Matrice stochastique

En mathématiques, une matrice stochastique est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1.



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Probabilités - Matrice

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  • Observons en premier lieu que toute matrice stochastique P possède le vecteur propre U = {1... de la matrice stochastique est nul et la chaîne n'est pas régulière.... (source : books.google)
  • Chaque vecteur zk étant dans la sphère unité de E qui est compacte puisque E est de dimension..... Pour n = 2, une matrice stochastique est de la forme :... (source : www-fourier.ujf-grenoble)

En mathématiques, une matrice stochastique (aussi nommée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en probabilité, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov finie.

Une matrice est dite doublement stochastique si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut 1.

Voici un exemple de matrice stochastique P (dans cet exemple, la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1 ; on remarque que la somme des éléments de chaque colonne est quelconque)  :

P = \begin{pmatrix}
0,5 & 0,3 & 0,2 \\
0,2 & 0,8 & 0 \\
0,3 & 0 ,3& 0,4 \end{pmatrix}

Si G est une matrice stochastique, alors on nomme vecteur stable pour G un vecteur h tel que :

hG = h

Par exemple :

G = \begin{pmatrix}
0,95 & 0,05 \\
0,03 & 0,97 \end{pmatrix}

et

h = \begin{pmatrix}
0,375 & 0,625 \end{pmatrix}
hG = \begin{pmatrix}
0,375 & 0,625 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0,95 & 0,05 \\
0,03 & 0,97 \end{pmatrix}
hG = 
\begin{pmatrix}
0,35625 + 0,01875 & 0,01875 + 0,60625 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0,375 & 0,625 \end{pmatrix}

Cet exemple montre que hG = 1h.

Pour des équations du type hG = βh, où β est un nombre réel, on dit que h est un vecteur propre associé à la valeur propre β. On peut par conséquent dire que h est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.

Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier k tel que la matrice Pk ne contient que des réels strictement positifs.

La matrice 3 × 3 précédente est régulière car :

Pˆ2 = \begin{pmatrix}
0,37 & 0,45 & 0,18\\
0,26 & 0,70 & 0,04\\
0,33 & 0,45 & 0,22 \end{pmatrix}

Le théorème des matrices stochastiques stipule que, si A est une matrice stochastique régulière, alors

De plus, si xo est une loi d'origine quelconque (i. e. est un vecteur à coordonnées positives ou nulles et de somme 1), et si xk+1 = xkA pour k = 0, 1, 2, ..... alors la chaîne de Markov {xk} converge vers t lorsque k \to \infty. C'est-à-dire :

\lim_{k \to \infty} \textbf{x}_0 Aˆk = \textbf{t}

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