Inconnue

Une inconnue, en mathématiques, est un élément constitutif d'une question de même nature qu'une équation. L'inconnue sert à décrire une propriété vérifiée par une ou plusieurs valeurs qui prendraient la place de cette inconnue, ces valeurs étant fréquemment des nombres.



Catégories :

Équation - Vocabulaire de l'algèbre

Définitions :

  • variable qu'on cherche à calculer; notée x, y ou z; appelée solution ou racine dès que la valeur est connue (ou les valeurs) – v. Variable (source : villemin.gerard.free)

Une inconnue, en mathématiques, est un élément constitutif d'une question de même nature qu'une équation. L'inconnue sert à décrire une propriété vérifiée par une ou plusieurs valeurs qui prendraient la place de cette inconnue, ces valeurs étant fréquemment des nombres. Dans le cas d'une équation, une bonne réponse est une valeur pour laquelle, lorsque on la substitue à l'inconnue, l'égalité est vérifiée. Cette réponse prend le nom de solution. L'inconnue est aussi utilisée dans d'autres situations comme une inéquation. Un problème peut comporter plusieurs inconnues, mais chacune d'entre elles est exprimée sous la forme d'un seul et unique symbole.

Une inconnue possède les mêmes propriétés algébriques, que les objets mathématiques susceptibles de lui être substitués. Il est ainsi envisageable d'additionner x avec x, on obtient 2x. En général, les opérations applicables aux valeurs envisageables de l'inconnue le sont aussi à celle-ci. C'est lorsque on opère mais aussi on parle vraiment d'inconnue au sens mathématique. Mais l'inconnue peut juste désigner une valeur qu'on cherche à expliciter sans qu'elle soit véritablement utilisée pour modéliser la question.

Historiquement, l'inconnue est en premier lieu utilisée dans la modélisation de problèmes de nature algébrique, qui mettent en jeu des polynômes. Ce cas spécifique correspond à une théorie qui était nommée théorie des équations. Mais ce cadre s'est élargi : avec surtout les progrès de l'analyse apparaissent des équations traitant d'autres fonctions que les fonctions polynomiales, et l'inconnue n'est plus nécessairement un nombre mais, par exemple, un vecteur ou une fonction.

Si le terme inconnue apparaît sous la plume de Pierre de Fermat[1], un mathématicien du XVIIe siècle, le concept est plus ancien. Diophante au IIIe siècle introduit l'arithme, qui quoique moins opératoire, préfigure l'inconnue moderne. Le vocabulaire et certains principes fondamentaux de la résolution des équations, comme celui de la balance, proviennent en grande partie du mathématicien Al-Khawarizmi et de ses disciples. La lettre X est un avatar de gizr un mot arabe à l'origine de l'usage du terme racine, synonyme de solution dans le cas d'une équation polynomiale.

Exemples introductifs

Exemple du premier degré

Article détaillé : Équation du premier degré.

Un exemple de question introduisant une inconnue est :

Question — Un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ?[2]

L'usage d'une inconnue sert à résoudre cette question. Si X sert à désigner le tas, la question se résume à trouver la solution de l'équation suivante :

(1)\quad X + \frac 15X = 21

En effet, répondre à la question consiste à trouver une valeur telle que, si l'inconnue X est remplacée par cette valeur, l'égalité est vraie. Ceci montre quoique le problème se formalise par l'équation (1) et la recherche de sa solution. Pour toute valeur, la valeur et son cinquième est égale à 6/5 de la valeur, l'équation (1) peut prendre la forme suivante :

(2)\quad \frac 65X = 21

Si deux valeurs sont identiques, le produit de chacune des deux valeurs par 5 sont toujours identiques, il est envisageable de multiplier les deux membres de l'égalité (2) , sans pour tout autant modifier les solutions des équations associées, et :

(3)\quad 6X = 21\times 5 = 105

Le même raisonnement montre qu'il est envisageable de diviser par 6 les deux membres de l'équation (3) , sans changer la racines de l'équation associée. On obtient X = 105/6 = 35/2 = 17+1/2. La valeur de la solution est explicitée, le tas est égal à 17+1/2.

L'équation (1) se compose, pour chacun des deux membres de l'égalité, d'une somme de termes constitués, soit d'un produit d'un nombre et de l'inconnue, soit d'un nombre. Ce type d'équation est dite du premier degré.

