Limite

La notion de limite est particulièrement intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini...



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Mathématiques élémentaires

Définitions :

  • limites - Il ya des limites lorsque à la mise ou levée maximale. Au poker, il ya trois genres de limites de base : Limit, Pot Limit et No limit.... (source : daspoker)
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La notion de limite est particulièrement intuitive malgré sa formulation abstraite. Pour les mathématiques élémentaires, il convient de distinguer une limite en un point réel fini (pour une fonction numérique) et une limite en +\infty ou -\infty (pour une fonction numérique ou une suite), ces deux cas apparemment différents pouvant être unifiés à travers la notion topologique de voisinage.

Les limites servent (entre autres) à définir les notions principales de continuité et de dérivabilité.

Pour une présentation générale, plus complète et plus abstraite, se référer à Limite (mathématiques) .

Limite d'une fonction en un point a

On s'intéresse ici à une fonction définie sur un ensemble Df ainsi qu'à un réel a localisé au voisinage de Df, c'est-à-dire un réel a tel que Df contienne un intervalle de la forme ]a, a + h] ou [a - h, a[ ou [a - h, a + h] privé de a.

Ainsi, quand Df est un intervalle (ouvert ou fermé) dont les limites sont b et c, on peut chercher une limite en tout point de l'intervalle fermé [b, c]. On peut aussi, par exemple, chercher la limite de la fonction x \mapsto 1/x en tout point de \R. Par contre, on ne cherchera pas de limite en 0 pour les fonctions x \mapsto \sqrt{xˆ2-1} ou x \mapsto \sqrt{xˆ4-xˆ2} car 0 n'est pas au voisinage du domaine de définition.

Limites finies

Si f\,\! est une fonction numérique et a\,\! un point de \R, on dira[1] que le réel l\,\! est la limite de f\,\! en a\,\! si :

a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon

C'est à dire, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de l\,\! que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de a\,\!.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to a}f(x) = l\,\!.

LimitDefinition.png

Limites illimitées

Il se peut aussi qu'au point a\,\! la fonction f\,\! n'ait pas de limite finie mais une limite illimitée : à mesure qu'on se rapproche de a\,\! la valeur de f\,\! devient de plus en plus «proche» de +\infty\,\! (respectivement -\infty\,\!) , c'est-à-dire de plus en plus grande (resp. plus grande en valeur absolue mais avec un signe négatif) . La formulation mathématique est alors la suivante : pour tout «seuil de tolérance» M\,\! on peut trouver un «écart de confiance» <img class= est proche de a\,\! à \delta\,\! près, alors f(x)\,\! est plus grande (resp. plus petite) que M\,\! :

a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \geq M

(resp. a-\delta \leq x \leq a+\delta \ \Rightarrow \ f(x) \leq M)

(illustration 2)

C'est à dire, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de \pm\infty\,\! que souhaité sur un intervalle, si petit soit-il, autour de a\,\!.

Dans ce cas, on écrira \lim_{x \to a}f(x) = +\infty\,\! (ou \lim_{x \to a}f(x) = -\infty\,\!) .

Limites à gauche, à droite

Il arrive que le comportement local de la fonction f\,\! soit différent «à gauche» de a\,\! (soit pour les x<a\,\!) et «à droite» de a\,\! (soit pour les <img class= avec l\,\! ou \pm\infty\,\! uniquement d'un seul côté de a\,\!. Les définitions et notations correspondantes deviennent donc :

\lim_{x \to a, x<a}f(x) = l,\! lorsque
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x) \leq l+\epsilon
\lim_{x \to a, x<a}f(x) = +\infty\,\! lorsque
a-\delta \leq x < a \ \Rightarrow \ f(x) \geq M
<img class=
<img class=

Les notions de limites à droite ainsi qu'à gauche sont moins restrictives que la notion classique de limite «bilatérale» : une fonction peut avoir une limite à gauche et une limite à droite sans avoir de limite. En fait on a les propriétés suivantes :

Exemple :

Limgauchedroite.png

Pour la fonction ci-dessus, on a :

f (0) = − 1
 \lim_{x \to 0-} f(x) = 1
 \lim_{x \to 0+} f(x) = -1

Absence de limite en un point

Une fonction peut particulièrement bien ne pas avoir de limite du tout en un point.

