Indétermination de la forme 0/0

En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène quelquefois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont l'ensemble des deux pour limite 0.



Catégories :

Analyse - Mathématiques élémentaires

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Voici quelques exemples de différentes formes d'indétermination qui illustre ce que veut dire une indétermination. 1. ∞. Quelques limites de la forme 0/0... (source : prof.cchic)

En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène quelquefois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont l'ensemble des deux pour limite 0. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s'applique, on dit qu'on a affaire à une indétermination du type 0/0. Pour lever l'indétermination, il existe de nombreuses techniques - procédés algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivée ou du développement limité) - dont certaines sont présentées dans cet article.

On parle de forme indéterminée pour la limite car, dans une situation de ce type, on peut être amené, après transformation, selon les cas, à conclure que la limite est nulle, ou bien est un réel non nul, ou bien est illimitée ou bien même n'existe pas.

Quelques procédés algébriques

Cas des fonctions rationnelles

Soit f est une fonction rationnelle,

f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}

P et Q sont des fonctions polynômes.

si a est un réel tel que Q (a) = 0, on peut être amené à chercher la limite en a de f. Si P (a) = 0, un calcul simple de limite conduit à une indétermination de la forme 0/0.

Une propriété concernant les polynômes va permettre de lever cette indétermination : pour tout polynôme P, tel que P (a) = 0, il existe un polynome P1 de degré moindre tel que P (x) = (x - a) P1 (x) . C'est à dire, si a est racine de P, P est factorisable par x - a. Cette factorisation peut s'obtenir par identification ou en utilisant la méthode de Horner.

Dans le cas de cette limite, les polynômes P et Q ayant l'ensemble des deux comme racine a, on peut écrire pour tout x de la totalité de définition de f,

f(x) = \dfrac{(x - a) P_1(x)}{(x-a)Q_1(x)} = \dfrac{P_1(x)}{Q_1(x)} = f_1(x).

Rechercher la limite en a de f revient à chercher la limite en a de f1.

La recherche de la limite en a de f1 peut conclure à une absence de limite, à une limite illimitée ou à une limite réelle.

Exemples

Un simple calcul prouve que le numérateur et le dénominateur s'annulent en 1. Or, 1 est racine évidente de x2 + 3x − 4. Une factorisation par (x - 1) est par conséquent envisageable. Pour tout x de Df,
f(x) = \dfrac{(x - 1)(x+4)}{(x-1)(2x+1)} = \dfrac{x+4}{2x+1},
\lim_{x \to 1} f(x) =\lim_{x \to 1} \dfrac{x+4}{2x+1} = \dfrac 53.
Le numérateur et le dénominateur s'annulant en -2, il doit être envisageable de mettre x + 2 en facteur. Pour tout x de Df,
f(x) = \dfrac{2(x+2)}{(x+2)ˆ2} = \dfrac{2}{x+2}.
Cette seconde fonction ne possède pas de limite en - 2. Elle possède cependant des limites à droite ainsi qu'à gauche en - 2 :
\lim_{x \to - 2ˆ+}  \dfrac{2}{x+2} = + \infty.
Cette fonction est bien une fonction rationnelle qui, remise sous sa forme canonique, donne, pour tout x différent de 2 et de 0,
f(x) = \dfrac{xˆ2-4}{4xˆ2}\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{x+2}{4xˆ2}.
Il est alors simple d'en calculer la limite en 2 :
\lim_2 f = \dfrac 14.

Cas des fonctions comportant des racines carrées

Quand il existe, dans le quotient, des racines carrées, l'idée est de transférer l'indétermination à une foncton rationnelle pour utiliser la technique précédente. Le transfert se fait, généralement en multipliant numérateur et dénominateur par une quantité conjuguée.