Cet exemple met en valeur deux propriétés de l'inconnue et de l'équation qui l'utilise. La première traite des propriétés algébriques de l'inconnue. Le passage de l'égalité (1) à la (2) est obtenue avec une factorisation, une somme de deux termes X + 1/5. X est égale à un produit 6/5. X. Il est envisageable d'additionner deux termes contenant une inconnue précisément comme si l'inconnue était un nombre. De même, il est envisageable de multiplier l'inconnue par 5 et de la diviser par 6, ou encore de la multiplier par 5/6. On peut additionner et multiplier des termes contenant l'inconnue, par un nombre ou encore par une expression contenant l'inconnue. Ces facultés sont nommées propriétés algébriques de l'inconnue car elles traitent de son comportement vis à vis des opérations somme et produit.

La seconde propriété est quelquefois nommée le principe de la balance[3]. L'égalité définissant l'équation peut être vue comme deux plateaux d'une balance, si les valeurs sont assimilées à des poids. L'égalité est vérifiée si les poids, à droite ainsi qu'à gauche du signe égal, sont les mêmes. Si tel est le cas, on peut ajouter, retrancher, multiplier ou diviser les poids de la même manière à droite ainsi qu'à gauche sans modifier l'équilibre. On utilise ce principe pour passer de l'égalité (2) à la (3) , on multiplie par 5 de chaque côté de l'égalité.

Exemple du deuxième degré

Article détaillé : Équation du second degré.

L'inconnue sert à résoudre des problèmes plus complexes. L'exemple choisi ici est dit du second degré :

Question — Un champ rectangulaire possède une aire de 96 et un périmètre de 40. Quelles sont les longueur et largeur du champ ?[4]

Tout d'abord, l'objectif est de traduire la question posée en une équation. Comme le périmètre est égal à 40, la somme de la longueur et de la largeur est égale à 20. On considère la demi-somme c'est-à-dire 10. L'inconnue choisie ici, notée X, représente la valeur à ajouter à 10 pour obtenir la longueur, par définition égale à 10 + X. La somme de la longueur et de la largeur est égale à 20, ce qui veut dire que la largeur est égale à 10 - X. Dire que l'aire est égale à 96 revient à dire que le produit de la longueur et de la largeur est égal à 96, ce qui sert à construire l'équation répondant à la question :

(1)\quad (10+X)(10-X) = 96\;

Dans un deuxième temps, on applique des transformations à l'équation de telle manière à rendre visible l'ou les valeurs envisageable (s) de X pour le moment cachée (s) dans l'équation. Ces valeurs, qu'on rend visible, sont aussi nommées racines. Une identité remarquable est vraie pour tout couple de nombres, elle est aussi applicable à une expression contenant une inconnue :

(10+X)(10-X) = 10ˆ2 - Xˆ2 = 100 - Xˆ2\;

Cette identité remarquable permet d'écrire différemment l'équation (1)  :

(2)\quad 100 - Xˆ2= 96\;

Ajouter X2 - 96 à chacun des deux membres de l'égalité ne modifie pas les solutions de l'équation :

4 = Xˆ2\;

Comme la longueur est plus grande que la largeur, X est obligatoirement positif, l'unique solution acceptable est 2.

Dans un troisième temps, on explicite la solution et on vérifie qu'elle est exacte. La longueur est égal à 10 + 2, soit 12 et la largeur à 10 - 2, soit 8. La somme de la longueur et de la largeur est bien égale à 20 et le périmètre à 40. Le produit de la longueur et de la largeur vaut 8 x 12 soit 96, on trouve bien l'aire recherchée. L'usage d'une inconnue sert à résoudre la question.

Cet exemple offre un double enseignement sur l'usage de l'inconnue pour la résolution d'une question. Une démarche envisageable a lieu en trois temps. En premier lieu, la question posée est traduite sous forme d'équation, comportant par définition une inconnue. Par la suite, une série de transformations dites algébriques rendent visibles la racine, originellement cachée dans l'équation. Ces transformations ont pour but d'isoler l'inconnue dans un des côtés de l'égalité définissant l'équation. Les identités remarquables sont fort utiles pour parvenir à cette isolation. Enfin, on vérifie que la solution trouvée est bien la réponse à la question posée.

