Limites de référence

Cette page est une annexe de l'article Limite, conçue pour être une liste la plus complète envisageable des limites des suites usuelles, et des limites des fonctions usuelles partout où il y a lieu d'étudier une limite, c'est-à-dire aux limites du domaine de définition.

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Mathématiques élémentaires

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Mathématiques élémentaires

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En effet la majorité des fonctions usuelles sont continues sur leur domaine de définition $D \,\!$ par conséquent si $a \in D \,\!$ , on a $\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \,\!$ .

Fonctions polynômes et rationnelles

Fonctions constantes

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \lambda \\ \end{array}$
avec $\lambda\in\R$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lambda \,\!$

Monômes...

$\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & xˆn \\ \end{array}$
avec $n\in\Nˆ*$

En $+\infty \,\!$ : $\lim_{x \to +\infty} xˆn = +\infty \,\!$
En :
- Pour $n$ pair : $\lim_{x \to -\infty} xˆn = +\infty\,\!$
- Pour $n$ impair : $\lim_{x \to -\infty} xˆn = -\infty\,\!$

... et leurs inverses

$\begin{array}{ccccc} f & : & \Rˆ* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \cfrac{1}{xˆn} \\ \end{array}$
avec $n\in\Nˆ*$

En $\pm \infty \,\!$ : $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{xˆn} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{xˆn} = 0 \,\!$
En les fonctions ne sont pas définies :
- Pour $n$ pair : $\lim_{x \to 0\atop x \neq 0} \frac{1}{xˆn} = +\infty \,\!$
- Pour n impair :
  - $\lim_{x \to 0\atop x < 0} \frac{1}{xˆn} = -\infty \,\!$
  - Polynômes
    Les limites en $\pm\infty \,\!$ d'une fonction polynôme $P(x) = a_n xˆn + a_{n-1} xˆ{n-1} + \cdots + a_2 xˆ2 + a_1 x + a_0 \,\!$ avec $a_n \neq 0 \,\!$ sont les mêmes que celles du terme de plus haut degré $a_n xˆn \,\!$ , dit terme prédominant.
    
    On se rapporte par conséquent à l'étude des monômes, et on conclut selon la parité de $n \,\!$ et le signe de $a_n \,\!$ .
    
    Monômes de puissance quelconque
    
    Puissances positives :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & xˆ\alpha \\ \end{array}$
    avec $α > 0$
    
    $\lim_{x \to +\infty} xˆ\alpha = +\infty$
    
    Cas spécifique :
    $\sqrt{x} = xˆ{\frac{1}{2}}$ , par conséquent $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
    Puissances négatives :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & xˆ\alpha \\ \end{array}$
    avec $α < 0$
    
    $<img class=$
    Fonctions logarithmes, exponentielle et puissances
    
    Logarithmes
    
    Logarithme népérien (ou naturel) :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ˆ* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \ln(x) \end{array}$
    
    $<img class=$
    Logarithme de base $a$ :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R_+ˆ* & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \log_a(x) \end{array}$
    avec $a > 0$
    
    Base $a > 1$ :
    
    $<img class=$
    
    Base $a < 1$ :
    
    $<img class=$
    Exponentielle et puissance d'un réel positif
    
    La fonction exponentielle :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & {\rm e}ˆx \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -\infty} {\rm e}ˆx = 0$
    
    $\lim_{x \to +\infty} {\rm e}ˆx = +\infty$
    Fonction exponentielle de base $a$ :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & aˆx = {\rm e}ˆ{x\ln a} \end{array}$
    avec $a > 0$
    
    Base $a > 1$ :
    
    $\lim_{x \to -\infty} aˆx = 0 \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} aˆx = +\infty \,\!$
    
    Base $a < 1$ :
    
    $\lim_{x \to -\infty} aˆx = +\infty \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} aˆx = 0 \,\!$
    Fonctions trigonométriques et hyperboliques
    
    Fonctions trigonométriques
    
    Tangente :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{array}$
    Remarque :
    $\R\setminus\left\{\cfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi - \cfrac{\pi}{2}; k\pi + \cfrac{\pi}{2} \right[$
    
    Pour tout entier relatif $k \in \Z$ :
    
    $<img class=$
    Cotangente :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \cot(x) = \cfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \end{array}$
    Remarque :
    $\R\setminus\left\{k\pi, k\in\Z\right\} = \underset{k \in \Z}{\bigcup} \left]k\pi; (k+1)\pi \right[$
    
    Pour tout entier relatif $k \in \Z$ :
    
    $<img class=$
    Autres fonctions trigonométriques :
    
    Fonctions hyperboliques
    
    Sinus hyperbolique :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{sh}(x) = \cfrac{{\rm e}ˆx-{\rm e}ˆ{-x}}{2} \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{sh}(x) = -\infty \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{sh}(x) = +\infty \,\!$
    Cosinus hyperbolique :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{ch}(x) = \cfrac{{\rm e}ˆx+{\rm e}ˆ{-x}}{2} \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{ch}(x) = +\infty \,\!$
    Tangente hyperbolique :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{th}(x) = \cfrac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{th}(x) = -1 \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{th}(x) = 1 \,\!$
    Fonctions réciproques
    
