Nombre algébrique

Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d'une équation algébrique à cœfficients entiers.



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Théorie algébrique des nombres - Type de nombre

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  • Un nombre (réel ou complexe) est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale du type (1) à cœfficients entiers (ou rationnels : cela... (source : serge.mehl.free)

Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d'une équation algébrique (c'est à dire racine d'un polynôme différent de zéro) à cœfficients entiers (ou de manière équivalente, à cœfficients rationnels). Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer les nombres algébriques dans d'autres corps, tel que le corps des nombres p-adiques. Les éléments d'un corps de nombres sont (par définition) des nombres algébriques.

Le polynôme irréductible unitaire ayant un tel nombre pour racine est nommé polynôme minimal de ce nombre. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent est l'objet de la théorie de Galois.

Exemples

Propriétés

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont nommés nombres transcendants. Presque tous les nombres complexes sont transcendants, parce que la totalité des nombres algébriques est dénombrable alors que la totalité des nombres complexes, et donc aussi la totalité des nombres transcendants, ne l'est pas. Les exemples les plus connus de nombres transcendants sont \pi\, et e\,. D'autres exemples sont apportés par le théorème de Gelfond-Schneider.

Tous les nombres algébriques sont calculables.

Si un nombre algébrique est racine d'une équation polynômiale de degré n, et s'il n'est racine d'aucune équation polynômiale de degré strictement inférieur à n, on dit que c'est un nombre algébrique de degré n. A titre d'exemple, les nombres algébriques de degré 1 sont les rationnels ; i et \sqrt{2} sont algébriques de degré 2.

Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à des extensions de corps arbitraires; les éléments dans de telles extensions qui satisfont aux équations polynômiales sont nommés des éléments algébriques.

Le corps des nombres algébriques

La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres algébriques sont toujours algébriques (ce résultat n'est nullement évident ; la façon la plus simple de le démontrer passe par l'utilisation du résultant)  ; donc, les nombres algébriques forment un corps, généralement noté \overline\mathbb{Q}  ; il est inclus dans \mathbb{C}. On a  \overline\mathbb{Q} \neq \mathbb{C} : en effet, il est connu que la totalité  \overline\mathbb{Q} est dénombrable, tandis que \mathbb{C} ne l'est pas. Il en résulte l'existence de nombres qui ne sont pas algébriques : on dit qu'ils sont transcendants. On peut montrer que chaque racine d'une équation polynômiale dont les cœfficients sont des nombres algébriques est toujours algébrique. Ceci peut être reformulé en disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos. En réalité, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant les nombres rationnels, et il est donc nommé clôture algébrique du corps \mathbb{Q} des rationnels.

Tous les énoncés ci-dessus sont particulièrement aisément démontrés dans le contexte général des éléments algébriques d'une extension de corps.

Nombres définis par des radicaux

Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des entiers en utilisant un nombre fini d'additions, de soustractions, de multiplications, de divisions et d'extractions de racines n-ièmes (où n est un nombre entier positif) sont algébriques. La réciproque, néanmoins, n'est pas vraie : il existe des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière (c'est le théorème d'Abel–Ruffini) ; selon la théorie de Galois, tous ces nombres sont de degré supérieur ou égal à 5. Un exemple d'un tel nombre est l'unique racine réelle de xˆ5-x-1=0\,.

Article détaillé : équation quintique.

Entiers algébriques

Article détaillé : entier algébrique.

Un nombre algébrique qui satisfait une équation polynômiale de degré n à cœfficients ai appartenant à la totalité \mathbb{Z} des entiers, dont le premier cœfficient an vaut 1 (c'est-à-dire qui est racine d'un polynôme monique), est nommé un entier algébrique. Ainsi, 3+2\sqrt{2}\, , racine de x2 − 6x + 1 et 2∼-∼5i\,, racine de x2 − 4x + 29, sont des entiers algébriques ; il en est de même du nombre d'or \frac{1+\sqrt 5}{2}, qui est racine de x2x − 1 ; ce dernier exemple montre que les "cœfficients" d'un entier algébrique peuvent ne pas être entiers ; cette question est développée dans l'article consacré aux entiers quadratiques.

La somme, la différence et le produit d'entiers algébriques sont toujours des entiers algébriques, ce qui veut dire que les entiers algébriques forment un anneau. Le nom entier algébrique provient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans tout corps de nombres sont sous bien des aspects analogues aux entiers. Si \mathbb{K}\, est un corps de nombres, son anneau d'entiers est le sous-anneau des entiers algébriques dans \mathbb{K}\,, et est souvent noté \mathcal{O}_{\mathbb{K}}\,. Ces anneaux sont les exemples les plus typiques d'anneaux de Dedekind.

Généralisation

D'une façon plus générale : soient \mathbb{K} un corps, et \mathbb{L} une extension de \mathbb{K}. Un élément de \mathbb{L} est dit algébrique sur \mathbb{K} s'il est racine d'une équation polynomiale à cœfficients dans \mathbb{K}, non tous nuls ; il est dit transcendant sur \mathbb{K} dans le cas opposé.

La définition donnée plus haut s'obtient dans le cas spécifique où \mathbb{K} est le corps \mathbb{Q} des rationnels et \mathbb{L} est le corps \mathbb{C} des nombres complexes.

Classes spécifiques de nombres algébriques

  • Entier de Gauss
  • Entier d'Eisenstein
  • Entier de Dirichlet
  • Entier quadratique
  • Entier algébrique
  • Racine de l'unité
  • Période de Gauss
  • Nombre de Pisot-Vijayaraghavan
  • Nombre de Salem

Lien externe

Voir aussi

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