Loi de composition interne

L'algèbre est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux ensembles ainsi qu'aux relations qui peuvent y être établies.



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Structure algébrique

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • définition de ce qu'est une droite. On peut évidemment se représenter une droite..... sont deux lois de compositions internes sur N, sur Z, sur , sur Q, sur R, sur C.... Une loi de composition interne est fréquem- ment notée + ou ×.... (source : judicael.courant.free)
  • Une loi de composition interne est une relation ternaire interne qui est aussi une... Les propriétés suivantes s'appliquent bien entendu aussi aux lois de .... une loi interne permutative, régulière et involutive à droite d'élément... (source : techno-science)
  • (IdE : élément neutre à droite ; IdF : élément neutre à gauche)..... Proposition 2 : Si une loi de composition interne est associative et ... Définition 8 : Soit un ensemble E pourvu de deux lois de composition internes ? et ?.... (source : opus.grenet)

L'algèbre est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux ensembles ainsi qu'aux relations qui peuvent y être établies. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces relations, indépendamment de la nature précise des ensembles et des relations en cause. Parmi les relations étudiées, les lois de composition interne occupent une place privilégiée.

Présentation

Nous avons tous depuis le primaire une assez bonne idée de la notion d'opérations telles que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division. Une opération (interne) dans un ensemble est une relation interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de cet ensemble, nommés opérandes, en associe peut-être un troisième, unique, appelé résultat, toujours dans ce même ensemble.

Pour que l'opération reconnue soit effectivement une loi de composition interne, il faut qu'elle ait un sens quels que soient les deux éléments de la totalité choisis (on dit formellement que l'opération doit être définie partout). Ainsi :

En résumé, une loi de composition interne dans un ensemble E, ou, plus simplement une loi dans E, est une opération qui donne un résultat dans E pour l'ensemble des couples envisageables d'éléments de E.

Exemple

Dans la totalité des entiers relatifs, l'addition est une loi de composition interne ayant entre autres les propriétés suivantes, qui seront définies plus formellement dans la seconde partie de l'article :

Ces deux méthodes mènent au même résultat, ce qu'on note :  (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)  . On dit que l'opération est associative.

Ces quatre propriétés, existence d'un élément neutre, existence de symétriques, commutativité, associativité, peuvent se retrouver pour d'autres ensembles et d'autres lois. Ainsi, on peut étudier la totalité des translations (c'est-à-dire les déplacements en ligne droite : par exemple, se déplacer de 3 mètres vers la gauche et de 2 mètres vers le haut), et une loi de composition interne sur cet ensemble, la composition : la composition de deux translations consistant simplement à faire le premier déplacement, puis le second. On retrouve pour la composition les mêmes propriétés que pour l'addition :

La totalité des entiers relatifs avec l'addition, et la totalité des translations avec la composition ont ces propriétés simples en commun. Un ensemble et une loi qui possèdent ces quatre propriétés spécifiques se nomme en algèbre un groupe abélien. L'algèbre s'attache ensuite à rechercher d'autres propriétés plus complexes qui découlent de ces quatre premières. Ces nouvelles propriétés seront alors valables autant pour la totalité des entiers relatifs que pour celui des translations, et pour tout autre ensemble et tout autre loi de composition interne ayant la structure d'un groupe abélien, sans qu'il soit indispensable de le redémontrer pour chacun.

Définition formelle

On nomme loi de composition interne sur un ensemble E toute application *\, de E × E dans E.

Un ensemble E pourvu d'une loi de composition interne *\, forme une structure algébrique nommée magma et notée «(E, *\,)».

Quelques exemples triviaux, pour un ensemble E non vide :

Éléments spécifiques

Composé de deux éléments et composé réciproque

Dans un magma (E, *\,), on nomme «composé d'un élément x par un élément y», l'unique élément x *\, y associé par la loi *\, au couple (x, y).

L'élément y *\, x est le composé de y par x. Il est associé par la loi *\, au couple (y, x), réciproque du couple (x, y) ; c'est pourquoi il est aussi nommé composé réciproque de x par y ou de x *\, y.


