Nombre constructible

Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle et au compas.



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Type de nombre - Géométrie - Algèbre - Construction géométrique

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Le site des maths à petites doses : nombres constructibles.... Points et ensembles constructibles à la régle et au compas :... (source : homeomath.imingo)
  • Soit a et b deux nombres constructibles ; A et B les points constructibles..... Remarque : Le point I n'étant pas constructible à la «règle et au compas»... (source : pagesperso-orange)
  • Un point M du plan est dit constructible à la règle et au compas en une... à la règle et au compas si, et uniquement si, n=2kp1... pr, où pi est un nombre... (source : bibmath)

Un nombre constructible à la règle et au compas est la mesure d'une longueur associée à deux points constructibles à la règle (non graduée) et au compas. Ainsi, \sqrt{2} est un nombre constructible, mais ni \sqrt[3]{2} ni π ne le sont .

C'est du moins mais aussi le définissaient les mathématiciens grecs et tous ceux qui, à leur suite, ont cherché à déterminer quels étaient les points et les nombres constructibles de cette façon.

Du temps de la mathématique grecque, on distinguait les problèmes dont les solutions ne faisaient intervenir que des droites et des cercles dans le plan, de ceux faisant intervenir d'autres procédés (utilisation de courbes dites «mécaniques» telles la spirale d'Archimède ou les conchoïdes, utilisation de coniques pour les problèmes dits solides... ). Cette distinction est à la source de problèmes célèbres comme la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube.

Les mathématiciens, jusqu'au XVIIe siècle n'accordaient aucune réalité concrète aux nombres négatifs. Il est cependant commode d'appliquer la définition, non seulement à des longueurs, ainsi qu'à des coordonnées de points constructibles.

Définition d'un nombre constructible

On donne ici une définition mathématique précise de la notion de point constructible (sous-entendu, à la règle et au compas). Remarquons que ni le vocabulaire intermédiaire introduit ni les notations ne sont classiques. On les a introduits pour décomposer proprement ce concept mathématique.

Points constructibles

Points constructibles en 1 étape

Soit E un sous-ensemble du plan euclidien, qu'on assimile ici à \mathbb{R}ˆ2. On dit qu'un point P = (x, y) est constructible en 1 étape à partir de E si, et uniquement si, P est un point de E ou si P est dans l'intersection de deux objets quelconques parmi :

On note C1 (E) la totalité des points constructibles en 1 étape à partir de E.

On peut remarquer que si E est fini, alors, C1 (E) l'est aussi.

Points constructibles en n étapes

Partant des mêmes données, on définit, naturellement et par récurrence, la totalité Cn (E) des points constructibles en n étapes à partir de E. Pour n = 1, c'est la construction précédente. Sinon, on pose : C_{n+1}(E)=C_1 \left ( C_{n}(E)\right ).

Points constructibles

Enfin, comme on s'y attend, la totalité des points constructibles à partir de E, qu'on note C (E) , est la réunion (croissante) des Cn (E) , c'est-à-dire : un point P est dit constructible à partir de E s'il existe n tel que P soit constructible en n étapes.

C(E)=\bigcup_{n=1}ˆ{\infty}C_n(E)

Nombres constructibles

On se place dans le même cadre, c'est-à-dire le plan euclidien assimilé à \mathbb{R}ˆ2 ; on se donne E un sous-ensemble de \mathbb{R}ˆ2.

Un nombre x\in \mathbb{R} est dit constructible à partir de E s'il est l'abscisse d'un point constructible à partir de E.

Un nombre constructible est un nombre qui est constructible à partir de la totalité \left \{ (0,0), (0,1) \right \}.

Rappel sur quelques constructions envisageables

Article détaillé : Construction à la règle et au compas.

A l'aide d'une règle et d'un compas, on peut construire des cercles et des droites, évidemment, mais également des parallèles et des perpendiculaires :

Parallèle à une droite (AB) passant par un point C.
Parallele constructible.png

On construit le quatrième point X du parallélogramme ABCX en :

Perpendiculaire à une droite (AB) passant par un point C extérieur à cette droite ; symétrique d'un point C comparé à une droite (AB).
Perpendiculaire constructible.png

On utilise les propriétés des symétries axiales en traçant :

Ces cercles (si C n'appartient pas à la droite (AB) ), ont deux points d'intersection : C et un autre point C'tel que la droite (CC') est perpendiculaire à (AB). On peut remarquer que C'est le symétrique du point C comparé à la droite (AB).

