Moyenne

La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'aurait chacun des membres de la totalité s'ils étaient tous semblables sans changer la dimension globale de la totalité.

Catégories :

Moyenne - Mathématiques élémentaires

Définitions :

valeur centrale d'une distribution, résultant de la division de la somme des valeurs par l'effectif.... (source : parisbalades)

La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'aurait chacun des membres de la totalité s'ils étaient tous semblables sans changer la dimension globale de la totalité. Il y a plusieurs façons de calculer la moyenne d'un ensemble de valeurs, choisies selon la grandeur physique que représentent ces nombres. Dans le langage familier, le terme moyenne réfère le plus souvent à la moyenne arithmétique.

Que représente la moyenne ?

En Statistique

La moyenne est la valeur unique que devraient avoir l'ensemble des individus d'une population (ou d'un échantillon) pour que leur total soit inchangé. C'est un critère de position.

Dans la majorité des cas, le total constitué par les individus d'une population est la somme de leurs valeurs. La moyenne est alors la moyenne arithmétique. Mais si le total représenté par une population ou un échantillon n'est pas la somme de leurs valeurs, la moyenne pertinente ne sera plus la moyenne arithmétique.

Si, par exemple, le total d'un ensemble d'individus est calculé par l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses (cas des vitesses d'un ensemble de fractions d'un trajet, par exemple), on doit calculer leur moyenne harmonique.

Si, par exemple, le total d'un ensemble d'individus est le produit de leurs valeurs, il convient de calculer leur moyenne géométrique.

On rencontre, en physique, de multiples moyennes : La capacité moyenne d'un ensemble de condensateurs en série est la moyenne harmonique de leurs capacités.

La moyenne ne peut par conséquent se concevoir que pour une variable quantitative. On ne peut pas faire le total des valeurs d'une variable qualitative. Lorsque la variable est ordinale, on lui préférera la médiane.

Exemple de la moyenne scolaire

La moyenne est énormément utilisée en évaluation scolaire. Dans de nombreux dispositifs scolaires, une partie de l'évaluation des élèves débouche sur une note chiffrée, par exemple

en France : de 0 à 10 ou de 0 à 20 (0 étant la plus mauvaise note, 10 ou 20 la meilleure) ;
en Allemagne : de 6 à 1 (6 étant la plus mauvaise note, 1 la meilleure) ;
en Suisse : de 1 à 6 (1 étant la plus mauvaise note, 6 la meilleure) ;
au Maroc : de 0 à 10 ou de 0 à 20 (0 est la plus mauvaise note, 10 ou 20 la meilleure) ;
au Canada : de 0 à 100 (100 étant la meilleure note et 0 la plus mauvaise).

On peut alors calculer la moyenne des notes d'une classe dans une matière, ou la moyenne des notes d'un élève dans une matière. Ces moyennes ont des sens différents :

la moyenne de la classe est censée représenter un «niveau global», si tant est que cela ait un sens ;
dans le cas d'un examen de grande ampleur, comme par exemple le Baccalauréat, où de nombreux élèves passent la même épreuve mais sont corrigés par différents professeurs, la différence des moyennes entre les groupes peut indiquer une différence de correction selon le professeur (certains étant plus sévères, d'autres plus tolérants), et on peut par exemple effectuer une correction de notes, une «mise en correction», pour que les groupes aient tous la même moyenne ; par exemple, si m₁, m₂… sont les moyennes des groupes et M la moyenne globale, alors les notes du groupe i seront multipliées par M/m_i ;
dans le cas d'un élève : la moyenne des notes sur une matière sert à niveler les résultats ; ainsi, si les résultats sont fluctuants, les faiblesses d'un moment sont rattrapées par les réussites d'un autre moment ;
la moyenne des notes d'un élève dans plusieurs matières est une autre manière de niveler les résultats, non plus dans le temps mais selon la matière : les points forts rattrapent les points faibles ; la moyenne est alors un critère de sélection, sachant que ce qu'on demande d'un élève, ce n'est pas qu'il soit bon partout, mais qu'il ait des qualités servant à rattraper ses défauts ; quand certaines matières sont plus importantes que d'autres, on applique des cœfficients de pondération (cf. infra).

Dans ces exemples, la moyenne est un lissage des valeurs. On peut évidemment se demander si la moyenne est un critère pertinent de sélection (voir Évaluation sommative) ; généralement, ce n'est pas l'unique critère qui entre en compte, à l'exception de certains examens et concours.