Exemples

On multiplie alors numérateur et dénominateur par \sqrt{xˆ2+6x}+4 :
f(x) = \dfrac{xˆ2+6x-16}{xˆ2-2x}\times\dfrac{1}{\sqrt{xˆ2+6x}+4},
f(x) = \dfrac{(x-2)(x+8)}{x(x-2)}\times\dfrac{1}{\sqrt{xˆ2+6x}+4}=\dfrac{x+8}{x}\dfrac{1}{\sqrt{xˆ2+6x}+4}
Le calcul de la limite sous la dernière forme se fait aisément :
\lim_{x \to 2} f(x) = \dfrac{10}{2}\times\dfrac{1}{8} = \dfrac 58
On multiplie numérateur et dénominateur par \sqrt x (ou bien on simplifie par \sqrt x, ce qui revient au même).
f(x) = \dfrac{x}{x}\times\dfrac{1}{\sqrt x} = \dfrac{1}{\sqrt x}
Cette dernière limite se calcule aisément :
\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty

Changement de variable

Le changement de variable permet quelquefois, par modification de la forme de la fonction reconnue, de mettre en évidence une factorisation ou une limite de référence. Il faut cependant faire attention : un changement de variable entraîne aussi une modification de la valeur vers laquelle tend la variable. Le principe du changement de variable s'appuie sur la propriété de la limite d'une fonction composée.

Exemples

f(x) =\dfrac{\sqrt x - 2}{x - 4}.
En première approche, la recherche de la limite de la fonction f lorsque la variable x tend vers 4 mène vers une indétermination de la forme 0/0. On propose alors le changement de variable suivant :
u=\sqrt x.
On remarque que, quand x tend vers 4 alors u tend vers 2.
On a de plus :
f(x) = \dfrac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \dfrac{u-2}{uˆ2 - 4}.
On peut alors rechercher la limite d'une fonction g telle que pour tout u de [0;2[ ou ]2;+∞[,
g(u) = \dfrac{u-2}{uˆ2 - 4}
lorsque u tend vers 2. Par factorisation, on en déduit que la limite recherchée originellement est 1/4.
Il s'agit toujours d'une indétermination 0/0. On pose alors
u= 1/x.
On remarque tandis que
f (x) = ueu,
et que, quand x tend vers 0 par la gauche, u tend vers - \infty.
\lim_{u \to -\infty} ueˆu = 0 (limite de référence),
donc
\lim_{x \to 0ˆ-} f(x) = 0.

Quelques procédés analytiques

Les procédés analytiques utilisent les propriétés de dérivabilité des fonctions en présence, ou bien l'existence de développements limités

Dérivée

La naissance la plus fréquente d'une indétermination du type 0/0 concerne le calcul de la dérivée en a à partir du taux d'accroissement de la fonction : si la fonction f est dérivable en a alors

 \lim _{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)

L'utilisation d'une dérivée est par conséquent un moyen simple de lever une indétermination de ce type. Elle donne l'occasion de présenter des indétermination 0/0 de référence

ici f (x) = sin (x), a = 0, f' (x) = cos (x) et f' (0) = 1
ici f (x) = cos (x), a = 0, f' (x) = - sin (x) et f' (0) = 0
ici f (x) = ln (x), a = 1, f' (x) =1/x et f' (1) = 1
ici f (x) = ex, a = 0, f' (x) =ex et f' (0) = 1

Il peut par conséquent être utile dans de nombreuses expressions de faire apparaitre des taux d'accroissement lorsque l'indétermination est du type 0/0;

Article détaillé : règle de L'Hôpital.

Cette méthode exploitée plus à fond, conduit à la règle de L'Hôpital : si f et g ont pour limite 0 en a et si le quotient des dérivées f'/g' admet une limite en a, cette limite est aussi la limite en a de f/g

Développements limités

Un développement limité au voisinage de a, du numérateur et du dénominateur permet aussi fréquemment de résoudre simplement une indétermination de ce type.

Exemple

Le calcul direct des limites mène à une indétermination de la forme 0/0. Il est alors utile de rechercher un développement limité au voisinage de 0 des différentes fonctions de référence en présence. Un développement limité d'ordre 1 ne permettra pas de conclure mais un développement limité d'ordre 2 sert à lever l'indétermination.
eˆ{xˆ2} = 1 + xˆ2 + o(xˆ2)\,,
\cos(x) = 1 - \dfrac{xˆ2}{2} + o(xˆ2)\,,
\sinˆ2(x) = xˆ2 + o(xˆ2)\,,
donc
 f(x) = \dfrac{\dfrac 32 xˆ2 + o(xˆ2)}{xˆ2+o(xˆ2)} =  \dfrac{\dfrac 32  + o(xˆ2)/xˆ2}{1+o(xˆ2)/xˆ2} .
Le passage à la limite se fait alors aisément :
 \lim_{x \to 0} f(x) = \dfrac 32 .

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Ind%C3%A9termination_de_la_forme_0/0.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu