Mathématiques babyloniennes

Les mathématiques babyloniennes sont les mathématiques pratiquées par les peuples de l'ancienne Mésopotamie, depuis l'époque des Sumériens jusqu'à la chute de Babylone en 539 av.



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Babylonie - Histoire des mathématiques - Mathématiques de l'Antiquité

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  • mathématiques babyloniens de F. Thureau-Dangin, publié en 1938, .... une des plus anciennes tablettes mathématiques d'époque paléo-babylonienne connues... (source : math.ens)
Photographie de la tablette YBC 7289 annotée. Les nombres écrits dans le dispositif babylonien donnent la racine carrée de 2 avec quatre chiffres sexagésimaux significatifs, soit près de six chiffres décimaux :
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296... (crédit : Bill Casselman).

Les mathématiques babyloniennes sont les mathématiques pratiquées par les peuples de l'ancienne Mésopotamie (dans l'Irak actuel), depuis l'époque des Sumériens jusqu'à la chute de Babylone en 539 av. J. Chr. . Tandis qu'on ne dispose que de très rares sources sur les mathématiques en Égypte antique, notre connaissance des mathématiques babyloniennes s'appuie sur à peu près 400 tablettes d'argile mises au jour depuis les années 1850. Écrites en cunéiforme, ces tablettes furent travaillées sur de l'argile toujours humide, puis cuites dans un four ou séchées au soleil. La majorité des tablettes qui nous sont parvenues datent de 1800 à 1600 av. J. Chr., et traitent de fractions, d'équations algébriques (équations du second degré et du troisième degré), de calculs d'hypoténuse et de triplets pythagoriciens ou alors, peut-être, de certaines lignes trigonométriques (cf. surtout la tablette Plimpton 322). La tablette YBC 7289 apporte une approximation de \sqrt{2} précise à six décimales près.

Numération babylonienne

Article détaillé : Numération mésopotamienne.

Le système de numération en usage chez les Babyloniens était de type sexagésimal («base 60»). C'est d'ailleurs des Babyloniens que nous avons hérité l'usage de diviser les heures en soixante minutes, et chaque minute en 60 secondes, et aussi de diviser la circonférence d'un cercle en 360 (60×6) degrés. Le développement des mathématiques chez les Babyloniens tient à deux choses ; dans un premier temps, au fait que le nombre 60 est un nombre hautement composé, dont les nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, et 30, favorisent les calculs de fractions[1] ; ensuite, à ceci que, contrairement aux Égyptiens ainsi qu'aux Romains, les Babyloniens (comme plus tard les Indiens) disposaient d'un authentique dispositif à numération de position[2], où les chiffres les plus à gauche représentent les plus grandes valeurs (précisément comme dans notre dispositif décimal : 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).

Deux signes étaient utilisés : 1 pour désigner l'unité et 10 pour la dizaine. On écrivait plusieurs 1 pour les nombres jusqu'à neuf et plusieurs 10 pour les dizaines, jusqu'à cinq dizaines. Il est à noter que les Babyloniens écrivaient de la même manière les nombres égaux à un facteur 60 près.

Exemple :
  • 9 pour 9 ou 9×60 ou 9×60×60 ou 960, etc.
  • 107 pour 17 ou 17×60, etc.
  • 1209 pour 89, ou 8960, etc.

Les mathématiques sumériennes (3000-2300 av. J. Chr. )

Les premières traces d'écrits mathématiques remontent aux anciens Sumériens, qui développèrent la première civilisation de Mésopotamie. Il mirent au point une métrologie élaborée dès 3000 av. J. Chr. À partir de 2600 av. J. Chr. , ils dressent des tables de multiplication sur des tablettes d'argile[3] et mettent par écrit des énoncés de problèmes géométriques et de division. C'est aussi de cette période que datent les premiers témoignages de numération Babylonienne[4].

Les mathématiques dans l'ancienne Babylonie (2000-1600 av. J. Chr. )

C'est à la période paléo-babylonienne que se rattachent la majorité des tablettes à contenu mathématique, ce qui explique d'ailleurs pourquoi on a coutume d'appeler les mathématiques de Mésopotamie «mathématiques babyloniennes». Certaines tablettes comportent des listes ou des tableaux de nombres, d'autres des énoncés de problèmes et leur solution.