A titre d'exemple,  x \mapsto \sin(1/x) n'a pas de limite en 0.

Sinus1surx.png

Limite d'une fonction en ±∞

On s'intéresse ici, non plus au comportement local d'une fonction en un point réel fini mais à son comportement «aux limites», soit lorsque x\,\! croît indéfiniment (limite en +\infty) soit lorsque x\,\! décroît indéfiniment (limite en -\infty). Cette étude ne concerne par conséquent que des fonctions définies au voisinage de \pm \infty, c'est-à-dire des fonctions dont la totalité de définition contient un intervalle de la forme [M, + \infty[ ou ] - \infty, m].

On peut noter que dans ce cadre la notion de limite à droite ou à gauche n'a plus de sens ; en fait les limites en +\infty sont toujours des limites à gauche et les limites en -\infty sont toujours des limites à droite.

Limites finies

Dire que la fonction f\,\! admet la limite finie l\,\! en +\infty revient à dire que f(x) \,\! se rapproche de l\,\! à mesure que x\,\! grandit (ou «tend vers plus l'infini»).

Mathématiquement, cela se traduit par le fait que pour tout «écart de tolérance» <img class= et de rayon \epsilon \,\! : x \geq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon

C'est à dire, on peut rendre f(x)\,\! aussi proche de l\,\! que souhaité à partir d'un certain seuil, si lointain soit-il.

Dans ce cas on écrira \lim_{x \to +\infty}f(x) = l \,\!.

Tout ceci s'adapte aisément dans le cas d'une limite en -\infty : on dit que f(x)\,\! tend vers l\,\! lorsque x tend vers -\infty si pour un écart <img class= tel que : x \leq M \ \Rightarrow \ l-\epsilon \leq f(x)\leq l+\epsilon et on écrira alors \lim_{x \to -\infty}f(x) = l \,\!.

Exemple :

Inversa liminf.png

Ici, pour ε aussi petit qu'on veut, il existe M à partir duquel la fonction reste entre 0 + ε et 0 − ε. La fonction tend par conséquent vers 0.

Limites illimitées

Cas où la limite de f est +∞ lorsque x tend vers +∞

Limite x to +infty f(x) to +infty.png
\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty

Idée intuitive : On dit que f (x) tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty quand pour x suffisamment grand, f (x) peut devenir aussi grand qu'on veut.

Formulation mathématique : On dit que f (x) tend vers +\infty lorsque x tend vers +\infty quand quel que soit le réel M, il existe x0 tel que quel que soit x > x0, f (x) > M.

Notation : Dans ce cas, on note \lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.

Autres cas

Les autres cas sont résumés par les trois graphiques suivants :

Limite x to +infty f(x) to -infty.png Limite x to -infty f(x) to +infty.png Limite x to -infty f(x) to -infty.png
\lim_{x\to+\infty}f(x) = -\infty \lim_{x\to-\infty}f(x) = +\infty \lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty

Absence de limite en l'infini

Une fonction peut particulièrement bien ne pas avoir de limite en l'infini. La fonction sinus en est un exemple typique.

Sinuspetit.png

Limite d'une suite

Introduction

Les suites sont le type spécifique des fonctions dont le domaine de définition est \N \,\! ou une partie de \N \,\!. Il est par conséquent inutile de considérer la limite éventuelle d'une suite en un point a\,\! négatif, ou non-entier, ou encore en -\infty \,\!. Ce qui nous laisse comme possibilités a priori, les entiers naturels et +\infty \,\!.

