Logarithme naturel

Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est, en mathématiques, le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e.

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Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est , en mathématiques, le logarithme de base e. C'est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C'est la primitive de la fonction inverse définie sur $]0 ; + \infty[$ et qui s'annule en 1.

Le logarithme naturel de $x$ est la puissance à laquelle il faut élever $e$ pour trouver $x$ .

Cette fonction a été longtemps notée Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou surtout logarithme décimal). On préfère aujourd'hui la notation ln.

Fragments d'histoire

Article d'une série sur
la constante mathématique e



Logarithme naturel

Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle / Décroissance exponentielle

Définitions
Démonstration de l'irrationalité d'e · Représentations d'e · Théorème d'Hermite-Lindemann

Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

Ce logarithme est nommé logarithme népérien en hommage au mathématicien écossais John Napier qui est à l'origine des premières tables logarithmiques en mathématiques. Celles-ci ne furent cependant pas des tables de logarithmes népériens^[1]. On date généralement l'apparition des logarithmes népériens de 1647, date à laquelle Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la quadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété des fonctions logarithmes (transformation d'un produit en somme) mais lui-même ne voit pas le lien avec les logarithme découvert par Napier et c'est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l'explicitera en 1649^[2]. La fonction ln s'est d'ailleurs nommée un certain temps fonction logarithme hyperbolique compte tenu de sa découverte comme aire sous l'hyperbole^[3]. Le terme de logarithme naturel apparaît pour la première fois dans une note de Nicolaus Mercator en 1668, lorsque ce dernier met en place sa série de Mercator^[4]. Sa série exploitée par Newton (méthode des fluxions et des suites illimitées 1671), sert à calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent^[5]. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué. Le logarithme de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus "simple" et le plus naturel.

La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse

Formellement, le logarithme naturel peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $x\mapsto \frac1x$ , l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et $x$ .

La fonction $x \mapsto \frac1x$ est une fonction continue sur $]0 ; + \infty[$ . Elle admet par conséquent des primitives dont l'une s'annule en 1. Cette primitive est nommée logarithme naturel et est par conséquent définie par :

$\forall x \in \Rˆ*_+,\ \ln x=\int_1ˆx \frac1t\cdot\mathrm dt$

Propriétés immédiates

Il est alors immédiat de dire que le logarithme naturel est défini sur $]0 ; + \infty[$ , dérivable sur $]0 ; + \infty[$ et que pour $x \in \Rˆ*_+$

$\ln' x = \frac1x$

Puisque sa dérivée est strictement positive, on en déduit que le logarithme naturel est strictement croissant.

La fonction $f$ définie par $f (x) = ln (a x)$ pour $a$ et $x$ des réels strictement positifs a même dérivée que le logarithme naturel, par conséquent change du logarithme naturel d'une constante $k \in \R$ :

f (x) = ln (x) + k

Or $f (1) = ln (a)$ par conséquent $k = ln (a)$ et $ln (a x) = ln (a) + ln (x)$ pour tous réels $a$ et $x$ strictement positifs. Le logarithme naturel est par conséquent bien un cas spécifique de fonction logarithme.

C'est l'application réciproque de la fonction exponentielle, lorsque celle-ci est définie comme l'unique fonction valant 1 en 0 et égale à sa dérivée. En effet, il suffit de dériver les fonctions $\ln \circ \exp$ et $\exp \circ \ln$ , de prouver que ces dérivés valent 1. Cela sert à dire que ces deux fonctions sont de la forme $x + k$ . L'étude de l'image de 0 ou de l'image de 1 sert à prouver que ces deux fonctions sont des fonctions identités sur $\R$ pour la première, sur $]0 ; + \infty[$ pour la seconde.

Dérivée logarithmique

Article détaillé : dérivation logarithmique.

Les propriétés de dérivabilité des fonctions composées permettent de dire que, pour toute fonction $u$ réelle, dérivable et strictement positive, la fonction $\ln \circ u$ est dérivable de dérivée : $\frac{u'}{u}$ Cette dérivée se nomme la dérivée logarithmique de la fonction $u$ . Elle représente une variation instantanée relative. C'est par conséquent une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur.

On généralise la propriété à toute fonction réelle dérivable $u$ qui ne s'annule pas $\ln \circ |u|$ est dérivable de dérivée

$\frac{u'}{u}$

Cette propriété augmente de manière significative la totalité des fonctions rationnelles dont on peut trouver une primitive.

Étude des limites

La fonction logarithme est une fonction tendant vers l'infini en 0 et en $+ \infty$ mais ceci particulièrement lentement. Plus exactement, les limites suivantes permettent de déterminer les croissances comparées du logarithme naturel et d'une fonction puissance quelconque

$\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty$
$\lim_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty$
$\lim_{x \to 0} xˆ{\alpha}\ln(x) = 0$ pour tout réel $α$ strictement positif
$\lim_{x \to + \infty}\frac{\ln(x)}{xˆ{\alpha}} = 0$ pour tout réel $α$ strictement positif
$\lim_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}{h} = 1$ pour $h > - 1$ . Ceci est une conséquence de l'"approximation affine" de $ln (1 + h)$ pour $h$ proche de 0.

Développement en série

La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série de Mercator.

Article détaillé : série entière.

C'est Nicolaus Mercator qui a été le premier à proposer le développement en série entière de $ln (1 + x)$ ; le rayon de convergence de ce développement est 1. On a donc

$\forall x \in ]-1,1[,\ \ln(1 + x) = \sum_{n = 0}ˆ{+\infty}(-1)ˆn\frac{xˆ{n+1}}{n+1} = x - \frac{xˆ2}{2}+ \frac{xˆ3}{3}- \cdots$

C'est la série de Taylor pour le logarithme naturel, mais pour calculer la valeur numérique du logarithme naturel d'un nombre, on peut réécrire l'expansion de la série de Taylor avec :

$\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \ldots \right)\right)\right)\right)\right)\,\!$

Pour obtenir un meilleur taux de convergence, l'identité suivante est parfois utilisée.

$\ln(x) = \ln\left(\frac{1+\alpha}{1-\alpha}\right)$	$= 2\,\alpha\, \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} \alphaˆ{2} + \frac{1}{5} \alphaˆ{4} + \frac{1}{7} \alphaˆ{6} + \frac{1}{9} \alphaˆ{8} + \ldots \right)$
	$= 2\,\alpha\, \left( \frac{1}{1} + \alphaˆ{2} \, \left( \frac{1}{3} + \alphaˆ{2} \, \left( \frac{1}{5} + \alphaˆ{2} \, \left( \frac{1}{7} + \alphaˆ{2} \, \left( \frac{1}{9} + \ldots \right) \right) \right)\right) \right)$

A condition que $\alpha = \frac{x-1}{x+1}$ et $x > 0$ . Ce qui nous amène à :

$\ln(x)=2\sum_{k=0}ˆ{\infty}\frac{1}{2k+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)ˆ{2k+1}$

La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série $2\sum_{k=0}ˆn\frac{1}{2k+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)ˆ{2k+1}$ .

La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme

Article détaillé : identités logarithmiques.

Comme toute fonction logarithme, elle possède les propriétés algébriques suivantes

$\forall (a;b)\in ]0 : + \infty[ˆ2,\ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
$\forall (a;b)\in ]0 : + \infty[ˆ2,\ \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall n \in \mathbb Z,\ \ln(aˆn) = n \ln(a) \quad$
$\forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall r \in \mathbb Q,\ \ln(aˆr) = r \ln(a)$

Le fait que l'ensemble des fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir le logarithme de base $a \in \Rˆ*_+$ selon le logarithme népérien :

$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$

La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle

Des égalités

$\forall x\in\mathbb{R}ˆ\star_+,\ eˆ{\ln(x)} = x$

$\forall x\in\mathbb{R},\ \ln(eˆx) = x$

on déduit l'équivalence suivante :

$\forall x \in \R,\ \forall y \in \Rˆ*_+,\ eˆx = y \Longleftrightarrow x = \ln(y)$

qui sert à résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.

