Livre II des Éléments d'Euclide

Le Livre II des Éléments d'Euclide contient ce qu'on nomme généralement — ainsi qu'à tort — l'algèbre géométrique. En effet, une grande partie de ses propositions peuvent s'interpréter algébriquement, ce que n'ont pas manqué de faire les mathématiciens arabo-musulmans, surtout al-Khwarizmi.
Cependant, il ne s'agit pas d'algèbre car ce livre ne résout pas de problème numérique et toujours moins d'équations. Il ne traite que d'égalités d'aires de rectangles ou de carrés.

Le livre contient :

• 2 définitions
• 14 propositions

Les définitions

La première définition indique ce qu'on entend par rectangle contenu sous deux droites et dont l'usage est particulièrement habituel dans les Éléments. Il s'agit simplement du rectangle dont les côtés ont des longueurs identiques à celle des deux droites données. Algébriquement, il correspond au produit de ces deux longueurs.

La seconde définition définit le gnomon : il s'agit de la figure restant d'un parallélogramme dont on a retiré un parallélogramme plus petit de même diagonale.

Les propositions

Bien que les énoncés soient purement géométriques, nous donnerons ci-dessous leur interprétation moderne algébrique. Insistons sur le fait que cette interprétation algébrique est étrangère à la conception d'Euclide, même si elle peut éclairer à nos yeux la démarche suivie.

• Distributivité de la multiplication comparé à l'addition (prop. 1 à 3). Elle s'énonce géométriquement par le fait que des rectangles de même hauteur disposés côte à côte forment un rectangle dont l'aire est la somme des aires de ces rectangles. Algébriquement, a (b + c +... + d) = ab + ac +... + ad

• Identités remarquables. La prop. 4 décrit que, si la droite est coupée à volonté, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments, ainsi qu'à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments. On reconnaît notre identité remarquable (a + b) ² = a² + b² + 2ab, deux fois le rectangle contenu sous les deux segments n'étant autre que le double produit. La prop. 5 décrit que si une ligne droite est coupée en parties identiques et en parties inégales, le rectangle sous les segments inégaux de la droite entière avec le carré de la droite positionnée entre les sections, est égal au carré de la moitié de la droite entière, ce qui s'interprète algébriquement par la relation . Cette proposition est d'usage courant dans les Éléments et fait figure d'identité principale. A titre d'exemple, c'est elle qui est utilisée dans la prop. III-35 introduisant la puissance d'un point comparé à un cercle. Les prop. 6 à 10 décrivent d'autres identités qui se ramènent aux précédentes.

• Problème du second degré. La prop. 11 expose comment couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments soit égal au carré du segment restant. Algèbriquement, cela revient à résoudre ax = (a − x) ² et relève d'un problème du second degré, question déjà fort connue des babyloniens. Cette proposition servira à Euclide pour construire un pentagone régulier (prop. IV-11) ou pour couper un segment en extrême et moyenne raison (prop. VI-30).

• Théorème d'Al-Kashi. Les prop. 12 et 13 décrivent des résultats qu'on peut interpréter comme le théorème d'Al-Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus).

• Construction de la moyenne géométrique. La prop. 14 décrit comment construire un carré dont l'aire est égale à celle d'un rectangle donné.

Bibliographie

• Les œuvres d'Euclide, traduction de F. Peyrard, Paris (1819), nouveau tirage par Jean Itard, Editions Albert Blanchard (1993)
• Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions]

Éléments d'Euclide

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