Arithmétique

Multiplication

Les Babyloniens utilisaient massivement les tables numériques pour le calcul et la résolution de problèmes d'arithmétique. A titre d'exemple, deux tablettes trouvées à Senkerah sur l'Euphrate en 1854, datées de 2000 av. J. Chr. , sont des listes des carrés d'entiers jusqu'à 59 et de cubes jusqu'à 32. Les Babyloniens s'en servaient pour effectuer les multiplications, avec les identités :

ab = \dfrac{(a + b)ˆ2 - aˆ2 - bˆ2}{2}
ab = \dfrac{(a + b)ˆ2 - (a - b)ˆ2}{4}

Division

Les Babyloniens ne posaient pas de division. Pour ce genre de calcul, ils se ramenaient au produit :

\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}

et recouraient à une table d'inverses. L'inverse des nombres n'ayant comme facteurs premiers que 2, 3 ou 5 (appelés «nombres 5-lisses» ou «nombres réguliers») s'écrit avec un nombre fini de chiffres en écriture sexagésimale : or on a retrouvé la plupart de tables donnant les inverses de tels nombres entiers.

Il faut se souvenir que 1 pouvait désigner autant ce que nous noterions 1 que 60 ou 60². Deux nombres étaient inverses l'un de l'autre quand leur produit était une puissance de soixante. Ainsi, l'«inverse» de 2 (2) était 30 (30) car 2×30 = 60. La table d'inverses classique était :

   2    30           16    3,45          45    1,20
   3    20           18    3,20          48    1,15
   4    15           20    3             50    1,12
   5    12           24    2,30          54    1, 6,40
   6    10           25    2,24        1       1
   8     7,30        27    2,13,20     1, 4      56,15
   9     6,40        30    2           1,12      50
  10     6           32    1,52,30     1,15      48
  12     5           36    1,40        1,20      45
  15     4           40    1,30        1,21      44,26,40

où 6, 40, qui sert à désigner 6×60+40 est mis en relation avec 9 car 9× (6×60+40) = 3600 = 60². Par conséquent 9 est l'inverse de 6×60+40 au sens babylonien du terme

Au contraire, des inverses comme 1/7, 1/11, 1/13, etc. n'ont pas de représentation finie en écriture sexagésimale. Pour calculer 1/13 ou pour diviser un nombre par 13, les Babyloniens recouraient à une approximation de la forme

\dfrac{1}{13} = \dfrac{7}{91} = 7 \times \dfrac {1}{91} \approx 7 \times \dfrac{1}{90}=7 \times \dfrac{40}{3600}.

Algèbre

Outre les calculs d'arithmétique, les mathématiciens Babyloniens imaginèrent aussi des algorithmes pour résoudre certaines équations algébriques. Ici encore, ils recouraient à des tables numériques.

Pour résoudre une équation du second degré, les Babyloniens se ramenaient principalement à la forme canonique

\ xˆ2 + bx = c

où les cœfficients b et c ne sont pas obligatoirement des entiers, mais où c est toujours positif. Ils savaient que la solution positive (la seule qui avait un sens pour eux) à une équation de cette forme s'obtient par la formule

x = - \dfrac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \dfrac{b}{2} \right )ˆ2 + c}

et se servaient de tables de carrés pour trouver les racines carrées intervenant dans cette formule. Parmi les énoncés concrets pouvant se ramener à ce type de calcul, il y avait celui demandant de trouver les dimensions d'un rectangle connaissant sa surface et l'excédent de sa longueur sur sa largeur.

Certaines équations du troisième degré pouvaient être résolues avec tables de n3+n2. A titre d'exemple, soit l'équation

\ axˆ3 + bxˆ2 = c.

Multipliant l'équation par a2 et la divisant par b3, on obtient

\left ( \dfrac{ax}{b} \right )ˆ3 + \left ( \dfrac {ax}{b} \right )ˆ2 = \dfrac {caˆ2}{bˆ3}.

Substituant y = ax/b, cela donne

yˆ3 + yˆ2 = \dfrac {caˆ2}{bˆ3}

équation qu'on peut résoudre en consultant une table de n3+n2 pour trouver la valeur la plus proche du second membre. Les Babyloniens exécutaient ces calculs sans véritablement poser les opérations algébriques, ce qui témoigne d'une remarquable capacité de concentration. Cependant, ils n'avaient pas d'algorithme général pour résoudre une équation du troisième degré quelconque.

