Homothétie

Dans la «vie courante», l'homothétie correspond aux agrandissements ainsi qu'aux réductions.

Définition

Soit un point M, un point O et un nombre k.

On dit que le point M' est l'homothétie de M par l'homothétie de centre O et de rapport k (ou h (o, k) ) si, et uniquement si,

Construction de l'homothétique d'un point

• Tracer la droite (OM).
• Si k est positif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de O vers M soit le même que celui de O vers M'.
• Si k est négatif, placer sur (OM) le point M' tel que le sens de M vers O soit le même que celui de O vers M'.
• Alors M' est l'homothétique de M.

Propriétés

Propriété 1 : L'homothétique d'une droite d est une droite d' qui est parallèle à d. Celui d'un segment [AB] est un segment [ A'B' ] tel que AB = |k| A'B'.

Propriété 2 : L'homothétique d'un cercle C de centre A et de rayon r est un cercle C'de centre A', l'homothétique de O, et de rayon r' =|k|r.

Propriété 3 dite "de conservation" : L'homothétie conserve :

• les angles (l'homothétique d'un angle est un angle de même mesure) ;
• les parallèles (les homothétiques de deux droites parallèles sont parallèles) ;
• les rapports de longueurs (cf. le Théorème de Thalès).

Propriété 4 : Une homothétie de rapport :

• k>1 est un agrandissement de rapport k;
• k<1 est une réduction de rapport .

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