Nombre cardinal

En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les nombres entiers naturels pour pouvoir «compter» les éléments d'un ensemble, même illimité.



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Théorie des ensembles - Nombre cardinal

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En mathématiques, les nombres cardinaux, ou simplement cardinaux, généralisent les nombres entiers naturels pour pouvoir «compter» les éléments d'un ensemble, même illimité. On parle du cardinal d'un ensemble, qui, dans le cas des ensembles finis, est simplement son nombre d'éléments.

L'outil mathématique qui permet en premier lieuer la cardinalité est la bijection : deux ensembles ont même cardinal lorsque on peut les mettre en bijection, et on dit tandis qu'ils sont équipotents. Cette caractérisation est conforme à l'intuition pour les ensembles finis, et se généralise de façon satisfaisante aux ensembles illimités. Le point de départ de la théorie de la cardinalité pour les ensembles illimités fut un article de 1874 de Georg Cantor qui montrait que le continu, la totalité des réels, ne pouvait être mis en bijection avec la totalité des entiers naturels, et que par conséquent il existait des illimités différents du point de vue de la cardinalité.

Pour représenter un nombre cardinal en théorie des ensembles, on peut choisir un ensemble de référence parmi une classe d'ensembles équipotents entre eux. Ainsi on nomme dénombrable un ensemble équipotent à la totalité des entiers naturels. Pour un ensemble en bijection avec la totalité des réels, ont dit qu'il a la puissance du continu (puissance était utilisé dans le sens du cardinal, et a donné aussi équipotent). Une première théorie de la cardinalité peut se construire comme une théorie de la relation d'équipotence, sans définir ce qu'est vraiment un nombre cardinal en toute généralité.

Il existe plusieurs options pour définir la notion de nombre cardinal en toute généralité. Dans la théorie des ensembles ZFC (Zermelo-Frænkel avec axiome du choix) et ses extensions, on utilise une généralisation à l'infini des nombres entiers comme ils permettent de numéroter dans un certain ordre, les nombres ordinaux, dont la représentation en principe des ensembles est due à von Neumann. Dans ce cadre, un nombre cardinal est alors défini comme un nombre ordinal (de von Neumann) qui n'est équipotent à aucun ordinal qui lui soit strictement inférieur. L'ensemble des entiers naturels, qui sont aussi des ordinaux finis, sont des cardinaux en ce sens. Les autres cardinaux, qui sont les cardinaux illimités, sont énumérés ensuite ordinale des alephs, mais on ne peut pas placer exactement la puissance du continu sur cette échelle dans l'unique cadre de la théorie ZFC : c'est l'indépendance de l'hypothèse du continu.

En théorie des ensembles, les «grands cardinaux» permettent une extension naturelle de la théorie ZFC. L'étude de la cardinalité en théorie des ensembles est toujours un sujet de recherche actif.

Le concept

Les saisons, les points cardinaux, les fils Aymon, forment trois ensembles partageant une certaine qualité, qu'ils ne partagent pas avec la totalité des doigts de la main : on peut mettre en évidence cette qualité en faisant correspondre un à un les éléments respectifs de ces ensembles et dire qu'ils sont de cardinal «quatre»[1]. «Quatre» serait alors la signature de la propriété en question.

De la même façon la totalité des doigts de la main peut être mis en correspondance, élément par élément, avec la totalité des mots {«Amérique», «Afrique», «Antarctique», «Océanie», «Eurasie»} ; ces deux ensembles sont en un certain sens équivalents.

Cependant, il n'y a aucun moyen de mettre en correspondance «un à un» chaque point cardinal avec chaque doigt de la main; et par conséquent là on n'a pas affaire à des ensembles équivalents.

Ce qu'on nomme «cardinal» sera en quelque sorte la mesure de la «puissance» d'un ensemble.

Ainsi par conséquent, tant qu'on en reste au fini, les cardinaux apparaissent sous le double aspect de l'équivalence et de l'ordre : chacun d'eux est la signature d'une équivalence entre ensembles, mais entre eux ils sont ordonnés par taille.

