ˆ{n-1}}\prod_{i=0}ˆ{n-2} F_i\;

On en déduit le théorème de Goldbach[11] affirmant que :

Soit D (n, b) le nombre de chiffres utilisés pour écrire Fn en base b.

  • La valeur de D (n, b) est donnée par la formule suivante :
D(n,b) = \lfloor \log_{b}\left(2ˆ{2ˆ{\overset{n}{}}}+1\right)+1 \rfloor \approx \lfloor 2ˆ{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor

Les crochets désignent la fonction partie entière et logb le logarithme de base b.

  • Aucun nombre de Fermat n'est somme de deux nombres premiers à l'exception de F1 = 2 + 3.
  • Aucun nombre de Fermat n'est la différence de deux puissances de nombres premiers impairs.
  • La somme des inverses de l'ensemble des nombres de Fermat est irrationnelle. [12]

Nombre de Fermat et primalité

La raison historique de l'étude des nombres de Fermat est la recherche de nombres premiers. Fermat connaissait déjà la proposition suivante :

  • Soit k un entier, le nombre 2k + 1 est un nombre premier uniquement si k est une puissance de deux.

Pierre de Fermat a conjecturé que la réciproque était vraie, il a montré que :

F0 = 3 est premier
F1 = 5 est premier
F2 = 17 est premier
F3 = 257 est premier
et F4 = 65537 est premier

Actuellement, on ne connaît que cinq nombres de Fermat premiers, ceux cités ci-dessus.

On ignore toujours s'il en existe d'autres, mais on sait que les nombres de Fermat Fn, pour n entre 5 et 32, sont tous composés ; F33 est le plus petit nombre de Fermat dont on ne sait pas s'il est premier ou composé.

Le plus grand nombre de Fermat dont on sait qu'il est composé est aujourd'hui F2 478 782.

Factorisation des nombres de Fermat composés

Euler utilise une méthode de Fermat pour démontrer que F5 n'est pas premier. Il démontre pour cela trois propositions :

  • Un facteur premier du nombre de Fermat Fn est de la forme k. 2 m + 1 où k est un entier impair, et m > = n + 2.
  • L'entier k de la proposition précédente possède un facteur premier impair.
  • F5 est divisible par 641.

Le cas général est un problème complexe du fait de la taille des entiers Fn, même pour des valeurs assez faibles de n. Aujourd'hui, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est F11 dont le plus grand des cinq diviseurs premiers a 560 chiffres (la factorisation complète de Fn, pour n entre 5 et 10, est , elle aussi, entièrement connue). En ce qui concerne F12, on sait qu'il est composé mais c'est le plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète (on ne connaît pour le moment que cinq des diviseurs premiers de F12). Quant à F14, c'est le plus petit nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premier.

Polygone régulier

Article détaillé : Polynôme cyclotomique.

Carl Friedrich Gauss a établi un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone régulier à n côtés peut être construit à la règle et au compas si et uniquement si n est une puissance de 2, ou le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers différents.

A titre d'exemple, le pentagone régulier est constructible à la règle et au compas puisque 5 est un nombre de Fermat premier ; de même, un polygone à 340 côtés est constructible à la règle et au compas puisque 340 = 22. F1. F2.

Généralisation

Il est envisageable de généraliser une partie des résultats obtenus pour les nombres de Fermat.

Pour que m = ab + 1 soit premier, a doit être pair (a = 2k) et b une puissance de 2 (b = 2n).

On nomme ces nombres les nombres de Fermat généralisés.

Notes et références

Notes

  1. Pierre de Fermat Lettre de Fermat à Frénicle du 18 octobre 1640 lire
  2. On cite aussi une lettre qu'on suppose être d'août 1640, où Fermat écrit : «Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis quasi persuadé que l'ensemble des nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5, 17, 257, 65537, 4 294 967 297 et le suivant de 20 lettres 18 446 744 073 709 551 617 ; etc. Je n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine à me dédire. » (Fermat, Lettre XLIII à Frénicle, août ? 1640, dans Œuvres de Fermat, t. 2, Paris, 1894, p. 206, en ligne. )
  3. Pierre de Fermat Correspondance Marin de Mersenne 25 Décembre 1640
  4. «Potestates omnes numeri 2, quarum exponentes sunt termini progressionis geometricæ ejusdem numeri 2, unitate auctæ, sunt numeri primi» «Toutes les puissances du nombre 2 dont les exposants sont des termes de la progression géométrique du même nombre 2, donnent, si on les augmente d'une unité, des nombres premiers».
  5. «propositiones aliquot quarum demonstrationem a nobis ignorari non diffitemur (... ) Quæritur demonstratio illius propositionis, pulchræ sane, sed et verissimæ» («quelques propositions dont nous ne nierons pas ignorer la démonstration (... ) Il reste à trouver une démonstration de cette proposition, sans doute belle mais également particulièrement vraie» Œuvres de Fermat, Paris, t. 2, Paris, 1894, en ligne, lettre XCVI, pp. 402-405.
  6. Œuvres de Fermat, Paris, t. 2, Paris, 1894, en ligne, lettre CI, point 5, pp. 433-434.
  7. C'est l'interprétation que donne H. M. Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer, 1977, p. 24, prenant position contre les vues contraires de E. T. Bell, The Last Problem, New York, 1961, p. 256.
  8. Leonhard Euler Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus Commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ (6) 1738 p 102-103 1732
  9. Leonhard Euler Theoremata circa divisors numerorum Novi commentarii academiæ scientiarum Petropolitanæ (1) 1750 p 20 à 48 1747/48
  10. N. Lippi and J. Frey Biographies of Mathematicians-Marin Mersenne Université de St Andrew 1998
  11. L. Durman Histoire des nombres de Fermat sur Distributed search for Fermat number divisors 2003
  12. S. W. Golomb On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities Canad. J. Math. 15 (1963), 475--478

Voir aussi

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