En Géométrie

En géométrie, la moyenne correspond à la notion d'isobarycentre. Quand on veut décrire le comportement de plusieurs objets, il est quelquefois envisageable de les remplacer par un objet fictif dont les propriétés (telle la position dans l'espace) sont la moyenne des propriétés des différents objets. En mécanique rationnelle, cet objet fictif est nommé centre de masse de la totalité des objets reconnus. En réalité, étant donné que les objets ont généralement des masses différentes, la notion de centre de masse correspond plutôt à la notion géométrique de barycentre, qui est une sorte de moyenne pondérée (voir plus loin).

En Probabilités

Quand les valeurs sont aléatoires, la moyenne est nommée «espérance». Si on peut déterminer une loi statistique de cette variable aléatoire, l'espérance est généralement un des paramètres fondamentaux de cette loi.

Les différentes moyennes

Selon la manière dont le'total'des individus est calculé (voir ci-dessus en Statistique), il existe différentes moyennes :

Moyenne arithmétique

Article détaillé : Moyenne arithmétique.

La moyenne arithmétique est la moyenne «ordinaire», c'est-à-dire la somme des valeurs numériques (de la liste) divisée par le nombre de ces valeurs numériques. Exemple : la hauteur moyenne des toits d'une rue.

$\bar{x} = {1 \over n} \sum_{i=1}ˆn{x_i}$

La moyenne arithmétique se note A (x) lorsque des moyennes différentes sont présentes.

Si les valeurs sont affectées de cœfficients, on peut définir la moyenne arithmétique pondérée :

Étant donné en ensemble de données

$X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\},$

mais aussi les poids non-négatifs correspondants

$W = \{w_1, w_2, \dots, w_n\},$

la moyenne arithmétique pondérée $\bar{x}$ est calculée suivant la formule :

$\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}ˆn w_i x_i}{\sum_{i=1}ˆn w_i}$ , quotient de la somme pondérée des

x i

par la somme des poids;

Moyenne géométrique

Article détaillé : Moyenne géométrique.

La moyenne géométrique est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}ˆn{x_i}}$

On peut illustrer la moyenne géométrique avec les deux cas suivants :

Si l'inflation d'un pays est de 5% la première année et de 15% la suivante, l'augmentation moyenne des prix se calcule grâce à la moyenne géométrique des cœfficients multiplicateurs 1, 05 et 1, 15 soit une augmentation moyenne de 9, 88% et non grâce à la moyenne arithmétique 10% (réponse intuitive).
Le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen à deux côtés égaux) qui a même surface (le total reconnu ici) qu'un rectangle de côtés 3 et 7 a pour côté la moyenne géométrique des deux côtés du rectangle $\sqrt[2]{3*7}$ = 4, 5826. (voir le même exemple mais en moyenne quadratique).

La moyenne géométrique se note G (x) lorsque des moyennes différentes sont présentes.

Il existe une moyenne géométrique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données

$X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ ,

mais aussi les poids correspondants

$W = \{ w_1, w_2, \dots, w_n\}$ ,

la moyenne géométrique pondérée est calculée comme étant :

$\bar{x} = \left(\prod_{i=1}ˆn x_iˆ{w_i}\right)ˆ{1 / \sum_{i=1}ˆn w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}ˆn w_i} \; \sum_{i=1}ˆn w_i \ln x_i \right)$

Moyenne harmonique

Article détaillé : Moyenne harmonique.

La moyenne harmonique est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = \frac{n}{\sum_{i=1}ˆn \frac{1}{x_i}}$

Si un train fait un trajet aller-retour entre 2 villes à la vitesse constante $v 1$ pour l'aller ainsi qu'à la vitesse constante $v 2$ au retour, la vitesse moyenne du trajet total n'est pas la moyenne arithmétique des 2 vitesses, mais leur moyenne harmonique.

La moyenne harmonique se note H (x) lorsque des moyennes différentes sont présentes.

Il existe une moyenne harmonique pondérée, définie ci-dessous.

Étant donné en ensemble de données

$X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ ,

mais aussi les poids correspondants,

$W = \{ w_1, w_2, \dots, w_n\}$

la moyenne harmonique pondérée est calculée comme étant :

$\bar{x} = \sum_{i=1}ˆn w_i \bigg/ \sum_{i=1}ˆn \frac{w_i}{x_i}$

Moyenne quadratique

La moyenne quadratique, ou RMS (pour Root Mean Square), est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn{x_iˆ2}}$

Exemple : Si un rectangle a pour côtés 3 et 7, le carré (c'est-à-dire le rectangle moyen) qui a même diagonale (le total reconnu ici) que ce rectangle, a pour côté la moyenne quadratique de 3 et 7, c'est-à-dire 5, 3852.