On verra plus bas que la situation se complique quand on a affaire à des cardinaux illimités, ainsi l'affirmation que de deux cardinaux l'un doit être supérieur à l'autre, dépend de l'axiomatique choisie : c'est le problème de la comparabilité cardinale.

Définition de Frege

La relation d'équipotence étant réflexive, symétrique et transitive sur la classe des ensembles, chaque classe d'équivalence est nommée nombre cardinal ou simplement cardinal.

Cette définition qui paraît particulièrement naturelle se présente quelquefois dans les exposés élémentaires de la théorie des ensembles ; cependant son usage pose certains problèmes dans les théories usuelles, ainsi la classe des ensembles à un seul élément, qui serait le nombre "un", n'est pas un ensemble et n'est élément d'aucune classe ; de même la classe des ensembles à quatre éléments, etc, d'où l'impossibilité de même parler d'intervalles de nombres entiers naturels. Ces difficultés s'apparentent au paradoxe de Russell, qui fut d'ailleurs découvert lorsque ce dernier adressa une lettre critique à Frege. [2]

Définition classique

Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Frænkel (ZF), l'adjonction de l'axiome du choix (donnant la théorie ZFC) sert à définir le cardinal d'un ensemble comme le plus petit nombre ordinal qui lui est équipotent. Un nombre cardinal est alors un ordinal qui n'est équipotent à aucun de ses éléments.

S'il existe une injection d'un ensemble A dans un ensemble B alors il existe une injection de n'importe quel ensemble équipotent à A dans n'importe quel ensemble équipotent à B. Le théorème de Cantor-Bernstein sert à montrer que deux cardinaux sont égaux s'il existe une injection de chacun d'eux dans l'autre. Cette relation est par conséquent une relation d'ordre (partiel) sur les cardinaux. L'affirmation que l'ordre est total équivaut à l'axiome du choix.

Article détaillé : Ordinal de Hartogs.

L'ensemble vide et les ensembles d'entiers de la forme \left\{1, \dots, n\right\} forment des ensembles de cardinaux deux à deux différents.
Un ensemble est dit fini s'il est équipotent à l'un de ces ensembles, illimité dans le cas opposé. Tout cardinal fini est inférieur à tout cardinal illimité.

Sans l'axiome du choix, on ne peut associer un tel cardinal qu'aux ensembles qui peuvent être pourvus d'un bon ordre.

On note \mathrm{card}(\varnothing) = 0\ et \mathrm{card}\left(\left\{1, \dots, n\right\}\right) = n, de sorte que l'ordre sur les cardinaux prolonge l'ordre sur les entiers naturels.

La totalité vide est l'unique ensemble à n'être équipotent qu'à lui-même.

Avec la définition des entiers de Von Neumann, qui est le cas spécifique restreint au fini de la définition des ordinaux, un entier naturel n est la totalité de ses prédécesseurs n = \left\{0,1, \dots, n-1\right\}, surtout 0=\varnothing.

La suite ordinale des alephs énumère l'ensemble des nombres cardinaux (en ce sens) illimités.

Propriétés générales

Si f est une fonction de A dans B, alors \mathrm{card}(f(A)) \le \mathrm{card}(A).

Théorème essentiel

Il n'existe pas de surjection d'un ensemble E sur la totalité de ses parties \mathfrak P(E). Un ensemble n'est par conséquent jamais équipotent à la totalité de ses parties, quoiqu'il s'injecte dedans par la totalité des singletons de ses éléments, ce qui permet d'écrire :

\mathrm{card}(E) < \mathrm{card}(\mathfrak P(E)).

C'est le théorème de Cantor.

Ce résultat justifie le fait qu'il existe des illimités de cardinaux divers. Il donne même un procédé de construction d'une illimitété d'entre eux par itération.

Les cardinaux illimités sont représentés au moyen de la lettre hébraïque aleph \ \aleph. Le plus petit cardinal illimité est \ \aleph_0. C'est le cardinal de la totalité \ \mathbb N des entiers naturels, qui est aussi désigné comme nombre ordinal par ω. Le cardinal immédiatement supérieur est \ \aleph_1, etc. En général, un cardinal quelconque s'écrit \ \aleph_\alphaα est un ordinal.

