Logarithme décimal

Le logarithme décimal ou log 10 est le logarithme de base dix. Il est défini en l'ensemble des réels strictement positifs x.

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Le logarithme décimal ou log₁₀ est le logarithme de base dix. Il est défini en l'ensemble des réels strictement positifs x.

Le logarithme décimal est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10.

Le logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction f (x) =10^x

pour x>0, si y = log₁₀ (x) alors x=10^y.

Avant 1970, les calculatrices électroniques n'étaient pas encore d'un usage particulièrement répandu. Pour effectuer des produits ou des quotients, on utilisait toujours des table de logarithmes de base 10 qu'on trouvait dans les appendices largement de livres, et les calculs étaient effectués à la main sur papier. Les logarithmes de base 10 ou logarithmes décimaux étaient nommés logarithmes vulgaires.

Les logarithmes vulgaires sont quelquefois nommés les logarithmes de Briggs. Henry Briggs fut un mathématicien britannique du XV^e siècle, auteur des tables de logarithmes décimaux publiées à Londres en 1624 dans un traité intitulé Arithmetica Logarithmetica.

Mantisse et caractéristique

Les logarithmes des puissances entières de 10 se calculent facilement en utilisant la règle de conversion d'un produit en somme :

log (10) = 1, log (100) = log (10 * 10) = log (10) + log (10) = 2, log (1000) = 3, log (

10 n

) = n

log (0, 1) = log $\left(\frac{1}{10}\right)$ = - log (10) = -1, log (0, 01) = - 2, log (0, 001) = -3

Les propriétés arithmétiques des logarithmes permettent de déduire la valeur de tout logarithme pourvu que soient connus les logarithmes de l'ensemble des nombres compris entre 1 et 10 (exclu). En effet, tout nombre x peut s'écrire sous la forme $a . 10 n$ où a est un nombre compris entre 1 et 10 (exclu). Cette écriture se nomme la notation scientifique de x. $10 n$ représente alors l'ordre de grandeur du nombre x. Par exemple

120 = 1, 2.10 2

0, 00314 = 3, 14.10 - 3

Le passage au logarithme décimal va alors mettre en évidence les deux éléments de l'écriture scientifique du nombre

log (120) = log (1, 2) + log (

102

) = log (1, 2) + 2

log (0, 00314) = log (3, 14) + log (

10 - 3

) = log (3, 14) - 3

log (x) = log (a. 10ˆn) = n + log (a)

Puisque la fonction log est croissante, pour tout réel a compris entre 1 et 10 (exclu), log (a) est compris entre 0 et 1. L'entier relatif n est par conséquent la partie entière de log (x) et log (a) la partie décimale à ajouter à n pour obtenir log (x).

La partie entière de log (x) est nommée la caractéristique du log.

La partie décimale à rajouter à la partie entière se nomme la mantisse

On fera attention à l'écriture du logarithme des nombre plus petits que 1

log (0, 00314) = -3 + log (3, 14) $\approx$ -3 + 0, 497

log (0, 00314) $\approx$ -2, 503

La seconde écriture, qui semble plus naturelle, ne permet pas de retrouver rapidement la caractéristique (-3) et la mantisse (0, 497). On préfère alors utiliser la première écriture qu'on note fréquemment

$\log(0{,}0034) \approx \overline 3{,}497$

La lecture du logarithme d'un nombre permet alors facilement de déterminer son ordre de grandeur :

si log (x) = 5, 3

Sa caractéristique est 5 par conséquent x est de la forme $a . 10 5$ . Sa mantisse est 0, 3 qui est proche de log (2). par conséquent x est proche de $2.10 5$

Usage des logarithmes décimaux

Le développement des calculatrices de poche ont fait perdre aux logarithmes leur principal intérêt de simplification des calculs. Ils restent cependant particulièrement présents en physique lorsqu'il s'agit d'appréhender des quantités pouvant fluctuer de $10 - 10$ à $1010$ . C'est ainsi qu'on les retrouve dans le calcul des pH (potentiel hydrogène), des décibels, ...

Calculer avec une table de logarithmes

Article détaillé : table de logarithmes.

