Lemme d'Euclide

En mathématiques le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire qui correspond à la Proposition 30 du Livre VII des Éléments d'Euclide.



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  • Soit x un entier. Si x est premier avec n alors xφ (n) ≡ 1 mod n....... 3 Un nombre es nommé partie d'un nombre plus grand lorsqu'il divise précisément ce... Le lemme d'Euclide est vrai dans l'ensemble des anneaux factoriels, c'est-`a-dire... (source : langevin.univ-tln)
  • non obligatoirement premier divise Mp alors g = [2]q est d'ordre p dans le groupe..... le Lemme d'Euclide est vérifié : si π irréductible divise un produit... (source : lumimath.univ-mrs)

En mathématiques le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire qui correspond à la Proposition 30 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il décrit que :

Théorème — Si un nombre premier p divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors p divise b ou c.

Une généralisation est connue sous le nom de lemme de Gauss :

Théorème — Si un nombre entier a divise le produit de deux autres nombres entiers b et c, et que a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

Ceci peut être noté de façon formelle :

\forall (a, b, c)\in\mathbb{Z}ˆ3, ( a|bc \land \operatorname{PGCD}(a,b)=1 ) \Rightarrow a|c

Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticæ, l'énoncé du lemme d'Euclide forme la proposition 14 (section 2) et est utilisée pour prouver la théorème de factorisation en nombres premiers. Le lemme de Gauss en découle (article 19).

Les noms de ces deux propositions sont quelquefois confondus. On notera d'ailleurs que le lemme de Gauss apparaît déjà dans les Nouveaux éléments de mathématiques de Jean Prestet au XVIIe siècle[1].

Le lemme d'Euclide se généralise aux polynômes (cf l'article Arithmétique des polynômes) , ainsi qu'à tout anneau principal.

Démonstration

Soit (a,b,c)\in\mathbb{Z}ˆ3, avec \operatorname{PGCD}(a,b)=1 et a | bc

Comme a est premier avec b, selon le théorème de Bachet-Bézout, il existe par conséquent deux entiers relatifs u et v tels que :

ua + vb = 1

Multiplions membre à membre par c :

uac + vbc = c

Comme a | bc, il existe un entier relatif k tel que bc = ka, d'où :

uac + vka = c
(uc + vk) a = c

Cette relation montre que a | c.

Conséquences

Première conséquence

Énoncé

Soient a et b deux entiers naturels non nuls et p un nombre premier. Si p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b. (Cet énoncé est en fait la forme originelle du Lemme d'Euclide. )

Démonstration

- Si p divise a, alors la propriété est établie.
- Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux, puisque les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p. Ainsi, p est premier avec a, or p divise ab, par conséquent selon le théorème de Gauss, p divise b.

Deuxième conséquence

Énoncé

Soient a, b et c des entiers naturels non nuls. Si b et c sont premiers entre eux et divisent a, alors bc divise a.

Démonstration

- b divise a par conséquent il existe un entier naturel k tel que a = kb.
- c divise a par conséquent c divise kb. Comme c est premier avec b, selon le théorème de Gauss, c divise k.
Il existe par conséquent un entier naturel m tel que : k = mc.
Ainsi, a = kb = mbc. C'est à dire, bc divise a.

Généralisation

Soient a\in\mathbb Z, n \in \mathbb{N}ˆ* et (b_i)_{i\in[1,n]}\in{\mathbb{Z}ˆ*}ˆn vérifiant \forall (i,j)\in[1,n]ˆ2, i\ne j \Rightarrow\operatorname{PGCD}(b_i,b_j)=1.

On a alors : \left( \prod_{i=1}ˆn b_i \right)|a \Longleftrightarrow \forall i\in[1,n], b_i | a

Troisième conséquence

Énoncé

Pour un rationnel r, il existe un unique couple d'entiers p et q premiers entre eux, q strictement positif, tels que r vaut p divisé par q.

Démonstration

Soit r \in \mathbb{Q}

r \in\mathbb{Q} \Rightarrow \exists (p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}ˆ*, r = \frac{p}{q}

On note d = \operatorname{PGCD}(p,q).

d | p \Rightarrow \exists p_0 \in \mathbb{Z}, p = d p_0.

De même, d | q \Rightarrow \exists q_0 \in \mathbb{N}ˆ*, q = d q_0.


Montrons que \operatorname{PGCD}(p_0,q_0)=1.

Selon le théorème de Bachet-Bézout, \exists (a,b)\in\mathbb{Z}ˆ2, a p + b q = d.

On a par conséquent adp0 + bdq0 = d.

D'où ap0 + bq0 = 1.

Cette égalité assure que \operatorname{PGCD}(p_0,q_0)=1.


On a \frac{p}{q} = \frac{d p_0}{d q_0}.

D'où \frac{p}{q} = \frac{p_0}{q_0}.

Le couple (p0, q0) convient par conséquent bien.



Soit (p_1,p_2,q_1,q_2)\in{\mathbb{Z}}ˆ2\times{\mathbb{N}ˆ*}ˆ2 vérifiant :

  1. r = \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2}
  2. \operatorname{PGCD}(p_1,q_1) = \operatorname{PGCD}(p_2,q_2) = 1


On a par conséquent p1q2 = p2q1.

q2 | p1q2, par conséquent q2 | p2q1.

Or \operatorname{PGCD}(p_2,q_2)=1. Le théorème de Gauss montre que q2 | q1.

De même, q1 | p1q2. Or \operatorname{PGCD}(p_1,q_1)=1. Donc, par le théorème de Gauss, q1 | q2.

D'où q1 = q2, car (q_1,q_2)\in\mathbb{N}ˆ2.

Puis p1 = p2.


La forme irréductible d'un rationnel est par conséquent unique.

Réciproque du lemme de Gauss

Si a, b sont deux entiers tels que, pour tout entier c, a divise bc implique que a divise c alors a et b sont premiers entre eux.

En effet, soit d un diviseur commun à a et b : on peut écrire a = a'd et b = b'd. Par hypothèse, comme a divise ba', on a que a divise a' par conséquent d = 1, CQFD.


Références

  1. Euclide, Les Éléments, traduction, commentaires et notes de Bernard Vitrac [détail des éditions], vol. 2, p. 338-339.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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