Propriétés

Opérations usuelles

Les deux exemples introductifs illustrent les raisons de la puissance de la méthode. Elle provient du fait qu'il est envisageable d'opérer sur l'inconnue précisément comme sur une valeur 2, 5 ou √2. Ainsi, la somme de deux multiples de X est le produit de la somme des multiples, par X; par exemple :

3X + 4X = (3 + 4)X= 7X\;

Cette règle est toujours valable pour les nombres rationnels ou réels :

\frac 34 X + \frac 45 X = \frac {15}{20}X + \frac {16}{20}X = \frac {31}{20}X\;

L'associativité de l'addition et de la multiplication est inchangée :

2X + (3X + 4X) = (2X + 3X) + 4X = 9X \quad\text{et}\quad 2(3X) = (2\times 3)X = 6X\;

La distributivité de la multiplication sur l'addition est vérifiée sur des expressions contenant une inconnue précisément comme sur les valeurs habituelles :

(X + 2)(X + 3) = X(X+ 3) + 2(X + 3) = Xˆ2 + 3X + 2X + 6 = Xˆ2 + 5X + 6\;

Les puissances d'inconnues suivent les mêmes règles que celles usuelles :

Xˆ3\cdot Xˆ2 = Xˆ5 \quad\text{et}\quad \frac {Xˆ5}{Xˆ2} = Xˆ3

Il est indispensable d'être légèrement prudent avec la dernière égalité. Le terme de droite X5/X2 n'a pas de sens si X est remplacé par 0. La dernière égalité n'est vraie que si X est remplacé par une valeur différente de 0.

Identité remarquable

Article détaillé : Identité remarquable.

certaines identités polynomiales sont nommées «identités remarquables» :

(x + 10)ˆ2 = xˆ2 + 20x + 100,\quad (2x -3)ˆ2 = 4xˆ2 -12x + 9,\quad (x + \sqrt 2)(a - \sqrt 2) = xˆ2 - 2

Ces identités sont vraies quelle que soit le nombre qu'on substitue aux variables, ici x. Les équations s'écrivent aussi comme des égalités, mais qui ne sont généralement pas forcément vraies, on cherche précisément quelles valeurs substituer à la variable pour que l'égalité soit réalisée. Il est envisageable d'utiliser une identité pour une variable, jouant peut-être le rôle d'inconnue dans une équation, ou d'une façon plus générale pour toute expression, par exemple polynomiale, utilisant une variable.

Elles sont utiles pour résoudre certaines équations polynomiales, comme celles du second degré. Un exemple est traité dans l'article détaillé, et le cas général dans l'article équation du second degré.

Division par zéro

Une erreur fréquente consiste à diviser deux membres d'une équation par 0, ce qui n'a pas de sens et induit des résultats absurdes. Avec des inconnues, l'erreur est moins flagrante et demande une attention plus soutenue pour l'éviter. Considérons, pour s'en rendre compte, l'égalité entre deux inconnues : X = Y. Cette équation est équivalente aux égalités suivantes :

Yˆ2 = XY, \quad -Yˆ2 = -XY,\quad Xˆ2 - Yˆ2 = Xˆ2 - XY = X(X-Y)\;

On peut appliquer une identité remarquable à la dernière égalité et , semble-t-il diviser par (X- Y) chaque membre de l'égalité :

Xˆ2 - Yˆ2 = X(X-Y),\quad (X+Y)(X-Y) = X(X-Y) \;\overset{?}{\Rightarrow}\;X+Y = X

La dernière égalité est étrange, si on choisit X égal à 1, Y qui est égal à X est aussi égal à 1 et il semble qu'on a démontré que 2 est égal à 1. L'erreur est commise sur le point d'interrogation, l'implication suppose une division à droite ainsi qu'à gauche de l'égalité par (X- Y). Or comme X est égal à Y, les deux termes sont égaux à 0. Cette division, qui n'a pas de sens, conduit à un résultat absurde.

Première approche

Concept

Le premier sens du mot est associée aux questions comme celle du premier paragraphe : Un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ? le terme inconnue sert à désigner la valeur du tas.