Certains éléments jouent un rôle spécifique à cause de leurs propriétés :

Carrés et dérivés

En sens inverse, tout élément x a un carré unique, noté généralement «x 2».
Si la loi est notée additivement, le terme de double sera employé plutôt à celui de carré.
Exemple : dans \mathbb{Z} \,, le double de 3 (pour l'addition) est 6, et son carré (pour la multiplication) est 9.
En d'autres termes, cet élément est son propre carré.
Exemples :
  • tout élément neutre d'une loi est idempotent pour cette loi;
  • dans tout ensemble numérique les contenant, 0 et 1 sont les seuls éléments idempotents pour la multiplication.
En d'autres termes, d est le carré de l'ensemble des éléments de E. Tout élément dévolutif est idempotent. En effet, il est carré de tout élément de E par conséquent surtout, il est son propre carré
Exemple : dans un groupe dont l'ensemble des éléments autres que le neutre sont d'ordre deux, l'élément neutre est dévolutif.

Neutres et dérivés

Exemple : dans \mathbb{R} \,, l'élément neutre de l'addition est 0, et celui de la multiplication est 1.
Tout élément neutre, même unilatère (c'est-à-dire soit à gauche, soit à droite, mais pas les deux), est idempotent.
L'élément neutre est obligatoirement involutif.
Le seul élément involutif et idempotent est l'élément neutre.

Absorbants et dérivés

Exemple : dans \mathbb{R} \,, 0 est absorbant pour la multiplication, tandis que l'addition ne présente pas d'élément absorbant.
Tout élément absorbant, même unilatère, est idempotent.
L'élément absorbant est obligatoirement nilpotent...

Centre d'une structure

En d'autres termes, un élément est central si son composé par tout élément se confond avec le réciproque de ce composé.
Les éléments neutre et absorbant bilatères sont commutatifs.
On nomme centre de E, et on note Z (E) , la totalité des éléments commutatifs de E.

Réguliers et dérivés

 \forall\ ( x , y ) \in Eˆ2 ,\ ( s * x = s * y ) \Rightarrow ( x = y ) \,
 \forall\ ( x , y ) \in Eˆ2 ,\ ( x * s = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,
 \forall\ ( x , y ) \in Eˆ2 ,\ ( s * x = y * s ) \Rightarrow ( x = y ) \,
 \exists\ ( x , y ) \in Eˆ2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( s * x = s * y ) \,
 \exists\ ( x , y ) \in Eˆ2 /\ ( x \not = y ) \wedge ( x * s = y * s ) \,
Un diviseur de zéro à gauche est irrégulier à gauche;
Un diviseur de zéro à droite est irrégulier à droite;

Paires d'éléments

Des paires d'éléments peuvent aussi présenter des propriétés spécifiques :

ou, en d'autres termes, si leur composé se confond avec son réciproque.
- s'il existe un élément neutre  e \,,
- et si :  r * s = e \,;
- s'il existe un élément absorbant  a \,,
- si aucun des deux éléments n'est égal à  a \,,
- et si :  r * s = a \,;
Les diviseurs de zéro sont irréguliers. Les éléments nilpotents autres que l'élément absorbant sont des diviseurs de zéro.

Exemple : pour les entiers relatifs, 0 est neutre pour l'addition, absorbant pour la multiplication, et neutre à droite pour la soustraction.

Propriétés

Certaines propriétés des lois de composition interne, en particulier intéressantes, ont reçu un nom. Soit un magma (E, *\,) ; la loi *\, peut y présenter les propriétés suivantes :