Symétrique d'un point C comparé à un point A.

Le cercle de centre A passant par C et la droite (AC) ont deux points d'intersection : C et C', tel que C'est le symétrique de C comparé à A.

Opération sur les nombres constructibles

Addition

Somme constructible.png

Soustraction

Difference constructible.png

À condition que x > y

Multiplication

Produit constructible.png

Une simple utilisation du théorème de Thalès sert à dire que 1×z = x × y

Division

Quotient constructible.png

La même utilisation du théorème de Thalès sert à dire que

\frac{z}{1}=\frac{x}{y}

Ces observations permettent de dire que la totalité des nombres constructibles (si on accepte les distances négatives) est un corps commutatif. Les Grecs ont ainsi pu établir que l'ensemble des nombres rationnels positifs étaient constructibles. Mais leur première surprise est venue de la dernière opération.

Extraction de racine carrée

On utilise le fait que, dans un triangle rectangle en A, si H est le pied de la hauteur issue de A, on a

BH×BC = BA2

C'est une conséquence immédiate du fait que les triangles ABC et HAB sont semblables et de la propriété du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle.

Racine constructible.png

On trace par conséquent la longueur x = BC, puis le cercle de diamètre BC, puis le point H tel que BH = 1, puis la perpendiculaire à (BC) menée par H, puis le point A intersection de cette perpendiculaire avec le cercle. BA2 = 1×x assure que y = \sqrt{x}

Les racines carrées sont par conséquent constructibles.

Ensemble des nombres constructibles

Les opérations précédentes permettent par conséquent de dire que tout rationnel est constructible, mais également que la racine carrée d'un rationnel est constructible et même qu'on peut, avec de la patience, construire le nombre suivant :

5 + \sqrt{23-\frac{3/2 +\sqrt{17} }{\sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{2}}}}.

L'intuition semble dire que les seuls nombres constructibles sont ceux pouvant s'écrire seulement avec 5 opérations précédentes. Il faut attendre les travaux de Pierre-Laurent Wantzel, qui, grâce aux travaux de Gauss sur les polygones constructibles, peut énoncer son théorème de Wantzel et affirmer que les seuls nombres constructibles sont ceux de cette forme (plus précisément sont dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une... d'une extension quadratique de Q). Une telle construction se nomme une tour d'extension quadratique.

On peut exprimer ce résultat différemment : la totalité des nombres constructibles (à la règle et au compas) est le plus petit corps stable par racine carrée.

Grâce à ce théorème, tombent deux des problèmes de l'antiquité : la trisection de l'angle et la duplication du cube, qui reviennent à résoudre une équation de degré 3 (donc extension impaire). La totalité des nombres constructibles ne regroupe par conséquent qu'une petite partie de la totalité des nombres algébriques. L'article tour d'extension quadratique propose une démonstration rigoureuse de ces résultats.

Le problème de la quadrature du cercle tombera légèrement plus tard, lorsque Ferdinand von Lindemann aura prouvé en 1882 que π n'est pas algébrique, c'est-à-dire n'est solution d'aucune équation de degré n à cœfficients dans Q. le nombre π ne peut par conséquent pas se trouver dans une extension quadratique d'une extension quadratique d'une... d'une extension quadratique de Q.

Variantes de constructibilités et liens avec la constructibilité à la règle et au compas

On obtient des variantes de nombres constructibles :

Constructibilité seulement à la règle

Des points de bases étant donnés, un point est constructible à la règle s'il est point d'intersection de deux droites, chacune de ces deux droites passant par deux points qui sont des points de base ou des points déjà fabriqués.

Les propriétés d'une figure constructible sont conservées par projection centrale. Ce n'est pas le cas pour les milieux, les parallèles ou les symétries.

Il est démontré qu'il est impossible avec seulement une règle de construire le milieu d'un segment, de mener par un point une parallèle à une droite.

Cependant, le théorème de Poncelet-Steiner décrit que, si on se donne un cercle et son centre, alors il est envisageable avec la règle seule de construire tout point constructible à la règle et au compas. Il en est de même si on se donne deux cercles sécants sans leur centre, ou bien trois cercles non sécants. Ainsi, les centres de deux cercles sécants peuvent être déterminés avec la règle seule.