Sa relation avec la fonction exponentielle permet d'exprimer l'ensemble des autres fonctions exponentielles de base $a\in \Rˆ*_+$ par

a x = e x ln (a)

D'une façon plus générale, elle sert à définir $x y$ pour tout réel $x$ strictement positif et tout réel $y$ comme

x y = e y ln (x)

Cette définition coïncide bien entendu avec celle de $x r$ pour $r$ rationnel.

On peut aussi trouver la fonction inverse comme étant la dérivée du logarithme naturel seulement en considérant cette dernière comme réciproque de la fonction exponentielle.

Démonstration

La fonction exp est dérivable sur tout, de dérivée non nulle. Sa courbe représentative possède par conséquent en tout point une tangente non parallèle à l'axe des abscisses. La courbe représentative de sa réciproque est symétrique de celle-ci comparé à la droite d'équation y = x. Elle possède par conséquent en tout point une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées. Cela assure que la fonction ln est dérivable en tout point de son ensemble de définition.

On considère alors la fonction $f: x \mapsto eˆ{\ln(x)}∼$ définie pour tout x > 0.

L'égalité : $f(x)=eˆ{\ln(x)} = x\,$ sert à calculer f'de deux manières.

D'une part, selon la propriété de la dérivée de la composée :

$f'(x) =\ln' (x) \cdot eˆ{\ln(x)}$ (car $(eˆ{u})'=u' \cdot eˆu∼$ )

donc

$f'(x)=\ln'( x) \cdot x∼$

D'autre part, $f'(x)=1∼$

Donc $1=\ln'( x) \cdot x∼$

D'où $\ln' (x)=\frac{1}{x}∼$

La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe

Article détaillé : logarithme complexe.

La question de savoir s'il est envisageable de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que $]0 ; + \infty[$ ) s'est posée dès la seconde moitié du XVII^e siècle avec les développements en série des fonctions. Le passage de

$\forall x \in \R,\ eˆx = \sum_{n=0}ˆ{+\infty} \frac{xˆn}{n!}$

$\forall z \in \mathbb C,\ eˆz = \sum_{n=0}ˆ{+\infty} \frac{zˆn}{n!}$

s'est fait de manière naturelle et on se serait attendu à ce qu'un passage analogue se fasse pour le logarithme naturel. Mais il n'existe aucune fonction univoque continue sur $\mathbb Cˆ*$ , possédant la propriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur $]0 , + \infty[$ avec la fonction logarithme népérien réelle.

L'existence de plusieurs valeurs envisageables pour $ln (- 1)$ , par exemple, a donné lieu à des échanges de lettres passionnées entre Leibniz et Bernoulli. Le voile sera levé par Euler^[6].

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif de la manière suivante :

ln (- a) = ln (a) + i π

pour

a

réel strictement positif

en référence au fait que

$\ln(-a) = \ln\left(eˆ{i\pi}a\right)$

et par transfert de propriété :

ln (- a) = ln (a) + i π

Mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer quand on travaille avec une calculatrice traitant les nombres complexes : si on étudie la fonction $x \mapsto \left|\ln(x)\right|$ , la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur $\Rˆ*$ en interprétant la valeur absolue comme un module :

$\left|\ln(-a)\right| = \sqrt{\lnˆ2(a) + \piˆ2}$ pour a réel strictement positif

Voir aussi

Notes et références

↑ Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 214
↑ Jean-Pierre Le Goff, De la méthode dite d'exhaustion - Grégoire de Saint Vincent, in La démonstration mathématique dans l'histoire, IREM de Besançon
↑ Simone Trompler, L'histoire des logarithmes, ULB p 11
↑ Logarithme et quadrature de l'hyperbole Sur le site Euler de l'académie de Versailles, p3
↑ Simone Trompler, L'histoire des logarithmes, ULB p 12
↑ Analyse de cette controverse, écrite en français par Euler lui-même

Lien externe

Méthode de Newton pour le calcul des logarithmes naturels, La méthode des fluxions et des suites illimitées Gallica, p 102 -105
En quoi les logarithmes et exponentielles naturels sont-ils naturels ? Conférence de Jean Dhombres

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