Géométrie

Il est envisageable que les Babyloniens aient disposé de règles générales pour calculer la surface et le volume de certaines figures géométriques. Ils calculaient la circonférence du cercle en prenant trois fois le diamètre, et la surface du cercle en prenant un douzième du carré de la circonférence, ce qui revient à prendre pour π la valeur qu'on trouve aussi dans la Bible, à savoir 3. Le volume d'un cylindre était calculé en formant le produit de sa base par sa hauteur ; par contre, le calcul du volume du cône tronqué ou de la pyramide à base carrée était incorrect : les Babyloniens formaient le produit de la hauteur par la demi-somme (c'est-à-dire la moyenne) des bases. Ils connaissaient le théorème de Pythagore comme formule, sans qu'on ait trace d'une démonstration comme telle. On a découvert récemment une tablette où on prend pour π la valeur 3 + 1/8. Les Babyloniens mesuraient les distance en utilisant le mille babylonien, représentant à peu près 10 km. Cette unité de mesure avait un équivalent horaire, ce qui permettait de convertir les positions du Soleil dans le ciel en heure du jour[5].

Trigonométrie

Si les anciens Babyloniens connaissaient depuis des siècles l'égalité des rapports entre les côtés de triangles identiques, le concept d'angle leur était étranger : aussi se ramenaient-ils à des considérations sur les longueurs des côtés[6].

Les astronomes babyloniens tenaient une chronique précise des levers et couchers des étoiles, du mouvement des planètes et des éclipses solaires et lunaires, tout autant de précisions qui supposent une familiarité avec les distances angulaires mesurées sur la sphère céleste[7].

Les Babyloniens paraissent avoir été les premiers à utiliser les lignes trigonométriques, comme en témoigne une table de nombres portés sur une tablette en écriture cunéiforme, la Tablette Plimpton 322 (circa 1900 BC), qu'on peut interpréter comme une table trigonométrique de sécantes[8].

Article détaillé : Tablette Plimpton 322.

Avec la redécouverte de la civilisation babylonienne, il est apparu que les mathématiciens et les astronomes grecs de la période classique et hellénistique, surtout Hipparque de Nicée, ont énormément emprunté aux Chaldéens.

Franz Xaver Kugler, par exemple, a montré[9] la chose suivante : Ptolémée, dans l'Almageste, indique[10] qu'Hipparque a corrigé la durée des phases de la Lune transmises par «des astronomes toujours plus anciens» en rapportant les observations des éclipse faite jusque là par «les Chaldéens» aux siennes. Or, Kugler a montré que les périodes que Ptolémée attribue à Hipparque étaient déjà utilisées dans des éphémérides babyloniens, à savoir le recueil appelé «Système B» (quelquefois attribué à Kidinnu). Apparemment, Hipparque s'est borné à confirmer par ses observations l'exactitude des valeurs de périodes qu'il avait lues dans les écrits des Chaldéens.

Il est évident qu'Hipparque (et Ptolémée à sa suite) disposait d'une liste complète des observations d'éclipses sur plusieurs siècles. Celles-ci avaient sans doute été compilées à partir des «tablettes-journaux», tablettes d'argile contenant l'ensemble des observations significatives effectuées au jour le jour par les Chaldéens. Les exemplaires préservés datent de 652 av. J. Chr. à 130 de notre ère, mais les événements célestes qui y sont consignés remontent sans doute au règne du roi Nabonassar : car Ptolémée fait commencer sa chronologie au premier jour du calendrier égyptien, la première année du règne de Nabonassar, c'est-à-dire le 26 février 747 av. J. Chr.

Il n'a pas dû être facile d'exploiter toute cette masse d'observations, et il n'est pas douteux que les Chaldéens eux-mêmes se servaient de tables abrégées contenant, par exemple, seulement les éclipses observées (on a trouvé quelques tablettes portant une liste de l'ensemble des éclipses sur une période correspondant à un «saros»). Ces tables leur permettaient déjà de constater le retour périodique de certains phénomènes. Parmi les périodes utilisées dans le recueil du «Système B» (cf. Almageste IV. 2), on trouve :

Les Babyloniens exprimaient l'ensemble des périodes en mois synodiques, certainement parce qu'ils utilisaient un calendrier luni-solaire. Le choix des intervalles entre les phénomènes célestes périodiques survenant en l'espace d'une année donnait différentes valeurs pour la longueur d'une année.