La question précédente pourrait s'exprimer sous la forme d'une équation, ce n'est pas forcément le cas : Il y a 5 ans Alice était plus de trois fois plus jeune que Béatrice, qui a désormais 32 ans. Que sait-on sur l'âge d'Alice ?. L'inconnue est désormais l'âge d'Alice, répondre à la question revient à dire qu'Alice a entre 5 et 14 ans. L'inconnue se situe par conséquent entre 5 et 14. On voit bien la présence d'une inconnue, mais pas de possibilité de traduire la question sous la forme d'une équation, c'est-à-dire d'une égalité. On parle ici d'inéquation.

L'inconnue n'est pas forcément une valeur, une vieille légende[5] raconte que la reine Didon cherchait à trouver, dans un demi-plan, la surface de périmètre donné et de plus grande aire envisageable[6]. Cette fois-ci, l'inconnue n'est plus une valeur ou un nombre, mais une figure géométrique, la solution est un demi-disque.

Cette définition, particulièrement générale, n'est pas forcément du goût des historiens. Ils considèrent que le terme inconnue, au sens mathématique, s'applique seulement si l'inconnue dispose d'un minimum de propriétés mathématiques. Ce sens plus précis sert à définir les origines d'une branche des mathématiques nommée algèbre[7].

Méthode de fausse position

Article détaillé : méthode de la fausse position.

Répondre à la question : Un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ?, peut se faire, sans opérer sur une inconnue. La méthode de la fausse position, qui était utilisée dès l'égypte antique, en est une illustration. Elle fonctionne en trois étapes[8] :

Ici, le terme inconnue est synonyme de tas. Il correspond à un terme générique, plus proche de la langue parlée que du concept mathématique.

Résolution géométrique

Article détaillé : Algèbre géométrique.
Equation quadratique (1).jpg
Equation quadratique (2).jpg

Recherchons désormais la géométrie d'un rectangle d'aire 96 et de périmètre 40. Si cette surface était un carré, comme son périmètre est 40, son côté serait 10. L'aire est trop grande dans la mesure où elle vaut 100, au lieu de 96 et elle dépasse de 4. Retranchons au carré d'aire 100, un petit carré d'aire 4 et par conséquent de côté 2. On obtient un gnomon illustré sur figure de gauche.

La figure de gauche possède à la fois la bonne aire et le bon périmètre, mais ce n'est pas un rectangle. On considère la bande, illustrée en rouge sur la figure de droite. Elle est précisément de la même dimension que le rectangle vert de la même figure. Retrancher la zone rouge et ajouter la zone verte ne modifie ni le périmètre ni l'aire de la figure.

Le bon rectangle est de longueur 12 et de largeur 8. L'inconnue de la question du deuxième paragraphe est par conséquent 12, correspondant à la longueur d'un rectangle d'aire 96 et de périmètre 40.

Une fois toujours, cette méthode a permis de résoudre l'équation sans poser d'équation ni opérer sur une inconnue.

L'inconnue des algébristes

Définition

Article détaillé : Théorie des équations (histoire des sciences) .

Les équations polynômiales (à une inconnue) s'écrivent comme des égalités entre termes n'utilisant comme opérations que l'addition et la multiplication sur une inconnue et des nombres déterminés. Il est toujours envisageable de les écrire comme l'égalité à 0 d'un terme, nommé polynôme, qui est une somme de produits d'un nombre et d'une puissance de l'inconnue. Les équations des exemples introductifs sont des équations polynômiales.

La résolution des équations polynomiales, ou algébriques, a joué un rôle important dans l'apparition et le développement de l'algèbre. La branche des mathématiques traitant de ces cas s'appelait théorie des équations.

Inconnue auxiliaire

On cherche à trouver une valeur x tel que[9] :

(1)\quad \frac x{10 -x} + \frac {10 - x}x = \sqrt 5

Cette équation se traduit en une équation algébrique en multipliant par x et 10 - x (x doit être différent de 0 et de 10 pour que l'équation d'origine est un sens).

