Inégalité de Kolmogorov

L'inégalité de Kolmogorov, due à Andreï Kolmogorov, est une étape principale de sa démonstration de la loi forte des grands nombres, un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités.



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Probabilités - Théorème de mathématiques - Inégalité

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L'inégalité de Kolmogorov, due à Andreï Kolmogorov, est une étape principale de sa démonstration de la loi forte des grands nombres, un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités. C'est l'étape où il utilise l'hypothèse d'indépendance (et, sans le dire, la notion de temps d'arrêt).

Enoncé

Inégalité de Kolmogorov.  — Soit une suite de v. a. r. indépendantes et centrées. Posons

W_{n}=Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{n}.

Alors, pour tout 0\ " src="http ://upload. wikimedia. org/math/e/6/a/e6aa854e2845a61422025db9d67db7fb. png" />,

<img class=Remarques :
  • L'inégalité
<img class=inégalité de Bienaymé-Tchebychev. La présence du sup rend l'inégalité bien plus précise, par conséquent plus complexe à démontrer.
  • Au contraire de la loi forte des grands nombres, l'inégalité de Kolmogorov ne requiert pas des variables de même loi.

Démonstration

Si, l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que

\sum_{n\ge 1}\text{Var}\left(Y_{n}\right)<+\infty.

On pose

<img class=

En effet, tandis que

<img class=

appartiennent aux tribus et, respectivement. Ils sont par conséquent indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien. On a

\begin{align}
\sum_{k=1}ˆn\,\text{Var}\left(Y_{k}\right)
&=
\text{Var}\left(W_{n}\right)\ =\ \mathbb{E}\left[W_{n}ˆ2\right]
\\
&\ge
\mathbb{E}\left[W_{n}ˆ21_{\sigma<+\infty}\right]
\\
&=
\sum_{k\ge1}\ \mathbb{E}\left[W_{n}ˆ2\ 1_{\sigma=k}\right]
\\
&\ge
\sum_{k=1}ˆn\ \mathbb{E}\left[W_{n}ˆ21_{\sigma=k}\right]
\\
&=
\sum_{k=1}ˆn\ \mathbb{E}\left[\left(W_{n}-W_{k}+W_{k}\right)ˆ21_{\sigma=k}\right]
\\
&\ge
\sum_{k=1}ˆn\ \mathbb{E}\left[W_{k}ˆ21_{\sigma=k}\right]+2\mathbb{E}\left[W_{n}-W_{k}\right]\mathbb{E}\left[W_{k}1_{\sigma=k}\right]
\\
&=
\sum_{k=1}ˆn\ \mathbb{E}\left[W_{k}ˆ21_{\sigma=k}\right]
\\
&\ge
\sum_{k=1}ˆn\ \mathbb{E}\left[xˆ21_{\sigma=k}\right]
\\
&=
xˆ2\mathbb{P}\left(\sigma\le n\right),
\end{align}

où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de). L'égalité suivante tient à ce que est centrée (comme somme de v. a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt  : par définition, au temps, on a x\ " src="http ://upload. wikimedia. org/math/4/7/1/4710e9f90d24b2cf1f5d2915974486d9. png" />. En faisant tendre vers l'infini on obtient

<img class=Voir aussi
  • l'article en anglais sur le même sujet.

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