Hyperbole

En mathématiques, une hyperbole est une figure géométrique de la famille des coniques caractérisée par une excentricité supérieure à 1.

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Un calcul simple sert à conclure avec les notations précédentes : l'hyperbole de foyers F et F'est la totalité des points du plan vérifiant l'égalité :.... (source : mathsplp.creteil.iufm)

En mathématiques, une hyperbole est une figure géométrique de la famille des coniques caractérisée par une excentricité supérieure à 1.

On obtient une hyperbole en prenant l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan, le plan interceptant les deux branches du cône. Une hyperbole est constituée de deux branches disjointes. Quoique l'illustration ci-contre montre un plan vertical, tout angle plus faible que celui des génératrices du cône est acceptable.

Définition monofocale de l'hyperbole

Soient $D$ une droite et $F$ un point n'appartenant pas à $D$ , et soit $P$ le plan contenant la droite $D$ et le point $F$ . On nomme hyperbole de droite directrice $D$ et de foyer $F$ la totalité des points $M$ du plan $P$ vérifiant

$<img class=$ d (M, F) mesure la distance du point

M

au point

F

d (M, D)

mesure la distance du point

M

à la droite

D

La constante $e$ est nommée excentricité de l'hyperbole.

Définition bifocale de l'hyperbole

La tangente en

M

est aussi une bissectrice.

L'hyperbole est le lieu géométrique des points dont la différence des distances aux deux foyers est constante.

Géométriquement, cela donne :

Soient $F$ et $F'$ deux points différents du plan. On nomme hyperbole de foyers $F$ et $F'$ la totalité des points $M$ du plan vérifiant la propriété suivante :

$\qquad \mid d(M,F) - d(M,F') \mid = 2a \qquad a \in\mathbb{R}$

L'axe focal est le nom de la droite portant les deux foyers : il fait partie des deux axes de symétrie de l'hyperbole, l'unique qui la coupe. Pour cette raison, on l'appelle aussi axe transverse et ses points communs avec la courbe sont les sommets. Le réel $a$ de la définition ci-dessus apparaît comme la moitié de la distance entre les sommets.

En chaque point $M$ de cette hyperbole, la bissectrice du secteur angulaire $(F M F')$ se trouve être la tangente en $M$ à la courbe.

Équations

Représentation graphique de la fonction inverse

L'hyperbole dont l'expression mathématique la plus simple est la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f (x) = 1 / x$ , voir fonction inverse.

Cette hyperbole, mais aussi celles dont une équation cartésienne est de la forme $x 2 - y 2 = a 2$ sont dites équilatères parce que leurs deux asymptotes sont orthogonales. Leur excentricité vaut $\sqrt{ 2 }$ .

D'une façon plus générale, dans un repère dont les axes sont de symétrie pour l'hyperbole, l'axe transverse pour axe des abscisses, l'équation cartésienne se met sous la forme

$\frac{xˆ2}{aˆ2} - \frac{yˆ2}{bˆ2} = 1$

donnant alors les représentations paramétriques

$t \mapsto \left(a \, \cosh(t), b \, \sinh(t)\right)$ et $t \mapsto \left(-a \, \cosh(t), b \, \sinh(t)\right)$

pour chacune des branches.

Matérialisation d'une hyperbole

Quand une lampe pourvue d'un abat-jour est positionnée non loin d'un mur vertical, la courbe qui délimite, sur le mur, la zone éclairée et la zone ombragée est un arc d'hyperbole.

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