(2)\quad xˆ2+10 \sqrt 5 - 200 = 10x

C'est une équation du second degré qu'on peut résoudre directement. Abu Kamil, un algébriste arabe du début du 10ème siècle, à l'idée d'une solution plus simple en choisissant une inconnue auxiliaire. Traduit en termes modernes (Abu Kamil ne dispose pas de notre langage symbolique), il définit y comme représentant (10 - x) /x. L'équation (1) s'écrit maintenant :

(3)\quad y+ \frac 1y = \sqrt 5

EN multipliant cette équation par y, on obtient une troisième équation :

(4)\quad yˆ2 + 1 = \sqrt 5\cdot y

Cette fois-ci, l'équation (4) est de la famille décrite dans la définition précédente. On obtient :

yˆ2 - \sqrt 5\cdot y + 1 = 0

puis

yˆ2 - 2 \frac {\sqrt 5}2 y + \frac 54 = \frac 14

Le membre de droite est une identité remarquable. Avec le formalisme utilisé, on peut écrire autrement l'équation :

\left(y - \frac {\sqrt 5}2\right)ˆ2 = \left(\frac 12\right)ˆ2

On en déduit deux solutions pour l'équation (3) 1/2 (√5 + 1) et 1/2 (√5 - 1). L'égalité définissant y, donne, pour chacune des valeurs envisageables de y, une équation du premier degré en x. On trouve finalement les solutions 5 (√5 - 1) et 5 (3 - √5).

Cas général

Définition

Les équations algébriques ne permettent pas de résoudre l'ensemble des questions. Il en existe d'autres, soit parce que l'équation s'exprime avec des fonctions qui ne sont pas algébriques, comme le sinus, soit tout simplement parce que la valeur recherchée n'est pas dans un simple ensemble de nombres, comme pour la question que se posait Didon, ou pour l'équation qui régit le mouvement d'une planète autour du soleil, dont l'inconnue est ce mouvement même, et qu'on qualifie de différentielle. Une équation s'écrit d'une façon plus générale [10] :

f(x) = g(x)\;

L'inconnue x est une variable, f (x) et g (x) sont des fonctions, elles associent à une valeur, par exemple 1, les nombres notés f (1) et g (1). Si on considère les polynômes comme des fonctions, les équations algébriques s'expriment bien de cette façon. Il est théoriquement envisageable de mettre l'ensemble des équations sous cette forme[11], à condition de considérer l'inconnue x comme pouvant appartenir à un ensemble arbitraire (de nombres, de vecteurs, de fonctions, etc. ) et les fonctions f et g comme, elles aussi, totalement générales.

Exemple

On cherche à répondre à la question suivante : un coureur se déplace sur une piste circulaire d'un rayon de 100 mètres. Le disque ayant pour frontière la piste, contient une ligne blanche qui parcourt un diamètre, le coureur part d'un point diamètre et de la piste. Quelle distance le coureur a-t-il parcouru la première fois qu'il se trouve à 50 mètres de la ligne blanche ?

La distance parcourue est l'inconnue x de la question, qui se formalise par l'équation suivante :

100 \cdot \sin \left(\frac x{100}\right) = 50 \quad \text{ou}\quad (1)\quad 100 \cdot \sin \left(\frac x{100}\right) - 50 = 0

On trouve comme réponse 100. π/6, soit légèrement moins de 52, 4 mètres. Le terme de gauche de l'équation (1) peut être reconnu comme une fonction, qui à x associe la valeur du membre de gauche de l'équation.


Fragments d'histoire

Une préhistoire babylonienne et égyptienne

Le papyrus Rhind est un des plus vieux textes mathématiques connus, on y trouve le terme aha qui se traduit en français par inconnue.

Aussi loin que remontent les textes mathématiques, on trouve des questions faisant usage du terme inconnue, au sens d'une valeur qu'on recherche et qu'on ne connait pas. La première question introductive de l'article provient d'un vieux papyrus égyptien nommé papyrus Rhind. Dans le texte indiquant comment trouver la solution, inconnue se dit aha[12] et la méthode de résolution utilisée est celle de la fausse position. La seconde question date des babyloniens, il s'agit toujours de valeurs, originellement inconnues et qu'on cherche à établir, connaissant certaines caractéristiques vérifiées par ces dites valeurs. La tablette n'est pas suffisamment explicite pour savoir si la méthode de résolution est géométrique ou non. Les calculs correspondent précisément à ceux présentés dans la solution géométrique et rien ne laisse penser à une formalisation de l'inconnue.