Mais on voit rapidement que l'étude de la limite d'une suite en un entier n\,\! serait inintéressante ; en effet la totalité \N \,\! est discret c'est-à-dire que ses points «ne sont pas voisins les uns des autres», et par conséquent il est sans intérêt d'étudier le comportement local d'une suite. Ainsi l'unique cas de figure envisageable est le cas de la limite d'une suite en +\infty \,\!, et on parlera par conséquent de «limite d'une suite» sans préciser qu'il s'agit d'une limite en +\infty \,\!. On pourra même noter \lim (u_n) \,\! au lieu de \lim_{n \to +\infty} (u_n) \,\!.

Définition, convergence, divergence

La définition d'une suite découle assez naturellement de la restriction à une fonction définie sur \N \,\! de la définition de la limite en +\infty \,\! d'une fonction quelconque.

n \geq N_0 \ \Rightarrow l-\epsilon \leq u_n \leq l+\epsilon \,\!

On note alors \lim (u_n) = l \,\!, et on dit que (u_n) \,\! tend (ou plutôt converge) vers l \,\!.

Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. On a la propriété suivante : Toute suite convergente est bornée.

On dit tandis que (u_n) \,\! tend (ou plutôt diverge) vers +\infty \,\! (resp. vers -\infty \,\!) .

NB : On parle de suite convergente uniquement quand une suite admet une limite finie, et de suite divergente dans l'ensemble des autres cas, c'est-à-dire pour les suites divergeant vers \pm\infty \,\! ou pour les suites n'ayant pas de limite.

Exemples :

un = 1 / n tend vers 0
un = n tend vers +\infty
un = (− 1) n prend alternativement les valeurs 1 et -1 et n'a aucune limite.

Théorèmes assurant la convergence

Théorème 1 : Toute suite majorée croissante est convergente.

Théorème 2 : Toute suite minorée décroissante est convergente.

Suites extraites

On nomme suite extraite de la suite (u_n) \,\! une suite qu'on construit en énumérant les termes de (u_n) \,\! sauf certains qu'on laisse de côté ; ainsi on ne garde qu'une partie de l'information. L'exemple le plus classique est celui des suites (u_{2n}) \,\! qui est constituée par les termes de rang pair, et (u_{2n+1}) \,\! qui est constituée par les termes de rang impair.

D'une façon plus générale, on nomme «extraction» toute application \phi \ : \ \N \rightarrow \N \,\! strictement croissante. Alors une suite extraite est une suite de la forme (u_{\phi(n)}) \,\!.

Une propriété importante est que si une suite (u_n) \,\! admet une limite (finie ou illimitée) alors toute suite extraite (u_{\phi(n)}) \,\! admet la même limite.

NB : La réciproque est généralement fausse, ainsi qu'on peut le constater en prenant la suite (u_n) = (-1)ˆn \,\! ; alors (u_{2n}) \,\! est la suite constante égale à 1 \,\! et par conséquent elle converge vers 1 \,\!, ce qui n'est pas le cas de la suite (u_n) \,\! qui est divergente.

On peut par contre affirmer : Si les suites (u_{2n}) \,\! et (u_{2n+1}) \,\! admettent la même limite, alors la suite (u_n) \,\! admet elle aussi cette limite commune. On peut par conséquent ramener l'étude de la convergence d'une suite à celle des suites de rangs pair et impair qui peuvent s'avérer plus simples.

Notes

  1. C'est cette définition de limite d'une fonction qui est désormais en vigueur en France (programmes - plus ou moins précis - régulièrement publiés au Bulletin Officiel) dans l'enseignement secondaire et les classes préparatoires, supplantant la définition historique de Weierstrass qui correspond à celle nommée par conséquent "limite épointée" ou "limite par valeurs différentes" ([1]). Mais dans les universités françaises (et dans les autres pays [2]), la définition "historique" reste quelquefois celle enseignée : cf par exemple Mathématiques L1, Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés sous la direction de J. -P. Marco et L. Lazzarini (2007) Pearson, ISBN 9782744072581, p. 691-692, ou encore Mathématiques. Tout-en-un pour la Licence. Niveau L1 sous la direction de J. -P. Ramis et A. Warusfel (2006) Dunod, ISBN 210049614X, p. 588.

Compléments

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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