    Arc tangente :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Arctan}(x) \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan}(x) = -\frac{\pi}{2} \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan}(x) = \frac{\pi}{2} \,\!$
    Argument sinus hyperbolique :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & \R & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argsh}(x) \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Argsh}(x) = -\infty \,\!$
    
    $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argsh}(x) = +\infty \,\!$
    Argument cosinus hyperbolique :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & [1;+\infty[ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argch}(x) \end{array}$
    
    $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Argch}(x) = +\infty \,\!$
    Argument tangente hyperbolique :
    $\begin{array}{ccccc} f & : & ]-1;1[ & \rightarrow & \R \\ & & x & \mapsto & \operatorname{Argth}(x) \end{array}$
    
    $\lim_{x \to -1} \operatorname{Argth}(x) = -\infty \,\!$
    
    $\lim_{x \to 1} \operatorname{Argth}(x) = +\infty \,\!$
    Suites usuelles
    
    Une suite est généralement définie terme-à-terme selon n :
    
    $\forall n \in \N, \ u_n=f(n) \,\!$
    
    ou alors définie par son premier terme $u_0 \in \R \,\!$ et une relation de récurrence :
    
    $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \varphi(u_n) \,\!$
    
    Dans le premier cas l'étude de la limite est simplement celle de la limite de la fonction $f \,\!$ en $+\infty \,\!$ ; dans le second l'étude est fréquemment plus complexe. On peut cependant conclure directement occasionnellementspécifiques.
    
    Suites arithmétiques
    
    * Voir article détaillé : suite arithmétique $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + r \,\!$
    
    Dans ce cas $\varphi(x)=x+r \,\!$ et $r \in \R \,\!$ est nommé la raison de la suite $u \,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n=u_0+nr \,\!$ .
    - Si $<img class=$
    - Si $r<0 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = -\infty \,\!$
    Suites géométriques
    - Voir article détaillé : suite géométrique
    $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n \,\!$
    
    Dans ce cas $\varphi(x)=q x \,\!$ et $q \in \R \,\!$ est toujours nommé la raison de la suite $u \,\!$ : on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n=qˆn u_0 \,\!$ .
    - Si $|q|<1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = 0 \,\!$
    - Si $q=1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = u_0 \,\!$
    - Si $<img class=$
    - Si $q<-1 \,\!$ alors $u \,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
    $\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!$
    
    $\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!$
    
    Suites arithmético-géométriques
    - Voir article détaillé : suite arithmético-géométrique
    $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = q u_n + r \,\!$
    
    Dans ce cas $\varphi(x)=q x + r \,\!$ (avec $q \neq 1 \,\!$ ) et on peut donner une expression directe de $u_n \,\!$ : $\forall n \in \N, \ u_n = qˆn u_0 + r \frac{qˆn-1}{q-1} \,\!$ .
    - Si $|q|<1 \,\!$ on a : $\lim_{n \to +\infty} (u_n) = \frac{r}{1-q} \,\!$
    - Si $<img class=$
    - Si $q<-1 \,\!$ alors $u \,\!$ n'a pas de limite mais les suites de rangs pairs et de rangs impairs vérifient :
    $\lim_{n \to +\infty} (u_{2n}) = +\infty \,\!$
    
    $\lim_{n \to +\infty} (u_{2n+1}) = -\infty \,\!$
    
    Suites homographiques
    
    $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \frac{a u_n + b}{c u_n + d} \,\!$
    
    Dans ce cas $\varphi(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \,\!$ (avec $c \neq 0 \,\!$ et $ad-bc \neq 0 \,\!$ ) et on ne peut pas généralement donner d'expression directe de $u_n \,\!$ . Cependant on peut déterminer les limites éventuelles selon les valeurs du discriminant $\Delta = (a-d)ˆ2 + 4bc \,\!$ de l'équation $\varphi(x) = x \,\!$ .
    - Si $\Delta < 0 \,\!$ la suite ne peut pas avoir de limite.
    - Si $\Delta = 0 \,\!$ l'unique limite $\ell \,\!$ envisageable est $\frac{a-d}{2c} \,\!$ .
    - Si $<img class=$ envisageables sont $\frac{a-d-\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!$ ou $\frac{a-d+\sqrt{\Delta}}{2c} \,\!$ .
    Cependant, dans les deux cas qui ont précédé, la convergence n'est pas assurée. Il faut étudier selon les valeurs du terme d'origine $u_0 \,\!$ la distance $|u_n-\ell| \,\!$ pour chaque valeur éventuelle de $\ell \,\!$ .
    
    Voir aussi
    - Opérations sur les limites
    - Propriétés des limites
    - Théorème des croissances comparées
    Recherche sur Amazon (livres) :
    
    Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Limites_de_r%C3%A9f%C3%A9rence.
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    La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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