Intersection

Dans la théorie des ensembles, l'intersection de deux ensembles A et B est la totalité qui contient l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A ainsi qu'à B, et uniquement ceux-là.

L'intersection de A et B est notée A∩B.

L'intersection de deux ensembles quelconques existe toujours. Si les ensembles A et B n'ont aucun élément en commun, on dit que leur intersection est vide ; on écrit : A ∩ B = .

Si l'ensemble des éléments de A sont éléments de B (si A est inclus dans B), alors A ∩ B = A.

Exemples en géométrie

Intersection de deux droites

Dans le plan

• Dans le plan, l'intersection de deux droites ni parallèles ni confondues est un point^[1] : . On dit qu'elles sont sécantes.
• Si deux droites sont parallèles mais différentes, elles n'ont pas de point commun ; leur intersection est vide :
• Si deux droites sont confondues, tous leurs points sont communs, l'intersection est une droite.

Dans l'espace

• Dans l'espace, deux droites sont non-coplanaires n'ont aucun point commun ; leur intersection est vide : .
• Deux droites parallèles ou sécantes sont coplanaires.

Autres exemples

Dans l'espace

• l'intersection d'une droite et un plan non parallèles est un point
• l'intersection de deux plans non parallèles est une droite.

Dans le plan

• l'intersection d'une droite et d'un cercle est constituée de zéro, un ou deux points, selon que la distance du centre du cercle à la droite est supérieure, égale ou inférieure au rayon du cercle. Si l'intersection est réduite à un point, la droite est tangente au cercle.
• l'intersection de deux cercles est constituée de deux points si la distance entre leurs centres est (strictement) inférieure à la somme de leurs rayons et supérieure à leur différence, d'un point si cette distance est égale à la somme ou à la différence des rayons (cercles tangents), vide dans les autres cas^[2].

En géométrie analytique

En géométrie analytique, l'intersection de deux objets est défini par le système d'équations constitué par la réunion des équations associées à chaque objet.

En dimension 2, l'intersection de deux droites est définie par un dispositif de deux équations à 2 inconnues, qui a, généralement, une solution unique, sauf si son déterminant est nul, auquel cas il en a soit zéro soit une illimitété : on retrouve les trois cas de la géométrie.

En dimension 3, l'intersection de trois plans est définie par un dispositif de trois équations à 3 inconnues, qui a, généralement, une solution unique, sauf si son déterminant est nul.

En algèbre booléenne

En algèbre booléenne, l'intersection est associée à l'opérateur logique et : si A est la totalité des éléments de E possédant la propriété P (ou satisfaisant la condition P) et B la totalité des éléments de E possédant la propriété Q (ou satisfaisant la condition Q), alors A ∩ B est la totalité des éléments de E possédant la propriété PetQ (ou satisfaisant à la fois la condition P et la condition Q).

Exemple 1 : si E est la totalité des entiers naturels inférieurs à 10, A la totalité des éléments de E impairs, et B la totalité des éléments de E premiers, alors A ∩ B est la totalité des éléments de E impairs et premiers :

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, A ∩ B = {3, 5, 7}

Exemple 2 : l'intersection de la totalité des rectangles (quadrilatères ayant leurs quatre angles droits) et de la totalité des losanges (quadrilatères ayant leurs quatre côtés égaux) est la totalité des carrés (quadrilatères ayant leurs quatre angles droits et leurs quatre côtés égaux).

Notes

Voir aussi

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