Intersection

Dans la théorie des ensembles, l'intersection de deux ensembles A et B est la totalité qui contient l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A ainsi qu'à B, et uniquement ceux-là.



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Opération - Mathématiques élémentaires - Théorie des ensembles

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Intersection des ensembles A et B

Dans la théorie des ensembles, l'intersection de deux ensembles A et B est la totalité qui contient l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A ainsi qu'à B, et uniquement ceux-là.

L'intersection de A et B est notée AB.

L'intersection de deux ensembles quelconques existe toujours. Si les ensembles A et B n'ont aucun élément en commun, on dit que leur intersection est vide ; on écrit : AB = \varnothing \,.

Article détaillé : Ensemble vide.

Si l'ensemble des éléments de A sont éléments de B (si A est inclus dans B), alors AB = A.

Exemples en géométrie

Intersection de deux droites

Dans le plan
Dans l'espace

Autres exemples

Dans l'espace
Dans le plan

En géométrie analytique

En géométrie analytique, l'intersection de deux objets est défini par le système d'équations constitué par la réunion des équations associées à chaque objet.

En dimension 2, l'intersection de deux droites est définie par un dispositif de deux équations à 2 inconnues, qui a, généralement, une solution unique, sauf si son déterminant est nul, auquel cas il en a soit zéro soit une illimitété : on retrouve les trois cas de la géométrie.

En dimension 3, l'intersection de trois plans est définie par un dispositif de trois équations à 3 inconnues, qui a, généralement, une solution unique, sauf si son déterminant est nul.

En algèbre booléenne

En algèbre booléenne, l'intersection est associée à l'opérateur logique et : si A est la totalité des éléments de E possédant la propriété P (ou satisfaisant la condition P) et B la totalité des éléments de E possédant la propriété Q (ou satisfaisant la condition Q), alors AB est la totalité des éléments de E possédant la propriété PetQ (ou satisfaisant à la fois la condition P et la condition Q).

Exemple 1 : si E est la totalité des entiers naturels inférieurs à 10, A la totalité des éléments de E impairs, et B la totalité des éléments de E premiers, alors AB est la totalité des éléments de E impairs et premiers :

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, AB = {3, 5, 7}

Exemple 2 : l'intersection de la totalité des rectangles (quadrilatères ayant leurs quatre angles droits) et de la totalité des losanges (quadrilatères ayant leurs quatre côtés égaux) est la totalité des carrés (quadrilatères ayant leurs quatre angles droits et leurs quatre côtés égaux).

Notes

  1. pour être rigoureux, on devrait dire ici : «est un ensemble de points à un élément»; l'abus «est un point» est reconnu comme acceptable
  2. pour le démontrer, il suffit de supposer les cercles, centrés en A et B, sécants en M, et d'écrire les inégalités triangulaires dans le triangle ABM

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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