Lemme de Scheffé

Le lemme de Scheffé est un critère de convergence en loi concernant les suites de variables aléatoires à densité.



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Probabilités - Lemme de mathématiques

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  • texte sur les permutations aléatoires, fin, présenté par Caroline Deneux; révision du lemme de Scheffé, du lemme de Scheffé discret, de la méthode de rejet... (source : iecn.u-nancy)

Le lemme de Scheffé est un critère de convergence en loi concernant les suites de variables aléatoires à densité.

Énoncé et démonstration

Lemme de Scheffé —  Soit une suite de densités de probabilité définies sur le même espace et comparé à la même mesure sur. Supposons que converge presque partout vers une densité de probabilité Alors

  • converge vers dans
  • si les variables aléatoires et ont pour densités respectives et alors converge en loi vers

Donc, quand des fonctions sont positives et ont la même intégrale, on est affranchi des hypothèses habituelles de majoration uniforme de l'erreur apparaissant dans le théorème de convergence dominée.

En général, on applique le lemme de Scheffé dans le cas où et où la mesure est la mesure de Lebesgue : les variables aléatoires apparaissant dans le lemme sont alors des variables "à densité".

Exemple : convergence de la loi de Student vers la loi normale

Un exemple d'application est la convergence de la loi de Student vers la loi normale. Pour k ≥ 1, la loi de Student à k degrés de liberté a pour densité

f_k(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{tˆ2}{k})ˆ{\frac{k+1}{2}}},

Γ sert à désigner la fonction Gamma d'Euler. On a classiquement, pour tout

\lim_k\left(1+\frac{t}{k}\right)ˆ{k}=eˆ{t},

et donc

\lim_k\frac{1}{(1+\frac{tˆ2}{k})ˆ{\frac{k+1}{2}}}=eˆ{-tˆ2/2}.

On a aussi

\lim_{t\uparrow+\infty}\frac{\Gamma(t+\frac{1}{2})}{\Gamma(t)\sqrt{t}}=1.

Donc

\lim_kf_k(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ eˆ{-tˆ2/2}.

CQFD

Variante discrète

Sous certaines conditions, on peut adapter le lemme de Scheffé pour démontrer la convergence de lois discrètes vers des lois à densité. Pour un vecteur, notons le vecteur de coordonnées,. Alors

Lemme de Scheffé discret —  On se donne une suite de v. a. à valeurs dans, une suite, tendant vers, de réels strictement positifs, et une densité de probabilité sur. Si p. p. en on a

\lim_{n} a_{n}ˆd\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)=f(x),

alors converge faiblement vers.

Une fois cette dernière démonstration faite, le lemme de Scheffé discret dispense de trouver une majoration du terme d'erreur


\left|a_{n}ˆd\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)-f(x)\right|,

uniforme pour ce qui serait une manière plus lourde de montrer que


\lim_n\ \mathbb{P}\left(X_{n}/a_n \in A \right)\ =\ \lim_n\ \sum_{k\in(a_n\,A)\cap\mathbb{Z}ˆd}\ \mathbb{P}\left(X_{n}=k \right)\ =\ \int_A\ f(x)dx.

Généralement, un contrôle uniforme de la rapidité de convergence des termes de la somme est indispensable pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité (le terme de gauche est une somme finie dont le nombre de termes tend vers l'infini) vers l'intégrale limite. Dans ce cas précis, grâce au lemme de Scheffé, la convergence des termes de la somme, renormalisés, suffit pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité.

Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire

La loi de la distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire, est donnée, pour par

\mathbb{P}\left(D_n=k\right)\ =\ \frac{(k+1)\times(n)_{\downarrow k+1}}{nˆ{k+2}}.

En vertu de la bijection de Joyal, c'est aussi la loi du nombre de points cycliques d'une application de dans Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux problème des anniversaires. Quand on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste le rang de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que  : pour

\mathbb{P}\left(T_n=k\right)\ =\ \mathbb{P}\left(D_n=k-2\right).

On peut montrer, à l'aide du lemme de Scheffé, que

Proposition —  converge en loi vers la loi de Rayleigh.

En conséquence :

eˆ{-\alphaˆ2/2},
et vaut par conséquent 1/2 pour un groupe d'approximativement (soit 22, 5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement (soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).

Un contrexemple : la marche aléatoire simple symétrique

Notons la position de la marche aléatoire simple symétrique au temps. Abraham De Moivre a montré que converge en loi vers Ce faisant, Abraham De Moivre a mis à son compte 3 «premières» :

Malheureusement, on ne peut pas appliquer directement le lemme de Scheffé discret pour prouver le résultat de De Moivre. En effet :

\limsup_{n} \sqrt{n}\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor \right)=2eˆ{-xˆ2/2}/\sqrt{2\pi},

et

\liminf_{n} \sqrt{n}\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor \right)=0.

Comme est de même parité que la suite prend la valeur zero pour une illimitété d'indices, ceux pour lesquels et n'ont pas la même parité : dès que on peut vérifier à la main que est impair pour une illimitété d'indices (et pair pour une illimitété d'indices aussi), un constat analogue pouvant être fait pour Par contre, quand et ont même parité, on a :

\mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor \right)\ =\ {n\choose \left(n+\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor\right)/2}\ 2ˆ{-n}.

La formule de Stirling conduit alors à la limite annoncée, On peut cependant adapter la démonstration du lemme de Scheffé discret à ce cas spécifique : il suffit de poser


Y_{n}
=
\frac{S_{n}-1_{n\text{ impair}}+2U}{\sqrt{n}}.

Alors a pour densité


\frac{\sqrt{n}}2\ \mathbb{P}\left(S_{n}=1_{n\text{ impair}}+2\left\lfloor \frac{\sqrt{n}x}2\right\rfloor \right)\ \simeq\ \,eˆ{-xˆ2/2}/\sqrt{2\pi},

toujours via la formule de Stirling. Mais, comme plus haut,


\left\Vert  Y_{n}-\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}\right\Vert\  =\ \mathcal{O}\left(  \frac1{\sqrt{n}}\right).

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