Cette conception de l'inconnue n'est pas reconnue par les historiens des sciences comme l'inconnue au sens mathématique du terme. Il sert à désigner ici un mot du langage familier, l'inconnue est ce qui correspond à la question à résoudre et qui devient connue une fois le problème élucidé. Or un formalisme mathématique, associé à la définition même de ce qu'on considère désormais comme l'algèbre est indispensable pour comprendre l'histoire du concept. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer précisent : «Le terme d'algèbre, pour une époque où la recherche de l'inconnue n'est pas encore explicite, et toujours moins l'étude des "équations", doit être utilisé avec prudence. [13]». On ne trouve ceci ni dans les mathématiques babyloniennes ou égyptienne, ni dans celles de l'époque d'Euclide chez les grecs.

La méthode de fausse position ou la résolution géométrique de recherche d'un champs d'aire et de périmètre donné, qui ont été présentées plus haut, sont des exemples de méthodes qui n'utilisent pas l'inconnue mathématique, même si elles révèlent bien ce qui était au départ inconnu dans la question posée.

Les travaux de Diophante

l'Arithmetica est un ouvrage de Diophante détaillant les propriétés de l'arithme, l'ancêtre de l'inconnue tel qu'elle est désormais formalisée.

Les historiens placent le début du concept d'inconnue[14], au sens mathématiques du terme, plus de 2.000 ans après la redaction du papyrus Rhind. On le trouve pour la première fois chez un mathématicien du IIIe siècle, nommée Diophante.

Son inconnue est nommée arithme, qu'il symbolise par la lettre S : «Le nombre qui possède une quantité indéterminée d'unités se nomme l'arithme, et sa marque différentive est S[15]». Diophante dispose d'un ancêtre de langage symbolique[16], ainsi Sλγ veut dire 12. x car λ symbolise 10, γ 2 et S l'inconnue, désormais notée X. Ce n'est pas tant l'existence d'un langage pré-symbolique qui fait qu'on attribue à Diophante la découverte de l'inconnue au sens mathématique du terme, mais bien plus les propriétés qu'il lui prête.

Dans l'introduction de son ouvrage, intitulé Arithmetica, Diophante précise les règles algébriques, c'est-à-dire qu'il indique comment additionner, soustraire, multiplier et diviser des expressions contenant son arithme : «Ainsi, pour l'arithme, nous dirons l'inverse de l'arithme, pour sa puissance, nous dirons l'inverse du carré[17]» ou encore «L'inverse de l'arithme multiplié par le bicarré de l'arithme donne le cube de l'arithme[18]», ce qui veut dire en langage moderne que 1/x multiplié par x4 est égal à x3.

Le principe de la balance, c'est-à-dire le fait qu'on puisse ajouter ou retrancher de chaque côté de l'égalité une même expression est développée : «Il est utile que celui qui aborde ce traité se soit exercé à l'addition, à la soustraction ainsi qu'à la multiplication des espèces, ainsi qu'à la manière d'ajouter des espèces positives et négatives avec des cœfficients différents à d'autres espèces qui sont elles-mêmes positives, ou même positives et négatives; enfin à la manière de retrancher d'espèces positives et d'autres négatives, d'autres espèces soit positives, soit aussi positives et négatives. Par la suite, s'il résulte d'un problème que certaines expressions sont identiques à des expressions semblables, mais avec des cœfficients différents, il faudra retrancher de part et d'autre les [espèces] identiques des identiques, jusqu'à ce qu'on obtienne une seule espèce égale à une seule espèce. [19]».

Ces principes sont les premiers enseignés sur le maniement de l'inconnue, définie au sens mathématique[20]. L. Radfort s'exprime ainsi : «Cette résolution nous sert à voir qu'avec Diophante nous sommes en présence d'un changement conceptuel dans la façon en premier lieuer certains problèmes mathématiques : une quantité inconnue est mise en scène et cette quantité, l'arithme, va être prise en compte dans les calculs : on va opérer avec elle . [21]»

L'apport de la civilisation arabe

Première page de l'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison

La civilisation arabe s'attache spécifiquement à la résolution des équations algébriques. Héritière, à la fois des mathématiques indiennes et grecques, les mathématiciens arabes n'ont pas les mêmes réticences que les hellènes vis à vis des irrationnels. Les mathématiciens indiens travaillent depuis longtemps déjà sur la racine carrée et sur des problèmes du second degré ayant des solutions non rationnelles. Dès le VIIIe siècle les Éléments d'Euclide sont traduits en arabe[22] mais aussi les travaux du mathématicien indien Brahmagupta[23].

