Idéal

En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers.

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Anneau - Idéal

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est un morphisme d'anneau. Son noyau est un parfait de Z, il est par conséquent de la forme qZ, où q>=0. La caractéristique de A est par définition cet entier q.... (source : bibmath)
Idéaux d'un anneau commutatif unitaire. 1 Définitions. Définition Soit un anneau commutatif unitaire (A, +, ×) et I une partie de A. I est un parfait de A si et ... (source : dma.ens)
Un anneau est dit n-acc si toute suite croissante d'idéaux génèrés par ≤.... étant un parfait commun `a A et `a B. Si D est parfait, l'anneau A = D + J... (source : raco)

En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il est ainsi envisageable d'énoncer des versions particulièrement générales de théorèmes d'arithmétique tels que le théorème des restes chinois ou le théorème essentiel de l'arithmétique, valables pour les idéaux. On peut aussi comparer cette notion à celle de sous-groupe distingué pour la structure algébrique de groupe en ce sens qu'elle sert à définir la notion d'anneau quotient.

Aspect historique

La théorie des idéaux est assez récente puisque elle fut créée par Richard Dedekind vers la fin du XIX^e siècle. À cette époque, une partie de la communauté mathématique s'intéresse aux nombres algébriques et surtout aux entiers algébriques.

La question est de savoir si les entiers algébriques se comportaient comme les entiers relatifs, surtout la décomposition en facteurs premiers de manière unique. Il semblait bien, dès le début du XIX^e siècle, que cela n'était pas forcément le cas : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau $\mathbb Z[i\sqrt{5}]$ sous la forme $2 \times 3$ ou sous la forme $(1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})$

Ernst Kummer pressent tandis que cela va dépendre des nombres en question et invente la notion de nombres complexes idéaux.

L'idée est de rendre unique la décomposition en facteurs premiers en ajoutant artificiellement d'autres nombres (de la même manière qu'on ajoute i aux nombres réels tel que $i 2 = - 1$ pour disposer de nombres aux carrés négatifs). Dans l'exemple ci-dessus, on va "inventer" quatre nombres "idéaux" a, b, c et d tels que :

$2 = a \cdot b$

$3 = c \cdot d$

$1 + i\sqrt{5} = a \cdot c$

$1 - i\sqrt{5} = b \cdot d$

Ainsi, 6 se décomposera alors de manière unique en :

$6 = a \cdot b \cdot c \cdot d$

C'est Dedekind en 1871 qui reprend la notion de nombre parfait de Kummer et qui crée la notion d'idéal dans un anneau. Il s'intéresse essentiellement aux anneaux d'entiers algébriques, c'est-à-dire à des anneaux commutatifs, unitaires et intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur la totalité des idéaux d'un anneau commutatif, unitaire et intègre des opérations identiques à l'addition et la multiplication dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'algèbre générale, mais également dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

Définition

Une partie $I$ d'un anneau $A$ est un idéal à gauche de A si :

I est un sous-groupe additif de A.
$\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I$
Le produit, à gauche, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

et est un idéal à droite de A si :

I est un sous-groupe additif de A.
$\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I$
Le produit, à droite, d'un élément de I par un élément de A appartient à I.

Un idéal bilatère est un parfait à gauche ainsi qu'à droite. Dans un anneau commutatif, les notions d'idéal à droite, d'idéal à gauche et d'idéal bilatère se confondent et on parle alors simplement d'idéal.

Exemples :

Pour tout entier relatif $k$ , $k \mathbb{Z}$ est un parfait de $\mathbb{Z}$ .
Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux triviaux de A. Ces idéaux sont sans intérêt, c'est pourquoi on appellera idéal propre un parfait différent de A.
Si A est un anneau unitaire et si $I$ est un parfait contenant 1 alors $I = A$ . D'une façon plus générale, si $I$ contient un élément inversible alors $I = A$
Les seuls idéaux dans un corps $K$ sont les idéaux triviaux ; c'est pourquoi le domaine d'application des idéaux est la divisibilité dans un anneau.

Morphisme d'anneau

Article détaillé : Anneau quotient.

Un parfait joue, pour les anneaux, le même rôle que les sous-groupes normaux pour les groupes.