Existence d'éléments remarquables

 \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ e * x = x \,
Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à gauche, à condition qu'elle ne présente pas d'élément neutre à droite;
 \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * e = x \,
Une loi peut présenter plusieurs éléments neutres à droite, à condition qu'elle ne présente pas d'élément neutre à gauche;
 \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * e = e * x = x \,
Une loi est unifère si et uniquement si elle est unifère à gauche et unifère à droite;
L'élément neutre d'une loi unifère est unique;
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ a * x = a \,
Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à gauche, à condition qu'elle ne présente pas d'élément absorbant à droite;
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * a = a \,
Une loi peut présenter plusieurs éléments absorbants à droite, à condition qu'elle ne présente pas d'élément absorbant à gauche;
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * a = a * x = a \,
Une loi est absorbante si et uniquement si elle est absorbante à gauche et absorbante à droite;
L'élément absorbant d'une loi absorbante est unique;
 \exists\ d \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ x * x = d \,
L'élément dévolutif d'une loi dévolutive est unique;
 \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( e\ *\ x = x )\ \wedge\ ( x\ *\ x = e ) \,
Une loi est involutive à gauche si et uniquement si elle est unifère à gauche et dévolutive, et l'élément neutre à gauche est l'élément dévolutif.
 \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ e = x )\ \wedge\ ( x\ *\ x = e ) \,
Une loi est involutive à droite si et uniquement si elle est unifère à droite et dévolutive, et l'élément neutre à droite est l'élément dévolutif.
 \exists\ e \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ e = e\ *\ x = x )\ \wedge\ ( x\ *\ x = e ) \,
Une loi est involutive si et uniquement si elle est unifère et dévolutive, et l'élément neutre est l'élément dévolutif.
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( a\ *\ x = a )\ \wedge\ ( x\ *\ x = a ) \,
Une loi est nilpotente à gauche si et uniquement si elle est absorbante à gauche et dévolutive, et l'élément absorbant à gauche est l'élément dévolutif.
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a )\ \wedge\ ( x\ *\ x = a ) \,
Une loi est nilpotente à droite si et uniquement si elle est absorbante à droite et dévolutive, et l'élément absorbant à droite est l'élément dévolutif.
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a\ *\ x = a )\ \wedge\ ( x\ *\ x = a ) \,
Une loi est nilpotente si et uniquement si elle est absorbante et dévolutive, et l'élément absorbant est l'élément dévolutif.

Régularité et propriétés liées

 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ ( x * y = x * z ) \Rightarrow ( y = z ) \,
 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ ( y * x = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,
 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ [\ ( x * y = x * z ) \or ( y * x = z * x )\ ] \Rightarrow ( y = z ) \,
Une loi est régulière si et uniquement si elle est régulière à gauche et régulière à droite.
 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ ( x * y = z * x ) \Rightarrow ( y = z ) \,
 \forall\ ( a , b ) \in Eˆ2 , [\ \exists\ x \in E /\ ( a * x = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( a * z = b ) \Rightarrow ( z = x ) ] ] \,
 \wedge [\ \exists\ y \in E /\ ( y * a = b ) \wedge [\ \forall\ z \in E ,\ ( z * a = b ) \Rightarrow ( z = y )\ ] ] \,
Cette propriété est plus forte que la régularité : une loi symogène est obligatoirement régulière. Cependant, dans le cas d'un magma fini, symogénéité et régularité sont équivalentes.

Associativité et propriétés analogues

 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ x * ( y * z ) = ( x * y ) * z \,
On peut noter que l'associativité d'une loi sert à se passer des parenthèses lorsque on répète la loi; la majorité des lois intéressantes sont associatives (exemples : l'addition, la multiplication, la composition des correspondances, ... ).
 \forall\ ( x , y ) \in Eˆ2 ,\ [\ x * ( x * y ) = ( x * x ) * y \ ] \wedge [\ ( x * y ) * y = x * ( y * y )\ ] \,
Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu'une loi associative est obligatoirement alternative.
 \forall\ x \in E ,\ x * ( x * x ) = ( x * x ) * x \,
Cette propriété est moins forte que l'alternativité, puisqu'une loi alternative est obligatoirement associative des puissances.
Lorsque cette propriété est vérifiée, il est envisageable d'introduire la notion de puissance d'un élément (d'où le nom de la propriété)  :
- la puissance n-ième d'un élément x, notée généralement «x n», est égale au résultat de la composition de x selon *\,, (n - 1) fois avec lui-même; ainsi x 1 = x ; x 2 = x *\, x ; x 3 = x *\, x *\, x ;...
- si, qui plus est , la loi *\, présente un élément neutre e, on pose alors x 0 = e
- si, qui plus est , la loi *\, est inversible (voir plus bas), on pose alors x -n = (x n) -1
 \forall\ ( x , y , z , t ) \in Eˆ4 ,\ ( x * y ) * ( z * t ) = ( x * z ) * ( y * t ) \,
Cette propriété est nommée permutativité car elle sert à permuter les termes moyens dans les expressions du type ci-dessus.
Cette propriété est moins forte que l'associativité, car une loi associative et commutative est obligatoirement permutative; notons cependant qu'une loi associative, mais non-commutative, n'est pas obligatoirement permutative, et qu'une loi permutative, même commutative, n'est pas obligatoirement associative.
(Exemples de lois permutatives non associatives : la soustraction dans \mathbb{Z} \, et la division dans \mathbb{Q}ˆ{*} \,, ou la loi qui associe à deux points d'un espace affine leur milieu, ... ).
 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 , ( x * ( y * z )) * x = ( x * y ) * ( z * x ) \,
Cette propriété est moins forte que l'associativité, puisqu'une loi associative est obligatoirement neutroactive.