A cette époque, Al-Khawarizmi reprend dans les Éléments d'Euclide[24] la partie traitant de certains problèmes du second degré. Il en modifie profondément l'approche. Le formalisme n'est plus géométrique ni celui d'une question ou d'une liste de questions à résoudre, comme le faisaient les babyloniens ou Diophante, mais la résolution d'une équation, s'exprimant directement avec une inconnue. Son ouvrage Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison porte un titre décrivant le principe de la balance déjà décrit : dans une équation, on peut ajouter le même terme des deux côtés de l'égalité, principe nommé al-jabr; ou le retrancher ce qu'il nomme al-muqābala. Ce livre traite de l'ensemble des équations du second degré, on le considère pour cette raison comme : «l'acte de naissance d'une théorie des équations quadratiques, dans la totalité des nombres positifs (presque toujours rationnels), théorie qui comporte toujours quelques lacunes. [25]»

Comparé au livre de Diophante, on trouve des régressions, mais aussi des avancées. Le véritable progrès réside dans le fait que la portée de l'inconnue n'est plus limitée aux nombres rationnels, même si les cœfficients de l'équation restent presque toujours rationnels[26]. Par contre, Al-Khawarizmi ne développe presque aucun langage symbolique. Son apport essentiel consiste à symboliser l'inconnue par une lettre[27] ainsi qu'à introduire une notation positionnelle des nombres issues des indiens. Cette défaillance n'empêche pas la définition d'un concept rigoureux, mais rend plus complexe le maniement de l'inconnue. Qui plus est , chez Al-Khawarizmi l'inconnue, qu'il nomme le say' et qui veut dire la chose qu'on recherche, n'est pas différenciée de la notion de solution, la valeur cachée qu'on recherche, qu'il nomme gizr et qui se traduit en racine.

Ces lacunes sont progressivement comblées par ses successeurs, Abu Kamil son disciple, généralise l'étude des équations à celles ayant des cœfficients rationnels[28]. Al-Karaji développe une arithmétique de l'inconnue, qui préfigure notre algèbre des polynômes[29]. Son œuvre est pousuivie et développée par Al-Samaw'al qui introduit une notation des polynômes comme tableaux de leurs cœfficients, énormément plus opératoire que celle de ses prédécesseurs[30]. L'écriture symbolique se développe, Al-Karkhi utilise des symboles pour décrire les puissances de l'inconnue, le symbole > positionné au-dessus d'un nombre veut dire la racine carrée et un signe proche du J sert à désigner le signe égal[31].

L'apport de la civilisation arabe ne porte pas tant sur la formalisation de l'inconnue, Diophante disposait déjà d'un concept particulièrement opérationnel, mais sur son domaine d'application, qui devient ce qu'on nomme désormais historiquement la théorie des équation, et en particulier un environnement syntaxique plus riche, avec une notation décimale et une plus grande richesse de symboles, donnant la possibilité un maniement plus simple de l'inconnue. L'écriture de l'algèbre en texte reste néanmoins prédominante[32].

Assimilation européenne

L'Europe découvre les travaux des mathématiciens arabes bien avant ceux de Diophante, au XIIe siècle le texte d'Al-Khawarizmi est traduit en latin par Robert de Chester puis Gérard de Crémone[33]. Certains mots de notre vocabulaire connexes à la notion d'inconnue proviennent de l'arabe. Le terme algèbre est une traduction d'al-jabr d'Al-Khawarizmi, le mot racine est une traduction du gizr'du même auteur et , au XVIe siècle, il finit par apporter les mots racine carrée[34] et radical. Le symbole X est une déformation du d'origine de Radix le terme latin désignant racine[35].

Si le concept de l'inconnue, pour une équation algébrique, est formalisée principalement de la même manière en Europe et chez les arabes, le développement d'un langage symbolique plus riche et plus concis, par Viète, Fermat et Descartes, donne une puissance opérationnelle plus vaste et permet d'étendre la théorie des équations.

