Méthode de la transformée inverse

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.



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Probabilités

La méthode de la transformée inverse est une méthode informatique pour produire une suite de nombres aléatoires de distribution donnée, à partir de l'expression de sa fonction de répartition.

Le problème auquel s'adresse cette méthode est le suivant :

Soit X une variable aléatoire dont la distribution est décrite par la fonction de répartition F (x)  ;
On désire obtenir une suite de réalisations de X.

Cette méthode est fondée sur la propriété que la variable aléatoire U = FX (X) est distribuée uniformément sur [0;1] dès que la fonction de répartition FX (x) est continue et strictement croissante sur \mathbb{R}. La distribution recherchée s'obtient par conséquent comme la totalité des antécédents x des tirages u selon une distribution uniforme pour la fonction de répartition FX (x) . C'est à dire, la variable aléatoire F_{X}ˆ{-1}(U) a pour loi FX (x) , où U est une loi uniforme sur [0;1]. Pour une formulation plus précise, voir le Théorème de la réciproque dans l'article Fonction de répartition.

La plupart des langages de programmation servant à produire des nombres pseudo-aléatoires de distribution uniforme, il suffit de calculer l'antécédent des nombres tirés selon la fonction de distribution FX (x) .

Pour certaines lois, on sait inverser FX (x)  :

Mais la majorité du temps, le calcul de l'antécédent est problématique : on ne sait pas obtenir x vérifiant FX (x) = u, car on ne sait pas inverser la fonction FX. Il faut alors procéder numériquement, pour résoudre en x l'équation FX (x) − u = 0, en utilisant au choix la Méthode de dichotomie, la Méthode de la fausse position, la Méthode de la sécante ou encore la Méthode de Newton.

Voir aussi

Références


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