Soit A et B deux anneaux et φ un morphisme de A dans B, alors le noyau de φ est un parfait bilatère.

Soit A un anneau et I un parfait bilatère de A, alors le groupe quotient A/I peut être pourvu d'une unique structure d'anneau telle que la surjection canonique de A dans A/I soit un morphisme d'anneaux. Cf. section ci-dessous.

Soit A et B deux anneaux, φ un morphisme d'anneau de A dans B. Notons s l'application canonique de A dans l'anneau quotient A/I et i le morphisme de φ (A) dans B qui à b associe b. Alors, i est une injection, s une surjection et il existe une bijection b tel que :

$\phi = i\circ b\circ s$

Soit A et B deux anneaux et un morphisme d'anneau de A dans B. Alors :
- Si J est un parfait bilatère de B alors $\varphiˆ{-1}(J)$ est un parfait bilatère de A. Si, qui plus est , J est un parfait premier de B, alors $\varphiˆ{-1}(J)$ est un parfait premier de A. Il n'y a par contre pas de résultat analogue pour les idéaux maximaux.
- Si φ est un morphisme d'anneaux surjectif de A dans B, alors pour tout parfait bilatère I de A, φ (I) est un parfait bilatère de B.
- La propriété ci-dessus n'est généralement pas vraie si φ n'est pas surjectif. On peut prendre par exemple A=ℤ, B=ℚ et φ l'inclusion canonique. Alors φ (I) n'est un parfait de ℚ que si I est l'idéal nul.

Opérations portant sur les idéaux

Dans ce qui suit, on suppose que les idéaux reconnus sont de même type (par ex. tous bilatères)

Somme : si I et J sont deux idéaux d'un anneau alors la totalité $I+ J = \{x + y | x \in I \ et \ y \in J\}$ est un parfait.

Intersection : une intersection quelconque d'idéaux reste un parfait.

La totalité des idéaux de A pourvu de ces deux opérations forme alors un treillis.

Idéal génèré : la seconde loi sert à mettre en place cette notion. Si P est une partie d'un anneau, on nomme idéal génèré par P l'intersection de l'ensemble des idéaux de A contenant P.

Exemples :

Pour un anneau commutatif $A$ , a∈A génère l'idéal $a A$ (par exemple n génère $n\mathbb Z$ , parfait de $\mathbb Z$ )
Pour I et J deux idéaux de A, l'idéal $I + J$ est génèré par le sous-ensemble $I \cup J$ de A.

Produit : si I et J sont deux idéaux bilatères d'un anneau, on nomme produit de I et J l'idéal IJ égal à la totalité des sommes finies

∑	x_ky_k
k

où $x_k\in I$ et $y_k\in J$ . On a $IJ\subset I\cap J$

Exemple : dans l'anneau $\mathbb Z$ , le produit des idéaux $n\mathbb Z$ et $p\mathbb Z$ est l'idéal $np\mathbb Z$ et ce dernier est inclus dans $n\mathbb Z \cap p\mathbb Z$

Anneau quotient : si I est un parfait bilatère, la relation $x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I$ est une relation d'équivalence compatible avec les deux lois de l'anneau. On peut alors créer, sur la totalité des classes $\dot x = x + I$ une structure d'anneau nommé anneau quotient.

Article détaillé : Anneau quotient

Radical d'un parfait d'un anneau commutatif

Si $I$ est un parfait d'un anneau commutatif $A$ , on nomme radical de $I$ , noté $\sqrt{I}$ , la totalité des éléments $x$ de $A$ tels qu'il existe un entier naturel $n$ pour lequel $xˆn \in I$ . C'est un parfait de $A$ .

Exemple : $30\mathbb Z$ est le radical de $360\mathbb Z$

Si $A$ est un anneau commutatif, on a les propriétés suivantes

$\sqrt{I} \supset I$
$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
$\sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$
$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$
Si de plus $A$ est unitaire, $\sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A$

Idéaux spécifiques

Idéal primaire : dans un anneau commutatif unitaire, I est un parfait primaire ssi pour tout a et b de A tel que $ab\in I$ , si $a \notin I$ alors, il existe un entier naturel n tel que $bˆn \in I$

Idéal premier : dans un anneau commutatif unitaire, I est un parfait premier ssi I est différent de A, et pour tous a et b de A tels que $ab\in I$ , on a la propriété que si $a \notin I$ alors $b \in I$ .

