Formule des probabilités totales

Formule des probabilités totales — On se donne un espace probabilisé Si est un système exhaustif d'évènements, et si quel que soit alors, pour tout évènement



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Probabilités - Théorème de mathématiques

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Énoncé

Formule des probabilités totales — On se donne un espace probabilisé Si est un système exhaustif (fini ou dénombrable) d'évènements, et si quel que soit alors, pour tout évènement

\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i).
Remarques :
  • Quand définir pose problème : serait la probabilité conditionnelle de sachant un évènement qui ne se produit jamais, à savoir La définition usuelle de conduirait alors à diviser par 0... Une convention qui est rarement nocive consiste à attribuer à une valeur arbitraire entre 0 et 1 : on n'a jamais besoin de pronostiquer la vraisemblance de l'évènement sachant puisque ne se produit jamais, par conséquent attribuer à une valeur arbitraire ne provoquera aucune erreur. D'autre part, dans la formule des probabilités totales, attribuer à une valeur arbitraire entre 0 et 1 n'a aucune importance, puisqu'on multiplie ensuite cette valeur par En résumé, avec cette convention, l'hypothèse est superflue pour la formule des probabilités totales.
  • L'hypothèse selon laquelle est un système exhaustif peut être affaiblie : peut être remplacée par

Une variante

Théorème — On se donne un espace probabilisé et un évènement A. Si est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B,

\mathbb{P}(A|B) = \sum_{i \in I} \mathbb{P}(A | B_i)\mathbb{P}(B_i|B).

Corollaire — Si est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B, et si ne dépends pas de i, alors la valeur commune des probabilités conditionnelles est

Ce corollaire sert à ramener le calcul de au calcul des quelquefois plus facile, car l'évènement Bi, étant plus petit que l'évènement B, apporte une information plus précise, et favorise ainsi le pronostic (pronostic = calcul de la probabilité conditionnelle). Le cas se présente fréquemment quand on étudie 2 chaines de Markov dont l'une est image de l'autre. La démonstration de la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson est un exemple parmi énormément d'autres.

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