Cardinal fini

Le cardinal d'un ensemble fini correspond par conséquent simplement au nombre d'éléments qu'il contient. A titre d'exemple, card ({1, 2, 5}) = 3.

Toute partie d'un ensemble fini est finie.

Cardinal illimité

Si A est illimité alors \mathrm{card}(\mathfrak P(A)) est noté 2card (A) par ressemblance avec le cas fini.

Exemples

<img class=, on le note aussi \mathfrak c, dit cardinal du continu.
  • Cependant, la totalité des entiers naturels et la totalité des rationnels sont équipotents.
\mathrm{card} (\mathbb{N}) = \mathrm{card} (\mathbb{Q}).
Article détaillé : Ensemble dénombrable.
  • De même que \mathbb{N}ˆk s'injecte dans \mathbb{N}\, pour tout entier k, \mathbb{R}ˆk\, s'injecte dans \mathbb{R}\,, donc le cardinal de \mathbb{R}ˆk\, est égal à \mathfrak c, cardinal de \mathbb{R}\,. Démonstration succincte : on montre que [0, 1]2 s'injecte dans [0, 1] (d'où le fait que \mathbb{R}ˆ2 puis \mathbb{R}ˆk par récurrence s'injecte dans \mathbb{R}\,, l'existence d'une bijection provenant du théorème de Cantor-Bernstein). Pour cela, il suffit d'écrire tout élément de [0, 1] comme suite de 0 et de 1 (développement binaire). L'image d'un élément de [0, 1]2 est constitué en intercalant successivement chaque chiffre du développement binaire du premier et second nombre. On vérifie aisément que c'est une application injective (en prenant garde cependant aux problèmes de non unicité du développement binaire). En utilisant un raisonnement identique, on montre que la totalité des suites de réels est de cardinal \mathfrak c.
  • Le cardinal de la totalité des fonctions continues de \mathbb R dans \mathbb R est égal à \mathfrak c, cardinal de \mathbb R. Ceci découle de la proposition précédente, car la totalité des fonctions réelles continues a au plus la puissance de \mathbb{R}ˆ\mathbb{Q} (et au moins celle du continu).
  • Le cardinal de la totalité des fonctions de \mathbb R dans \mathbb R est <img class=Propriétés
    • Un ensemble A est illimité si et uniquement si \mathrm{card}(A) = \mathrm{card}(A \cup \{A\}).
    • Si A est illimité et si \mathfrak F(A) sert à désigner la totalité des parties finies de A, alors \mathrm{card}(A) = \mathrm{card}(\mathfrak F(A)).
    • Si A est illimité et B non vide, alors \mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A \times B) = \max(\mathrm{card}(A), \mathrm{card}(B)).
    • Si B est inclus dans A illimité avec card (B) < card(A) , alors \ \mathrm{card}(A-B)=\mathrm{card}(A).
    • Si A est illimité, alors \mathrm{card}(A \times A) = \mathrm{card}(A)
    • Si A est illimité et si 2 \le \mathrm{card}(B) \le \mathrm{card}(A), alors \ \mathrm{card}(BˆA) = 2ˆ{\mathrm{card}(A)}BA sert à désigner la totalité des fonctions de A dans B.

    Cardinal inaccessible

    Article détaillé : Cardinal inaccessible.

    L'accessibilité est la possibilité d'atteindre un ordinal ou un cardinal donné à partir des ordinaux plus petits.
    Un ordinal α est dit cofinal avec un ordinal β inférieur s'il existe une application strictement croissante f de β dans α tel que α soit la limite de f au sens suivant :

    \forall \gamma \in \alpha, \exists \delta \in \beta, \gamma \le f(\delta)

    A titre d'exemple, \aleph_0 n'est cofinal avec aucun ordinal strictement plus petit, puisqu'un ordinal inférieur à \aleph_0 est un entier n = {0, 1, ..., n − 1} et qu'une application strictement croissante définie sur {0, 1, ..., n − 1} est bornée. Le cardinal \aleph_0 est dit alors régulier, c'est le cas de l'ensemble des cardinaux successeurs.