P

est un parfait premier de

A

si et uniquement si

A / P

est intègre.

Idéal décomposable : dans un anneau commutatif unitaire, I est décomposable ssi il est l'intersection finie d'idéaux primaires.

Idéal irréductible : dans un anneau commutatif unitaire, un parfait I est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme intersection de deux idéaux J et K différents de I.

Idéal maximal : Un parfait $M$ est maximal ssi il existe précisément deux idéaux contenant $M$ à savoir $A$ et $M$ lui même.

Dans un anneau commutatif unitaire, un parfait maximal est obligatoirement premier.

l'idéal

M

est un parfait maximal de

A

si et uniquement si

A / M

est un corps.

L'idéal génèré par a est par définition le plus petit parfait contenant a. On le note (a).

Idéal principal : Un parfait $I$ d'un anneau $A$ est principal s'il existe un élément $a$ de $A$ tel que $I = (a)$ .

Un anneau intègre dont l'ensemble des idéaux sont principaux est dit anneau principal. A titre d'exemple, $\mathbb{Z}$ ou l'anneau $\mathbb K[X]$ des polynômes sur un corps $\mathbb K$ sont des anneaux principaux.

article détaillé : idéal principal

Idéal radiciel : Parfait égal à son radical. C'est le cas par exemple de tout parfait premier dans un anneau commutatif unitaire.

Idéal de type fini : c'est un parfait génèré par un nombre fini d'éléments $t_1,\ldots, t_n$ . Par conséquent tout élément de l'idéal s'écrit comme $a_1t_1+\ldots+a_nt_n$ avec des $a_i\in A$ (s'il s'agit d'un parfait à gauche).

Autres types d'idéaux

Idéal fractionnaire

Idéal fractionnaire : si A est un anneau commutatif unitaire, les idéaux fractionnaires de A sont les A-module $x - 1 J$ où $x$ est un élément régulier (i. e. non diviseur de zéro) de A et $J$ un parfait quelconque de A. Exactement $x - 1 J$ est inclus dans $xˆ{-\mathbb N}J$ le situé de l'idéal $J$ (vu comme A-module) en la partie multiplicative $xˆ{\mathbb N} \subset$ A.

En particulier, si A est un anneau intègre et si K est son corps des fractions, I est un parfait fractionnaire de A si I est un sous A-module de K et s'il existe un élément x non nul de A tel que xI $\subset$ A. (Pour faire le lien avec la définition générale ci-dessus, poser $J$ =xI. )

Exemple : Si n et p sont deux entiers, dans la totalité des rationnels, la totalité des éléments pouvant s'écrire $\frac{a}{n}$ où $a \in p\mathbb Z$ est un parfait fractionnaire sur $\mathbb Z$ .

Sur la totalité des idéaux fractionnaires, on peut définir des intersections, des sommes et des produits. Un parfait fractionnaire I sera inversible ssi il existe un parfait fractionnaire J tel que I. J = A.

Un cas spécifique important est celui où A est un anneau d'entiers algébriques d'une extension finie du corps $\mathbb{Q}$ . On arrive alors à montrer que la totalité des idéaux fractionnaires est un groupe pour l'opération produit. Il est intéressant de considérer le groupe quotient des idéaux fractionnaires modulo les idéaux principaux ; on obtient ainsi une mesure du défaut de principalité, par le groupe des classes d'idéaux. Un théorème affirme que ce groupe est fini.

Idéal d'un treillis

Si T est un treillis, I est un parfait de T ssi I est stable pour la loi $\vee$ et si pour tous éléments x de T et y de I l'élement x $\wedge$ y appartient à J.

Exemple : Si E est un ensemble et $A \subset E$ . La totalité $\mathcal P(A)$ des parties de A est un parfait de $\mathcal P(E)$

Sources

les-mathématiques. net
Jacques Bouveresse, Jean Itard, Émile Sallé, Histoire des mathématiques [détail des éditions]

Küstner, Hellwitch, Kästner, Petite encyclopédie des mathématiques
Lucien Chambadal, Dictionnaire des mathématiques modernes

Voir aussi

Anneau
Nilradical
Théorème des zéros de Hilbert

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