De même, on connaissait plusieurs relations entre les périodes des planètes. Les relations que Ptolémée attribue à Hipparque[11] avaient déjà servi pour des prédictions retrouvées sur des tablettes babyloniennes.

Toutes ces connaissances passèrent aux Grecs, probablement peu après la conquête d'Alexandre le Grand (-331). Selon le philosophe Simplicius (début du VIe siècle), Alexandre avait ordonné la traduction des éphémérides astronomiques chaldéens, et en avait confié la supervision à son biographe Callisthène d'Olynthos, qui les envoya à son oncle Aristote. Si Simplicius ne nous offre qu'un témoignage tardif, son récit n'en est pas moins fiable, car il passa quelques temps en exil à la cour des Sassanides, et a pu avoir accès à des sources documentaires ayant disparu en Occident. Ainsi il est frappant qu'il emploie le titre tèresis (en grec : «veille»), étrange pour un ouvrage d'histoire, mais qui forme une traduction précise du babylonien massartu qui veut dire «monter la garde» mais également «observer». Quoi qu'il en soit, c'est vers cette époque que Calippe de Cyzique, un élève d'Aristote, proposa l'emploi d'un cycle de 76 ans, qui perfectionne le cycle de Méton, d'une durée de 19 ans. Il faisait démarrer la première année de son premier cycle au solstice d'été (28 juin) de l'an 330 av. J. Chr. (date julienne prolepse), mais ensuite il semble qu'il ait compté les mois lunaire à partir du mois suivant la victoire d'Alexandre à la bataille de Gaugamèles, à l'automne 331 av. J. Chr. Ainsi, Calippe a pu obtenir ses données de sources babyloniennes, et il est par conséquent envisageable que son calendrier soit antérieur à celui de Kidinnu. On sait d'autre part que le prêtre babylonien connu sous le nom de Bérose écrivit vers 281 av. J. Chr. une histoire (à caractère plutôt mythologique) en grec de la Babylonie, les Babyloniaca , dédiées au nouveau monarque Antiochos Ier ; et on dit qu'il fonda ensuite une école d'astrologie sur l'île grecque de Cos. Parmi les autres auteurs qui ont pu transmettre aux Grecs les connaissances babyloniennes en astronomie-astrologie, citons Sudines qui vivait à la cour du roi Attale Ier Sôter à la fin du IIIe siècle av. J. -C. .

Quoi qu'il en soit, la traduction de ces annales astronomiques exigeait une connaissance profonde de l'écriture cunéiforme, de la langue et des méthodes, de sorte qu'il est vraisemblable qu'on a confié cette tâche à un Chaldéen dont le nom ne nous est pas parvenu. Les Babyloniens, en effet, dataient leurs observations dans leur calendrier luni-solaire, dans lequel la durée des mois et des années n'est pas fixe (29 ou 30 jours pour les mois ; 12 ou 13 mois pour les années). Qui plus est , à cette époque il n'utilisaient pas encore de calendrier régulier (fondé par exemple sur un cycle, comme le cycle de Méton), mais faisaient démarrer un mois à chaque nouvelle Lune. Cette pratique rendait fastidieux le calcul du temps séparant deux événements.

La contribution d'Hipparque a dû consister à convertir ces données en dates du calendrier égyptien, qui est fondé sur une année d'une durée fixe de 365 jours (soit 12 mois de 30 jours et 5 jours supplémentaires)  : ainsi le calcul des intervalles de temps est bien plus simple. Ptolémée datait toutes ses observations dans ce calendrier. Il rédige d'ailleurs que «Tout ce qu'il (=Hipparque) a fait, c'est une compilation des observations des planètes ordonnée de façon plus commode[12].» Pline l'Ancien, traitant de la prédiction des éclipses écrit[13] : «Après eux (=Thalès) les positions des deux astres (=le Soleil et la Lune) pour les 600 années à venir furent annoncées par Hipparque, …» Cela doit vouloir dire qu'Hipparque a prédit les éclipses pour une période de 600 ans, mais compte tenu de l'énorme quantité de calculs que cela représente, c'est particulièrement peu probable. Plus probablement, Hipparque aura compilé une liste de l'ensemble des éclipses survenues entre le temps de Nabonasser et le sien.