    Par contre, le cardinal \aleph_{\omega} est cofinal avec ω au moyen de l'application f : n \in \omega \mapsto \aleph_n.
    Ce cardinal \aleph_{\omega} est dit alors singulier.

    En notant cf (α) le plus petit ordinal pour lequel α est cofinal, on obtient \mathrm{cf}(\omega) = \mathrm{cf}(\aleph_{\omega}) = \omega.

    Les cardinaux se classent alors comme suit :

    • ceux de la forme \aleph_{\alpha+1}, indexés par un ordinal α + 1 successeur d'un ordinal α ;
    • ceux de la forme \aleph_\alpha, indexés par un ordinal α limite et qui sont singuliers ;
    • ceux de la forme \aleph_\alpha, indexés par un ordinal α limite et qui sont réguliers.

    Ce dernier type de cardinal est qualifié de faiblement inaccessibles car ils ne peuvent être fabriqués à partir de cardinaux plus petits. On peut distinguer parmi eux les cardinaux fortement inaccessibles qui vérifient de plus \mathrm{card}(x) < \aleph_{\alpha} \Longrightarrow 2ˆ{\mathrm{card}(x)} < \aleph_{\alpha}. L'existence de tels cardinaux ne peut se déduire des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.
    Les deux premiers types de cardinaux sont qualifiés au contraire d'accessibles, car on peut les construire (dans ZFC) à partir de cardinaux plus petits qu'eux.

    Hypothèse du continu

    L'inégalité \mathrm{card} (\mathbb{N}) = \aleph_0 < \mathrm{card} (\mathbb{R}) = 2ˆ{\aleph_0} montrée ci-dessus permet d'écrire \aleph_1 \le 2ˆ{\aleph_0} puisque \aleph_1 est le plus petit cardinal strictement supérieur à \aleph_0.

    L'hypothèse du continu affirme l'égalité \aleph_1 = 2ˆ{\aleph_0}. On montre que cette propriété est indécidable dans ZFC. Par extension, l'hypothèse généralisée du continu décrit que, pour tout ordinal α, on a \aleph_{\alpha+1} = 2ˆ{\aleph_{\alpha}}.

    Les résultats suivants s'obtiennent en admettant comme axiome l'hypothèse généralisée du continu.

    • Il y a équivalence entre les notions de cardinaux faiblement inaccessibles et fortement inaccessibles.
    • En notant \aleph_{\alpha}ˆ{\aleph_{\beta}} la totalité des fonctions de \aleph_{\beta} dans \aleph_{\alpha}, il vient
      • \mathrm{card}(\aleph_{\alpha}ˆ{\aleph_{\beta}}) = \aleph_{\alpha} si \aleph_{\beta} < {\rm cf}(\aleph_{\alpha}) ;
      • \mathrm{card}(\aleph_{\alpha}ˆ{\aleph_{\beta}}) = \aleph_{\alpha+1} si {\rm cf}(\aleph_{\alpha}) \le \aleph_{\beta} \le \aleph_{\alpha} ;
      • \mathrm{card}(\aleph_{\alpha}ˆ{\aleph_{\beta}}) = \aleph_{\beta+1} si \aleph_{\alpha} \le \aleph_{\beta}.

    Une reformulation de l'hypothèse du continu est que R, la totalité des réels, est bien ordonnable de type ℵ1. C'est un énoncé plus fort que le simple fait que R peut être bien ordonné, qui équivaut dans ZF à l'axiome du choix sur les sous-ensembles des réels.

    Une forme forte de l'hypothèse généralisée du continu, énoncée pour des ensembles illimités quelconques, a pour conséquence l'axiome du choix (voir l'article Ordinal de Hartogs).

    Notes et références

    1. R. Maillard, G. Girard, A. Lentin, Mathématiques, classe de seconde, 1964
    2. Une solution, due à Dana S. Scott, consiste à utiliser la totalité des x de rang minimum contenus dans une telle classe, ce qui suppose l'axiome de fondation.


    Voir aussi

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