Voir aussi

Références

  1. J. Miller Radix, Root, Unknown, Square root Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
  2. On trouve cet exemple dans : T. Joulin Les connaissances en Egypte Ancienne Egypte ancienne par Touthankharton
  3. Cette expression est ancienne, on la retrouve par exemple chez les indiens : L. Rodet L'algèbre d'Al-Khârizmi et les méthodes indienne et grecque 1878
  4. Traduction libre à partir de la référence précédente p 36
  5. Virgile, Énéide [détail des éditions] [lire en ligne] Livre 1, 16
  6. Voir l'article Isopérimétrie
  7. J. Peiffer précise : «Le terme d'algèbre pour une époque où la recherche de l'inconnue n'est pas encore explicite, et toujours moins l'étude des "équations", doit être utilisé avec prudence.»Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 77
  8. On trouve cette solution dans : T. Joulin Les connaissances en Egypte Ancienne Egypte ancienne par Touthankharton
  9. Le problème et la solution sont extrait de Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]  p 87. La question est soulevée par Abu Kamil un algébriste arabe et résolue par la méthode présentée ici.
  10. C'est sous cette forme que les encyclopédies définissent généralement une équation. Pour Encarta une équation est une «égalité entre deux expressions mathématiques dont on cherche si elle est vérifiée pour certaine (s) valeurs (s) de la variable nommée inconnue.»lire
  11. Pour l'encyclopédia Universalis «Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, par conséquent une formule de la forme, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à poser la question : à quelles conditions ces deux expressions sont-elles identiques ? Résoudre une équation revient à déterminer ses solutions, qui sont les valeurs des variables (inconnues a priori, d'où le nom d'inconnues donné aux variables) pour lesquelles l'équation est satisfaite quand on substitue ces valeurs aux variables. En d'autres termes, une équation est une égalité » Lire
  12. Résolutions calculatoires par l'équipe académique de Bordeaux (1999)
  13. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]  p 77
  14. Voir, par exemple La première inconnue par l'IREM de Poitiers p 27
  15. La première inconnue par l'IREM de Poitiers p 27
  16. L. Radford Diophante et l'algèbre pré-symbolique Bulletin AMQ (1991)
  17. P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 3
  18. P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 2
  19. P. Ver Eecke Diophante d'Alexandrie. Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones Desclée de Brouwer Liège (1926) p 8
  20. Voir par exemple le site : Équations du premier degré à une inconnue Site mathématique de l'Académie d'Orléans-Tour
  21. L. Radford Diophante et l'algèbre pré-symbolique Bulletin AMQ (1991) p 4
  22. B. Russel A History of Western Philosophy Touchstone (ISBN 0671201581) p 212
  23. traduit vers 771 par AL-Farazi : D. Singmaster [www. g4g4. com/pMyCD5/CHRONOS/MEDIEVAL. DOC Medieval chronology from the greeks to the renaissance] London South Bank University (2008)
  24. Particulièrement le contenu du Livre II des Éléments d'Euclide
  25. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 85
  26. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 85
  27. A. Lazrek K. Sami Notation symbolique, le tournant de la mathématique arabe Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences, Marrakech, Maroc
  28. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 86
  29. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]  pp 88-89, L. Charbonneau Monde arabe Université du Quebec à Montreal
  30. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]  pp 90-9Z
  31. A. Lazrek K. Sami Notation symbolique, le tournant de la mathématique arabe Université Cadi Ayyad, Faculté des Sciences, Marrakech, Maroc
  32. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. «Points Sciences», 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions] , p 109
  33. J. -P. Guichard Histoire des symboles Irem de Poitier p 27 (2003)
  34. Delord Vinrich Bourdais Cinq sur cinq : Mathématiques Hachette éducation 2003 (ISBN 2011253632)
  35. Voir, par exemple : C. Kahn et O. Schladenhaufen mathématiques arabes au lycée Irem de Strasbourg, (1985)

Liens externes

Un maniement de l'inconnue pour résoudre des équations simples
Une histoire de la première inconnue, vue sous l'angle du langage symbolique
Une analyse de la découverte de l'inconnue par Diophante
Une analyse des outils développées pour résoudre les équations du premiers et second degré

Bibliographie

Livre didactique pour comprendre comment manier l'inconnue d'une équation algébrique dans les cas simples
Livre de synthèse sur l'apport de Diophante
Livre de synthèse sur l'apport de la civilisation arabe
Le plan de la partie historique est en grande partie issue de la page 72 à 118 et qui traite des équations algébriques. Les équations non algébriques ne forment pas un axe directeur du livre, le sujet est traité accessoirement dans les chapitres 5 et 6 intitulés, La limite : de l'impensée au concept, puis Le concept de fonction et le développement de l'analyse.

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