Loi du zéro un de Kolmogorov

En probabilités, la loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, nommés événements queues, soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés.



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Théorème de mathématiques - Probabilités - Zéro

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En probabilités, la loi du zéro un de Kolmogorov affirme que certains événements, nommés événements queues[1], soit seront presque sûrement réalisés, soit ne seront presque sûrement pas réalisés. C'est-à-dire que la probablité d'un tel événement vaut 1 ou 0.

Les événements queues se définissent en termes de suites illimitées de variables aléatoires. Soit

X_1,X_2,X_3,\dots\,

une suite[2] illimitée de variables aléatoires indépendantes. Alors, un événement queue est un événement dont la réalisation est déterminée par la valeur des variables Xi, mais qui est indépendant de toute sous-suite finie de variables Xi.

De façon étonnante, il est quelquefois aisé de prouver grâce à cette loi qu'un événement a une probabilité dans {0, 1}, mais particulièrement complexe de déterminer laquelle de ces deux valeurs est la bonne.

Démonstration

L'indépendance des Xk conduit à celle des tribus Un = σ (Xk;k < n) et Tn = σ (Xk;k > = n)

Si nous notons Tq la tribu de queue, on a \forall n T_q \subset T_n

Ce qui nous assure, pour tout n, l'indépendance de Tq et Un.

Posons alors Uq la tribu génèrée par les Un pour tout n.

La suite de tribus (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est croissante, par conséquent sa limite \cup   U_n est un π-système qui génère Uq. Comme \cup   U_n et Tq sont indépendants, Uq et Tq le sont .

Ainsi pour tout événements A \in U_q B \in T_q on a P(A \cap B) = P(A)P(B).

Or comme T_q \subset U_q, on prend A=B ce qui donne P (A) = P (A) 2

On en conclut que P (A) =0 ou 1

Notes

  1. "tail events" en anglais.
  2. les variables Xi n'ont pas nécessairement la même distribution de probabilité.

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