La racine carrée de la moyenne du carré des valeurs instantanées d'une grandeur est nommée valeur quadratique moyenne, ou encore (par ressemblance avec l'électricité) valeur efficace.

La moyenne quadratique se note Q (x) lorsque des moyennes différentes sont présentes.

Comparaison entre les moyennes précédentes

Article détaillé : Inégalité arithmético-géométrique.

Si a et b sont deux réels strictement positifs tels que a < b, alors on a :

$a < H ( a , b ) < G ( a , b ) < A ( a , b ) < Q ( a , b ) < b \,$

Pour démontrer ces comparaisons et les généraliser, on fait appel à la notion de fonction convexe.

Moyenne énergétique

La moyenne énergétique est définie de la manière suivante :

$\bar{x} = 10.log_{10} ( \frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn{10ˆ{x_i / 10}} ) \,$

C'est la moyenne de valeurs données en décibels, par exemple en acoustique.

Cas général

Si nous notons $*\,$ la loi de composition qui donne le total pour deux individus, alors la valeur moyenne $\bar{x}_*$ de n individus est la valeur, la même pour tous, qu'ils devraient avoir pour que leur total suivant la loi $*\,$ reste inchangé; c'est par conséquent la solution de l'équation :

$\bar{x}_* * \bar{x}_* * ... * \bar{x}_* = x_1 * x_2 * ... * x_n$

Cette équation peut être résolue s'il existe un isomorphisme (que nous noterons $\phi \,$ ) ramenant la loi $*\,$ à l'addition.

Rappelons qu'un isomorphisme est une bijection telle que l'image d'un composé est le composé des images, c'est-à-dire que, pour tout x et tout y :

$\phi ( x * y ) = \phi ( x ) + \phi ( y ) \,$

Nous pouvons alors écrire :

$\bar{x}_* = \phiˆ{-1} ( \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn{\phi ( x_i )} ) \,$

Cette formule généralise et synthétise l'ensemble des cas qui ont précédé. Nous retrouvons par exemple :

la moyenne énergétique si :

$\phi ( x ) = 10ˆ{x / 10} \,$ ;

ou la moyenne géométrique quand :

$\phi ( x ) = Ln ( x ) \,$ .

Un cas spécifique important est celui où l'isomorphisme $\phi \,$ est une fonction puissance, c'est-à-dire que, pour tout x :

$\phi ( x ) = xˆm \,$

La moyenne, notée dans ce cas $\bar{x}_m$ , s'exprime alors selon la formule :

$\bar{x}_m = \sqrt[m]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn{x_iˆm}}$

où on retrouve :

pour m = 1, la moyenne arithmétique,
pour m = 2, la moyenne quadratique,
pour m = -1, la moyenne harmonique;
quand m → 0, la limite de $\bar{x}_m$ est la moyenne géométrique;
quand m → +∞, la limite de $\bar{x}_m$ est le maximum de la série.
quand m → -∞, la limite de $\bar{x}_m$ est le minimum de la série.

Extensions de la notion de moyenne

Au delà des définitions précédentes de moyenne, il existe d'autres approches plus étendues pour cette notion :

Moyenne glissante

Article détaillé : Moyenne glissante.

La moyenne glissante est une notion statistique, où la moyenne au lieu d'être calculée sur n valeurs fixes, est calculée sur n valeurs consécutives «glissantes».

Ce type de calcul est aussi utilisé en informatique pour minimiser la taille mémoire indispensable au stockage des valeurs intermédiaires. Différentes formules de moyennes glissantes existent, par exemple pour une moyenne glissante de période n :

$\bar{x}_0 = x_0$ (une moyenne glissante de période 0 ne prend qu'un terme)

$\bar{x}_n = \frac{\bar{x}_{n-1} \cdot (n-1) + x_n}{n}$ (formule de récurrence)

Moyenne réduite

C'est une fonction disponible dans le logiciel Excel qui permet de exclure des valeurs hors norme qui faussent la moyenne. La syntaxe est la suivante : MOYENNE. REDUITE (matrice;pourcentage) La donnée "matrice" est tout simplement la plage de donnée sur laquelle porte le calcul de moyenne. Le pourcentage est une donnée qui donne à la fonction l'information sur le nombre de valeurs à exclure. Ce nombre est arrondi au nombre pair le plus proche car la fonction enlève toujours un nombre de plus grandes valeurs et un même nombre de plus petite valeurs, ce qui en tout fait un nombre pair de valeurs à exclure.

