Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément.



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  • Théorie des ensembles : Terminologie des probabilités. Ω : événement certain... Inégalité de Boole : {Ai : i ∈ I } ⊂ Л. I ⊂ IN fini ou dénombrable... (source : stat.ucl.ac)
  • On suppose que les probabilités des ai sont inversement proportionnelles à leur numéro i.... Exercice 5 Inégalités de Boole et de Bonferroni :... (source : proba.jussieu)
  • 4) Quelle est la probabilité qu'une famille ait précisément deux filles sachant qu'elle a deux garçons ? Exercice 18 : Inégalités de Boole et de Bonferroni :... (source : math.univ-paris-diderot)

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, ..., on a :

\mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A_n\right) \leq \sum_n \mathbb{P}\left(A_n\right).

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).

Inégalités de Bonferroni

Des inégalités, connues sous le nom d'inégalités de Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Posons :

S_1 := \sum_{i=1}ˆn \mathbb{P}(A_i),
S_2 := \sum_{i<j} \mathbb{P}(A_i \cap A_j),

et pour 2 < kn,

S_k := \sum \mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),

où la somme est effectuée sur l'ensemble des k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ kn

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}ˆn A_i \right) \leq \sum_{j=1}ˆk (-1)ˆ{j+1} S_j,

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ kn

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}ˆn A_i \right) \geq \sum_{j=1}ˆk (-1)ˆ{j+1} S_j.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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