Voir exemples de constructions à la règle seule.

Constructibilité à la règle ainsi qu'à l'empan

L'empan permet seulement de reporter des segments de longueur unité sur une droite. Au moyen de la règle et de l'empan, on est capable de mener une parallèle à une droite donnée, passant par un point P donné, ce qu'on ne peut faire avec la règle seule[2].

Construction d'une parallèle avec la règle et l'empan

Soit A un point quelconque de la droite, [AB] et [BC] égaux à l'empan sur cette droite. Soit D un point de (AP). On trace (DB) et (PC) qui se coupent en E. On trace (Æ) et (DC) qui se coupent en F. (PF) est la parallèle cherchée.

Sachant tracer des parallèles, on sait aussi compléter un parallèlogramme à partir de trois de ces points et par conséquent reporter un segment de longueur quelconque sur une droite parallèle. D'une façon plus générale, on sait reporter un segment de longueur donnée sur une droite quelconque donnée.

Report d'un segment sur une droite avec la règle et l'empan

Soit le segment [AB] à reporter sur la droite (AC). On trace D et E tels que AD et Æ soient égaux à l'empan. On trace la droite (DE) puis la parallèle (BC) à (DE) passant par B. Le segment [AC] est le report cherché.

Il en résulte que les constructions à la règle ainsi qu'à l'empan sont équivalentes aux constructions à la règle et au compas à pointes sèches, traitées dans le paragraphe suivant.

Constructibilité à la règle et au compas à pointes sèches

Le compas à pointes sèches est un instrument servant à reporter des longueurs sur des droites, mais non de tracer des cercles. La totalité des nombres constructibles à la règle et au compas à pointes sèches est strictement inclus dans la totalité des nombres constructibles à la règle et au compas[3]. Il s'agit du plus petit corps contenant les rationnels et stable par la fonction x \to \sqrt{1 + xˆ2}. Ses éléments sont les nombres constructibles à la règle et au compas qui sont complètement réels[4]. \sqrt{2} et \sqrt{2+\sqrt{2}} sont constructibles à la règle et au compas à pointes sèches, mais \sqrt{1 + \sqrt{2}} ne l'est pas, tandis qu'il est constructible à la règle et au compas. Il en résulte que, si on peut construire avec la règle et le compas à pointes sèches un triangle rectangle dont on donne les longueurs des deux côtés de l'angle droit, on ne sait pas obligatoirement construire un triangle rectangle dont on connaît la longueur d'un côté et de l'hypothènuse. C'est à dire, la règle et le compas à pointes sèches permettent de construire la racine carrée de la somme de deux carrés, mais pas la racine carrée de la différence de deux carrés.

Les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas le sont aussi à la règle et au compas à pointes sèches.

Les nombres constructibles à la règle et au compas à pointes sèches sont aussi ceux qu'on peut construire avec une règle et un bissecteur d'angle (y compris de l'angle plat), ou encore en utilisant les axiomes 1), 2), 3) et 4) des origamis.

Voici quelques exemples de constructions.

Construction d'une bissectrice avec la règle et l'empan

Soit à tracer une bissectrice de (AB) et (AC). On porte les points D et E tels que AD = Æ. On trace les parallèles à (AB) et (AC) passant par D et E (ce qu'on sait faire). L'intersection de ces deux parallèles donne un point F tel que (AF) est bissectrice.

Construction d'une perpendiculaire avec la règle et l'empan

Soit à construire une perpendiculaire à une droite donnée. On prend A, B et C sur cette droite de façon que AB = BC. On trace aussi deux segments [BD] et [BE] de longueur égale à AB. Soit F l'intersection de (AD) et (CE). ADC est rectangle en D, et ÆC en E, de sorte que (Æ) et (CD) sont deux hauteurs du triangle ACF. Si H est l'intersection de (Æ) et (CD), il suffit de tracer (FH) pour avoir la troisième hauteur. On peut alors, quitte à tracer une parallèle à la perpendiculaire auparavant construite, tracer la perpendiculaire à la droite passant par un point donné.

Constructibilité seulement au compas

Le théorème de Mohr-Mascheroni, montré par Georg Mohr, puis par Lorenzo Mascheroni en 1797, affirme que si une construction géométrique est envisageable à la règle et au compas, alors elle est envisageable au compas seul.