Moyenne pondérée

Article détaillé : Moyenne pondérée.

La moyenne pondérée est utilisée, en géométrie pour localiser le barycentre d'un polygone, en physique pour déterminer le centre de gravité ou en statistique et probabilité pour calculer une espérance. On la calcule ainsi :

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}ˆn{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}ˆn {w_i}}$

Dans le cas général le poids $w i$ représente l'influence de l'élément $x i$ comparé aux autres.

A noter qu'il s'agit ici de la moyenne pondérée arithmétique. Il existe aussi des versions pondérées des autres moyennes, comme la moyenne géométrique pondérée et la moyenne harmonique pondérée.

Valeur moyenne d'une fonction

Pour toute fonction continue (ou même uniquement continue par morceaux) sur un segment [a, b] non vide et non trivial (ie b > a), la valeur moyenne de ƒ sur [a, b] est le réel m défini par :

$m = \frac{1}{b-a} \times \int_{a}ˆ{b} f(x)\, dx$

Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre illimité de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique : c'est la composante constante. En traitement du signal, pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset) .

On peut aussi, par ressemblance avec les moyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter «à chacune des valeurs prises par la fonction» un cœfficient strictement positif. On utilise alors ce qu'on nomme une fonction poids

$w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb Rˆ{+*}$

(w pour l'd'origine de weight, poids en anglais) :

$m_w = \frac{\int_{a}ˆ{b} f(x) \cdot w(x)\, dx}{\int_{a}ˆ{b} w(x)\, dx}$ .

Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (ie aucune de ses limites n'est illimitée) où la fonction ƒ×w est intégrable. On peut citer l'exemple classique permettant de montrer l'orthogonalité de la famille des polynômes de Tchebychev :

${2\over \pi}\,\int_{[0,1[}{T_n(x) \cdot T_p(x)\over\sqrt{1-xˆ2}}\,dx$

où la fonction T_n×T_p est continue sur le fermé [0, 1] et où la fonction poids est

$w:\,\mathbb R \longrightarrow\mathbb Rˆ{+*},\;x\mapsto {1\over\sqrt{1-xˆ2}}$

est intégrable sur [0, 1[, et dont l'intégrale vaut $\pi\over 2$ .

Nota : Quand la fonction est périodique de période T, elle a la même valeur moyenne sur toute période [a, a + T]. Cette valeur commune est nommée valeur moyenne de la fonction. Ainsi la fonction cosinus est de moyenne nulle, son carré de moyenne 1/2.

La médiane, alternative à la moyenne

Généralement, la moyenne n'est pas nécessairement une manière pertinente de représenter les données. On peut, par exemple, lui préférer la valeur médiane qui est la valeur à laquelle 50% des valeurs observées sont inférieures. La médiane n'est pas (sauf exception ou hasard) équivalente à la moyenne arithmétique de la totalité. En supposant qu'on ait, au préalable, rangé les valeurs observées de sorte qu'elles se trouvent indexées suivant l'ordre des valeurs croissantes $(x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots,\ x_i,\ x_{i+1}\ \ldots)$ :

pour un nombre pair 2n de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, soit $(x n + x n + 1) / 2$ , ou toute autre valeur strictement comprise entre $x n$ et $x n + 1$
pour un nombre impair 2n+1 de valeurs, la médiane est unique et égale à $x n + 1$ .

Exemples numériques

Moyenne simple

Sur un relevé de notes (moyenne scolaire), on peut lire : 13, 14, 15, 8, 20.

La moyenne est $\frac{13 + 14 + 15 + 8 + 20}{5} = 14$

Moyenne pondérée

Sur un relevé de notes on peut lire 10 (cœfficient : 2), 16 (cœfficient : 1), 9 (cœfficient : 3).

La moyenne pondérée est $\frac{10\times2 + 16\times1 + 9\times3}{2 + 1 + 3} = 10,5$

Voir aussi

Statistiques élémentaires : Critères de position
Les Moyennes / Charles Antoine. - Paris : P. U. F., 1998. - (Que sais-je ? ; 3383)
Moyenne selon une loi de composition / Charles ANTOINE / Revue : Mathématiques et sciences humaines (EHESS) : http ://msh. revues. org/document2816. html

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