Matrice aléatoire

Une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires.



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Matrice - Probabilités - Physique théorique

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Une matrice aléatoire est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires.

Face à la complexité croissante des spectres nucléaires observés expérimentalement dans les années 1950, Wigner a suggéré de remplacer l'opérateur hamiltonien du noyau par une matrice aléatoire. Cette hypothèse féconde a conduit au développement rapide d'un nouveau champ de recherche particulièrement actif en physique théorique, qui s'est propagé à la théorie des nombres en mathématiques, avec surtout une connexion intéressante avec la fonction zêta de Riemann. En plus de ces exemples on compte parmi les applications de la théorie des matrices aléatoires les systèmes intégrables, le chaos quantique, la gravité quantique en deux dimensions et plus via la théorie des cordes, la QCD sur réseau, les théories de jauge supersymétriques.

Quelques ensembles de matrices aléatoires

Ensembles gaussiens

Ce sont les ensembles introduits par Wigner pour la théorie des spectres nucléaires. On peut distinguer trois ensembles :

Dans le cas de la totalité GŒ, on considère des matrices symétriques réelles N\times N dont les élements de matrices Aij obéissent à la distribution gaussienne :

 P(A_{ij})\prod_i dA_{ii} \prod_{i<j} dA_{ij} = \exp\left(-g \mathrm{Tr}({}ˆt A A)\right) \prod_i dA_{ii} \prod_{i<j} dA_{ij}

La distribution est invariante par les transformations orthogonales. De même, dans la totalité unitaire, on considère des matrices hermitiennes, et la distribution est invariante par les transformations unitaires. Dans la totalité GSE, la distribution est invariante sous l'effet des transformations symplectiques.

Wigner a déduit la distribution des valeurs propres de ces matrices dans la limite  N \to \infty . C'est la loi du demi-cercle.

Il est envisageable de déduire la loi de distribution jointe des valeurs propres par un changement de base. Le résultat est que :  P(\lambda_1,\ldots,\lambda_N) = C_N \exp(-g \sum_i \lambda_iˆ2) 
\prod_{i<j} \mid \lambda_i -\lambda_j \midˆ\beta où les λi sont les valeurs propres de la matrice, et β = 1 dans le cas GŒ, β = 2 dans le cas GUE, β = 4 dans le cas GSE.

A partir de ces distributions, on peut obtenir la loi de distribution des écarts entre valeurs propres. On montre que si s est la distance (normalisée par la densité d'états) entre deux valeurs propres, la probabilité que deux valeurs propres soient distantes de s tend vers zéro si s tend vers zéro. Si les valeurs propres étaient uniformément distribuées, cette probabilité serait donnée par la loi de Poisson et ne tendrait pas vers zéro pour s tendant vers zéro. Cette propriété des ensembles gaussiens est nommée répulsion des niveaux.

Ensembles unitaires

Notés CŒ, CUE, CSE. Cette fois, les matrices sont respectivement orthogonales, unitaires ou symplectiques. Leurs valeurs propres sont des nombres complexes de module 1. F. J. Dyson a montré que l'étude de la distribution de ces valeurs propres se ramenait à l'étude de la mécanique statistique d'un gaz de particules sur un cercle avec une interaction logarithmique avec la distance.

Applications de la théorie des matrices aléatoire

On présente brièvement dans les quelques paragraphes qui vont suivre quelques unes des applications modernes de la théorie des matrices aléatoires dans les domaines de la physique statistique, de la physique des particules, de la gravité quantique et des mathématiques pures.

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