Inéquation

Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues.



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Mathématiques élémentaires - Vocabulaire de l'algèbre - Équation

Définitions :

  • équation dans laquelle le signe égal est remplacé par un signe d'inégalité; ex : x – 2 (source : villemin.gerard.free)
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Une inéquation est une question, sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient des inconnues. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de ces inconnues qui rendent vraie l'inégalité.

Il faut bien entendu que le symbole < ou = ait un sens. Il est donc nécessaire, en mathématiques élémentaires, que les inconnues appartiennent à l'ensemble des réels R ou à une partie de R. Surtout, il est impossible de travailler dans la totalité des complexes C.

Exemples :

Règles opératoires

La résolution des inéquations va demander la connaissance de quelques règles opératoires s'apparentant à celles déjà évoquées pour la résolution des équations mais avec de subtiles et principales différences :

1. Transitivité de l'inégalité
si a < b et b < c alors a < c (propriétés valables pour deux inégalités de même nature : deux inégalités « < », ou deux inégalités « >» ou deux inégalités «≤» ou deux inégalités «≥»
2. On peut ajouter un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b alors a + c < b + c
3. On peut soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b alors a - c < b - c
4. On peut multiplier par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b et si c > 0 alors ac < bc
si on multiplie par un nombre négatif, l'inégalité change de sens
si a < b et si c < 0 alors ac > bc
5. On peut diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature.
si a < b et si c > 0 alors a/c < b/c
si on divise par un nombre négatif, l'inégalité change de sens
si a < b et si c < 0 alors a/c > b/c


À ces quelques règles, on ajoutera les quatre règles suivantes :

si a < b et a' < b' alors a + a' < b + b'
mais on ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens (car une soustraction est une addition de l'opposé et la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité).
si 0 < a < b et 0 < a' < b' alors aa' < bb'
si a < b alors -a > -b
si 0 < a < b alors 1/a > 1/b
si a < b < 0 alors 1/a > 1/b

Résolution d'inéquations spécifiques

Voir aussi

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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