Autres propriétés

 \forall\ x \in E ,\ x * x = x \,
 \exists\ a \in E ,\ \forall\ x \in E ,\ ( x\ *\ a = a\ *\ x = a )\ \wedge\ [\ \forall\ y \in E ,\ ( x\ *\ y = a ) \Rightarrow [\ ( x = a )\ \vee\ ( y = a ) \ ]\ ] \,
 \forall\ ( x , y ) \in Eˆ2 ,\ x * y = y * x \,;
Les lois commutatives sont notées par «+», «\top » ou «\bot » plutôt que par «*\,».
Les notions de permutativité et de commutativité sont des notions différentes : il existe des lois permutatives et non commutatives (comme la soustraction dans \mathbb{Z} \,) et des lois commutatives qui ne sont pas permutatives (comme la somme des inverses dans \mathbb{R}_{+}ˆ{*} \,).

La liste de propriétés ci-dessus n'est pas exhaustive, loin de là. Cependant, nous n'aborderons dans ce paragraphe qu'un seul autre cas : dans des structures algébriques comportant plusieurs lois, certaines de ces lois ont des propriétés relatives à d'autres lois. Principale de ces lois relatives est la distributivité.

 \forall\ ( x , y , z , t ) \in Eˆ4 ,\ ( x \bot y ) * ( z \bot t ) = [ ( x * z ) \bot ( x * t ) ]\ \bot\ [ ( y * z ) \bot (y * t ) ] \,

Cette propriété se décompose en deux parties :

- distributivité à gauche :
 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ x * ( y \bot z ) = ( x * y ) \bot ( x * z ) \,
- distributivité à droite :
 \forall\ ( x , y , z ) \in Eˆ3 ,\ ( x \bot y ) * z = ( x * z ) \bot ( y * z ) \,

Remarque : si dans la situation ci-dessus la loi \bot est régulière et unifère, alors son élément neutre est obligatoirement absorbant pour la loi *\,. Cela explique entre autres pourquoi, dans un corps, l'élément neutre de la première loi n'a pas de symétrique par la seconde loi.

Inversibilité

Cette propriété importante mérite un paragraphe scindé. Nous nous placerons dans un magma (E, *\,) dont nous supposerons la loi unifère, c'est-à-dire disposant d'un élément neutre  e \,. Il est alors envisageable de définir les notions suivantes :

 \exists\ s' \in E /\ s' * s = e \,
s' est alors nommé élément symétrique à gauche de s;
 \exists\ s' \in E /\ s * s' = e \,
s' est alors nommé élément symétrique à droite de s;
s' est alors nommé élément symétrique de s.
Note : attention à ne pas confondre le symétrique d'un composé avec son réciproque !



Si la loi  * \, est de plus associative, il y a unicité, pour les éléments symétrisables à gauche (respectivement à droite), de leur symétrique à gauche (resp. à droite). Et si un élément s est symétrisable à droite ainsi qu'à gauche alors ses symétriques à gauche ainsi qu'à droite sont nécessairement égaux entre eux et cet élément est par conséquent symétrisable. Son symétrique est alors noté généralement «s -1».

Exemples :

Remarque :

Quand la loi est notée additivement, le symétrique est plutôt nommé opposé, et lorsque la loi est notée multiplicativement le symétrique est plutôt nommé inverse.

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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