Inégalité FKG

L'inégalité FKG, due à Fortuin, Kasteleyn et Ginibre est une version généralisée de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes.



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Inégalité - Probabilités

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L'inégalité FKG, due à Fortuin, Kasteleyn et Ginibre[1] est une version généralisée de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes. C'est une inégalité de corrélation utilisée, par exemple, en théorie de la percolation, et dans l'étude du modèle de graphes aléatoires dû à Erdős et Rényi.

Énoncé

Sous la forme due à Harris, l'inégalité FKG concerne un ensemble fini ou dénombrable J dont chaque élément j est soit dans l'état 0, avec probabilité 1-p, soit dans l'état 1 avec probabilité p. L'état global du dispositif J est par conséquent décrit par un élément de Comme les états des différents sites j de J sont supposés indépendants, la totalité des états, ou des configurations, est pourvu d'une loi de probabilité qui est une mesure produit de lois de Bernoulli. L'inégalité FKG stipule que

Inégalité FKG — 

  • Soit deux variables aléatoires X et Y croissantes sur Alors
 \mathbb{E}\left[XY\right] \geq \mathbb{E}\left[X\right] \mathbb{E}\left[Y\right].\,
  • Soit deux parties croissantes A et B de Alors
 \mathbb{P}(A\cap B) \geq \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B).\,

Cela revient à dire qu'il y a une corrélation positive entre les variables concernées, puisqu'on peut reformuler la première inégalité sous la forme


\text{Cov}\left(X,Y\right)\ \ge \ 0.

Ordre et croissance

\{a\le b\}\quad\Leftrightarrow\quad\{\forall j\in J,\ a_j\le b_j\}.\
\{a\le b\}\quad\Rightarrow\quad\{X(a)\le X(b)\}.\
\{a\le b\ \text{et}\ a\in A\}\quad\Rightarrow\quad\{b\in A\}.\
De manière équivalente, une partie A de Ω est dite croissante si sa fonction indicatrice est croissante.
Exemples :
  • Percolation : J est l'ensemble des arêtes du réseau arêtes ouvertes avec probabilité p et fermées avec probabilité 1-p, indépendamment les unes des autres.
    • la totalité A des configurations possédant un amas illimité est croissant (on dit que la propriété d'existence d'un amas illimité est croissante)  ;
    • pour deux sites donnés, x et y, la propriété "x est relié à y" est croissante ;
    • la propriété "x appartient à un amas illimité" est croissante.
  • Modèle d'Erdős-Rényi  : J est la totalité des n (n-1) /2 arètes potentielles entre n sommets numérotés de 1 à n, arètes présentes avec probabilité p et absentes avec probabilité 1-p, indépendemment les unes des autres. La totalité des arètes présentes définit un graphe aléatoire, noté G (n, p) , dont Erdős et Rényi ont étudié certaines propriétés (évènements) et certains paramètres (variables aléatoires). Parmi ces propriétés et paramètres,
    • la connexité est croissante ;
    • la planarité est décroissante ;
    • le nombre chromatique est croissant ;
    • la taille de la totalité indépendant de taille maximale (independence number) est décroissante ;
    • la propriété triangle-free est décroissante.

Preuve

Ordre total

Modulo des hypothèses d'intégrabilité, on a les inégalités suivantes :

Inégalité de corrélation — 

  • Soit deux variables aléatoires réelles X et Y définies et croissantes sur un ensemble complètement ordonné, pourvu d'une mesure de probabilité Alors
 \mathbb{E}\left[XY\right] \geq \mathbb{E}\left[X\right] \mathbb{E}\left[Y\right].\,
  • Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un ensemble non nécessairement ordonné, et soit I un intervalle tel que Soit deux fonctions f et g définies et croissantes sur I. Alors
 \mathbb{E}\left[f(Z)g(Z)\right] \geq \mathbb{E}\left[f(Z)\right] \mathbb{E}\left[g(Z)\right].\,

Ici encore, on peut reformuler la seconde inégalité sous la forme


\text{Cov}\left(f(Z),g(Z)\right)\ \ge \ 0,

et ici encore, on peut changer le sens de monotonie d'une ou deux des variables ou fonctions concernées, quitte peut-être à changer le sens de l'inégalité.

L'inégalité de Tchebychev pour les sommes est une conséquence immédiate de l'inégalité de corrélation ci-dessus : il suffit de considérer le cas spécifique où la variable aléatoire réelle Z suit la loi uniforme discrète sur De même, pour obtenir la version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, on choisit, dans l'inégalité de corrélation ci-dessus, une variable aléatoire réelle Z suivant la loi uniforme continue sur [0, 1].

Cas fini

On fait la démonstration dans le cas général où l'état global du dispositif fini J est décrit par un élément de L'état d'un élément j de J est décrit par un élément de la totalité qui est , comme au paragraphe précédent, un ensemble complètement ordonné pourvu d'une mesure de probabilité Comme exemple, on peut penser à mais l'inégalité FKG annoncée en début de page correspond au choix du cas spécifique :

\mathcal{O}=\{0,1\},\qquad \mathbb{Q}=(1-p)\delta_{0}+p\delta_{1}.

