Inégalité de Tchebychev pour les sommes

L'inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle découle directement de l'inégalité de réarrangement, et est un cas spécifique de l'inégalité FKG et de l'inégalité de Harris.



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L'inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle découle directement de l'inégalité de réarrangement, et est un cas spécifique de l'inégalité FKG[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Énoncé

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si et alors

{1\over n} \sum_{k=1}ˆn a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}ˆn a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}ˆn b_k\right).

De même, si et alors

{1\over n} \sum_{k=1}ˆn a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}ˆn a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}ˆn b_k\right).

Version continue : inégalité de corrélation

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0, 1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

 \int_{0}ˆ1 fg \geq \int_{0}ˆ1 f \times\int_{0}ˆ1 g.\,

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f (X) et g (X) soient de carré intégrables sur [0, 1], alors

 \text{Cov}\left(f(X),\,g(X)\right) \geq0,\,

ou bien, de manière équivalente,

 \mathbb{E}\left[f(X)g(X)\right] \geq \mathbb{E}\left[f(X)\right] \mathbb{E}\left[g(X)\right].\,

Pour obtenir l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur Pour obtenir la version continue ci-dessus, on choisit une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0, 1].

La démonstration de l'inégalité de corrélation est plus simple que la démonstration élémentaire de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, donnée dans cette page. L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles. La démonstration de l'inégalité de corrélation figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Voir aussi

Pages liées

Bibliographie

  1. (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, «Correlation inequalities on some partially ordered sets», dans ["Communications in Mathematical Physics"], vol.  22, 1971, p.  89-103 (ISSN 0010-3616)  

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