Voir aussi le problème de Napoléon qui consiste à construire au compas seul le centre d'un cercle donné, mais aussi la construction du carré au compas seul.

Constructibilité par origami

Article détaillé : Mathématiques des origamis.

Les constructions par origami sont les constructions géométriques par pliages de papier. Dans leur développement le plus complet, ces constructions permettent de construire l'ensemble des nombres constructibles à la règle et au compas, mais également de trisecter un angle ou de dupliquer un cube. Les constructions par origami sont équivalentes aux constructions utilisant la règle et les coniques de foyer, de directrice et d'excentricité constructibles.

Constructibilité à la règle graduée et au compas

La règle graduée est une règle pourvue de deux graduations dont l'écart figure l'unité de longueur. Joint au compas, la règle graduée est plus puissante que les méthodes utilisant les intersections de coniques utilisées par les Grecs anciens pour résoudre les problèmes dits solides. Les deux instruments permettent de construire l'ensemble des points du plan complexe obtenus à partir des rationnels en itérant résolution d'équation du deuxième ou du troisième degré, et de résoudre certains problèmes faisant intervenir des équations du cinquième ou du sixième degré. Ils résolvent surtout les problèmes de la trisection de l'angle et de la duplication du cube et permettent par exemple la construction de l'heptagone régulier, de l'ennéagone régulier et des polygones réguliers de 13, 19 ou 27 côtés. Ils ne permettent pas de construire les polygones réguliers de 23, 29, 43 ou 47 côtés. La question reste ouverte pour les polygones réguliers de 11, 25, 31, 41 ou 61 côtés[5].

Voici par exemple comment on construit la racine cubique d'un nombre d inférieur à 1.

Racine cubique à la règle graduée et au compas

Soit OA = d, OF = 3d. On construit le triangle rectangle OAG de façon que AG soit égale à l'unité, longueur séparant les deux graduations de la règle. On trace la parallèle (AH) à (FG) passant par A. Toutes ces constructions se font à la règle et au compas. On utilise alors la règle graduée en la faisant passer par G, l'une des graduations devant être sur (AH), l'autre graduation sur (OA). Une fois cette disposition atteinte, AB est égal à 2d1 / 3.

La règle graduée permet des constructions par ajustement (ou neusis). On peut la faire passer par un point lorsqu'une des graduations parcourt une courbe (droite ou cercle) donnée, jusqu'à ce que l'autre graduation atteigne une autre courbe donnée. Cette deuxième graduation parcourt alors une conchoide de la première courbe, et l'utilisation de la règle graduée revient à accepter comme constructibles les intersections de conchoïde et de cercle, ou de conchoïde et de droite. Cependant, il n'y a pas de possibilité de tracer la conchoïde et la règle graduée ne permet pas de construire l'intersection de deux conchoïdes.

Voici par exemple comment on peut construire un angle de 2π / 7. On construit à la règle et au compas le cercle de centre [18/5,-2\sqrt{7}/5] et de rayon \sqrt{337}/5. On dispose la règle de manière à ce qu'elle passe par l'origine O, que la première graduation A soit sur la droite x = 1 et la seconde B sur le cercle. La règle forme alors un angle de 2π / 7 avec (OI) [6].

Construction de l'angle 2Pi/7 avec le compas et la règle graduée


Rajouter de nouvelles graduations à la règle comparé aux deux existantes n'apporte aucun bénéfice.

À lire

Voir aussi

Notes et références

  1. John W. Emert, Kat I. Meeks, Roger B. Nelson, Reflections on a mira, Amer. Math. Monthly, 101, n°6 (juin-juillet 1994), 544-549
  2. David Hilbert, Les fondements de la géométrie, rééd. Gabay (1995), p. 159-167
  3. Roger C. Alperin, Trisections and totally real origamis, Amer. Math. Monthly, 112, n°3, mars 2005, 200-211
  4. D. Auckly, J. Cleveland, Totally real origami and impossible paper folding, Amer. Math. Monthly, 102, n°3 (mars 1995), 215-226
  5. Arthur Baragar, Constructions using a compass and twice-notched straightedge, Amer. Math. Monthly, 109, n°2, (février 2002), 151-164
  6. Gérard Lavau, l'heptagone régulier, Feuille de Vigne, revue de l'IREM de Dijon, 86 (octobre 2002) 19-25


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