Voici d'autres traces de pratiques babyloniennes dans l'œuvre d'Hipparque :

Mathématiques babyloniennes et mathématiques alexandrines

À l'époque hellénistique, les mathématiques et l'astronomie babylonienne exerçaient une influence profonde sur les mathématiciens d'Alexandrie, dans l'Égypte des Ptolémée comme au cours de la période romaine de l'Égypte. Cette influence est spécifiquement évidente dans les écrits astronomiques et mathématiques d'Hipparque, de Ptolémée, de Héron d'Alexandrie et de Diophante. Dans le cas de Diophante, l'héritage babylonien est tellement visible dans ses Arithmetica que certains chercheurs ont avancé qu'il avait pu être un «Babylonien héllenisé[14]». De même, l'empreinte babylonienne sur l'œuvre de Héron a laissé soupçonner que ce savant était peut-être d'origine phénicienne[15].

Les mathématiques en Mésopotamie après l'invasion musulmane

Après la conquête musulmane de la Perse, la Mésopotamie prit le nom arabe d'Irak. Sous le califat abbasside, la capitale de l'empire fut transférée à Bagdad, ville fondée en Irak au VIIIe siècle. Du VIIIe siècle au XIIIe siècle, période souvent désignée comme l'«Âge d'or de l'Islam », l'Irak-Mésopotamie retrouva le statut de centre de l'activité mathématique. Nombre des plus grands mathématiciens de l'époque travaillaient en Irak, parmi lesquels Al-Khawarizmi, Al-Abbās ibn Said al-Jawharī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk, Al-Kindi (Alkindus), Hunayn ibn Ishaq (Johannitius), les frères Banū Mūsā, la dynastie des Thābit ibn Qurra, Al-Battani (Albatenius), les Frères de Pureté, Al-Saghani, Abū Sahl al-Qūhī, Ibn Sahl, Abu Nasr Mansur ibn Iraq, Alhazen, Ibn Tahir al-Baghdadi, et Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al. L'activité mathématique en Irak s'interrompit après le sac de Bagdad en 1258.

Voir aussi

Notes et références

  1. Cf. Caveing, Le matin des mathématiciens, p. 14.
  2. Cf. Taton, pp. 51-54.
  3. Cf. Maurice Caveing, Le Matin des mathématiciens, p. 10.
  4. Duncan J. Melville, «Third Millennium Mathematics», 2003, St. Lawrence University.
  5. Cf. Eves, chapitre 2.
  6. (en) Boyer, , 1991, «Greek Trigonometry and Mensuration», p.  158-159 
  7. Cf. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998 (ISBN 0691095418) , p.  20 .
  8. Cf. Joseph, pp. 383-4 et Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998 (ISBN 0691095418) , p.  32 .
  9. Franz Xaver Kugler, Die Babylonische Mondrechnung, Herder, Fribourg-en-Brisgau, 1900 
  10. Almageste, livre IV, ch. 2
  11. Cf. Almageste, IX. 3
  12. Almageste IX. 2
  13. Naturalis Historia II. IX (53).
  14. Cf. D. M. Burton, History of Mathematics, Wm. C. Brown Publishers, Dubuque, Indiana (réimpr.  1995)   : «Il est particulièrement probable que Diophante ait été un Babylonien hellénisé
  15. Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics (réimpr.  1991), 171-2 p.   : «De l'époque d'Alexandre le Grand au moins jusqu'à la décadence de la civilisation classique, il y eut indubitablement d'intenses échanges entre Grèce et Mésopotamie, et il paraît clair que l'arithmétique et l'algèbre géométrique babylonienne continuèrent d'exercer une influence énorme sur le monde hellénistique. Ainsi, cette facette des mathématiques transparaît si visiblement chez Héron d'Alexandrie (dont l'acmè se situe vers 100 de notre ère) qu'on a pu le croire égyptien ou phénicien plutôt que grec. On pense actuellement que Héron représente un type de mathématiques qui a toujours été pratiqué en Grèce mais qui n'a pas eu de représentant parmi les grandes figures - sauf peut-être le Ptolémée du Tetrabiblos

Bibliographie

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