L'idée directrice est de remplacer, pour l'utilisateur, les multiplications par des additions, les divisions par des soustractions, les puissances par des produits, les racines nièmes par des divisions par n.

Exemple 1 : En supposant que x = 435, 728 et y = 1, 6275 comment effectuer, sans calculatrice, le produit xy ?

On calcule log (x)

x =

4, 35728.10 2

par conséquent la caractéristique est 2, la mantisse se lit dans une table de logarithme : 0, 6392

log (x) = 2, 6392

on calcule log (y), caractéristique 0, mantisse 0, 2115

log (y) = 0, 2115

Il suffit de calculer log (xy) = log (x) + log (y) = 2, 8507, d'isoler la caractéristique : 2 et la mantisse 0, 8507 qui par lecture inverse dans la table de log donne 7091.

le produit xy est par conséquent à peu près $7, 091.10 2 = 709, 1$

Exemple 2 : En prenant toujours ces deux nombres, on peut tout aussi aisément calculer une valeur approchée de la racine cubique de leur quotient

$\log \left(\sqrt[3] \frac{x}{y} \right) = \frac 13 \Big(\log(x) - \log(y) \Big) = \frac{2{,}6392 - 0{,}2115}{3} = \frac{2{,}4277}{3} = 0{,}8092$

La caractéristique est par conséquent nulle, la mantisse est 0, 8092 qui, par lecture inverse, donne 6445.

$\sqrt[3] \frac{x}{y}$ est par conséquent à peu près égal à 6, 445

La règle à calcul

Article détaillé : règle à calcul.

Le principe de la règle à calcul est analogue à celui auparavant décrit. La précision sera uniquement moindre.

Sur la règle à calcul sont positionnés les logarithmes des nombres de 1 à 10.

Pour effectuer le produit de xy = 436 × 1, 63, on effectue, grâce à la règle à calcul le produit 4, 36 × 1, 63 en ajoutant les longueurs correspondant à log (4, 36) et log (1, 63), on obtient à peu près 7, 1.

Le produit de xy est par conséquent à peu près $7, 1.10 2$

Les échelles logarithmiques

Elles sont utilisés pour représenter des phénomènes pouvant fluctuer de $10 - 10$ à $1010$ . Elles permettent d'augmenter les variations des valeurs proches de 0 et de rendre moindres les variation pour les grands nombres, en mettant en évidence plutôt les variations relatives.

L'utilisation des échelles logarithmiques est détaillée dans les articles échelle logarithmique, repère semi-logarithmique, repère log-log.

le pH

Article détaillé : Potentiel hydrogène.

Le pH d'une solution donne le cologarithme de sa concentration en ions oxonium : $\mathrm{pH} = -\log \big[ \mathrm H_3 \mathrm Oˆ+ \big]$

Le pH de l'eau pure est de 7, ce qui veut dire qu'il y a $10 - 7$ moles de $H 3 O +$ dans un litre d'eau.

Le pH du jus de citron est de 2, 4, ce qui veut dire qu'il y a $10ˆ{-2,4} = 4 \cdot 10ˆ{-2}$ moles de $H 3 O +$ dans un litre de jus de citron.

On remarque qu'un pH faible correspond à une concentration élevée de $H 3 O +$ par conséquent à un milieu acide.

Les décibels

Article détaillé : Bel.

En acoustique, une différence d'un décibel ou un dB entre deux puissances veut dire que le logarithme du rapport entre ces deux puissance est de 0, 1 (un dixième de Bel). Sachant qu'un logarithme de 0, 1 correspond à un nombre égal à 1, 26, une augmentation de 1 dB correspond à une multiplication de la puissance par 1, 26. Une multiplication de la puissance sonore par 2 correspond à une augmentation de 3 dB car $10 0, 3 = 2$ (à peu près égal).

Mathématiquement : Soit β le niveau sonore : β = I (dB) = 10log (I/Ii) où I est l'intensité sonore et Ii l'intensité de référence.

La variation Δβ sera par conséquent égale au logarithme décimal du rapport des intensité I1 et I2 (Δβ = 10log (I1/I2) ), et ceci grâce à la propriété des logarithmes décimaux : log (a) -log (b) = log (a/b)

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