Inégalité de Le Cam

L'inégalité de Le Cam, due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson.



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Inégalité - Probabilités

L'inégalité de Le Cam[1], due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson. Sa démonstration, élégante et peu calculatoire, illustre la méthode de couplage popularisée par Wolfgang Döblin.

Énoncé

Soit un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs On note

S_n=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\  =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}.\

Alors

Inégalité de Le Cam — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

\left|\mathbb{P}\left(S_n\in  A\right)-\sum_{\ell\in   A}\,\frac{\lambda_nˆ\ell\,eˆ{-\lambda_n}}{\ell!}\right|\   \le\ \sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}ˆ2.

En particulier, Sn suit approximativement la loi de Poisson de paramètre λ dès que les deux conditions suivantes sont réunies :

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En conséquence,

\sum_{\ell\in\mathbb{N}}\ \left|\mathbb{P}\left(S_n=\ell\right)-\,\frac{\lambda_nˆ\ell\,eˆ{-\lambda_n}}{\ell!}\right|\    \le\ 2\ \sum_{k=1}ˆ{a_n}\,p_{k,n}ˆ2.

Conséquence : paradigme de Poisson

Posons

M_n=\max_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}.

On a les inégalités :

M_nˆ2\le\sum_{1\le  k\le a_n}\,p_{k,n}ˆ2\le M_n\lambda_n,\quad\text{et}\quad a_n\ge \lambda_n/M_n,

donc les deux conditions ci-dessus entrainent que

Conséquence : paradigme de Poisson —  La somme Sn de la plupart de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre

Remarques

A voir

Notes

  1. L. Le Cam, «An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution», dans Pacific Journal of Mathematics, vol.  10, no 4, 1960, p.  1181–1197 [texte intégral (page consultée le 2009-05-13) ] 
  2. (en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, The Clarendon Press Oxford University Press, 1992 (ISBN 0198522355)  .

Bibliographie

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