Le résultat démontré ici est par conséquent (du moins dans le cas où J est fini) plus fort que l'inégalité FKG annoncée.

On suppose, sans perte de généralité, que et on fait une démonstration par récurrence. L'initialisation de la récurrence (cas n=1) a été l'objet de la section précédente : c'est la première version de l'inégalité de corrélation.

On note

\begin{align}
\widehat{X}(\omega_{n})
&=\int_{\mathcal{O}ˆ{n-1}}\ X(\omega)\ \mathbb{Q}(d\omega_{1})\dots\mathbb{Q}(d\omega_{n-1})
\\
&=\mathbb{E}\left[X\left|\omega_{n}\right.\right]
\end{align}

l'espérance conditionnelle de X sachant la n-ème coordonnée de ω. On introduit de même. Du fait de la croissance de X et de Y, et de la croissance de l'intégrale (ou de l'espérance conditionnelle), les variables aléatoires et sont croissantes sur par conséquent, en vertu de l'inégalité de corrélation,

 \mathbb{E}\left[\widehat{X}\widehat{Y}\right] \geq \mathbb{E}\left[\widehat{X}\right] \mathbb{E}\left[\widehat{X}\right].\,

D'autre part, par propriété de l'espérance conditionnelle (ou, dans ce cas spécifique, à cause du théorème de Fubini),

\begin{align}
\mathbb{E}\left[\widehat{X}\right] \mathbb{E}\left[\widehat{Y}\right]
&=
\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X\left|\omega_{n}\right.\right]\right]\ \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[Y\left|\omega_{n}\right.\right]\right]
\\
&=
\mathbb{E}\left[X\right] \mathbb{E}\left[Y\right].
\end{align}

Considérons à présent que la n-ème coordonnée de ω est fixée. On travaille alors sur pourvu de l'espérance correspondant à la mesure produit :

\begin{align}
\tilde{\mathbb{E}}\left[Z\right]
&=\int_{\mathcal{O}ˆ{n-1}}\ Z(\omega)\ \mathbb{Q}(d\omega_{1})\dots\mathbb{Q}(d\omega_{n-1}).
\end{align}

On considère les applications

\begin{align}\tilde{X} :\qquad &\tilde{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}
\\
&(\omega_{1},\dots,\omega_{n-1})\rightarrow\tilde{X}(\omega_{1},\dots,\omega_{n-1})=X(\omega_{1},\dots,\omega_{n-1},\omega_{n})
\end{align}

et

\begin{align}\tilde{Y} :\qquad &\tilde{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}
\\
&(\omega_{1},\dots,\omega_{n-1})\rightarrow\tilde{Y}(\omega_{1},\dots,\omega_{n-1})=Y(\omega_{1},\dots,\omega_{n-1},\omega_{n}),
\end{align}

qui sont croissantes sur et qui vérifient

\tilde{\mathbb{E}}\left[\tilde{X}\right]=\widehat{X}(\omega_{n})
=\mathbb{E}\left[X\left|\omega_{n}\right.\right],
\tilde{\mathbb{E}}\left[\tilde{Y}\right]=\widehat{Y}(\omega_{n})
=\mathbb{E}\left[Y\left|\omega_{n}\right.\right].

On a par conséquent en vertu de l'hypothèse de récurrence (rang n-1)

\mathbb{E}\left[XY\left|\omega_{n}\right.\right]=\tilde{\mathbb{E}}\left[\tilde{X}\tilde{Y}\right]\ge\tilde{\mathbb{E}}\left[\tilde{X}\right]\tilde{\mathbb{E}}\left[\tilde{Y}\right]=\widehat{X}(\omega_{n})\widehat{Y}(\omega_{n}).

Finalement, avec la première inégalité,

\mathbb{E}\left[XY\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[XY\left|\omega_{n}\right.\right]\right]\ge\mathbb{E}\left[\widehat{X}\widehat{Y}\right]\ge\mathbb{E}\left[X\right]\mathbb{E}\left[Y\right].

A ce stade on a démontré l'inégalité FKG utile au modèle d'Erdos-Renyi, mais on n'a pas encore une inégalité FKG suffisamment puissante pour la théorie de la percolation. C'est l'objet de la section suivante.

Cas illimité dénombrable

La démonstration se fait à partir du cas fini, par passage à la limite, en utilisant un théorème de convergence presque sûre pour les martingales à carré intégrable. Voir Grimmett "Percolation", page 36, section 2.2.

Voir aussi

Pages liées

Bibliographie

Notes

  1. (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, «Correlation inequalities on some partially ordered sets», dans ["Communications in Mathematical Physics"], vol.  22, 1971, p.  89-103 (ISSN 0010-3616)  

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