Formule de Wald

Soit une suite de variables aléatoires. Soit une variable aléatoire à valeurs dans On pose



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Théorème de mathématiques - Probabilités

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  • ... La proposition suivante concerne la marche aléatoire arrêtée à un temps d'arrêt, elle généralise l'identité E (Sn) = n PROPOSITION 3.2 (Formule de Wald).... (source : books.google)

Théorème

Soit une suite de variables aléatoires. Soit une variable aléatoire à valeurs dans On pose

S_n=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{n},\quad S_N=X_{1}+X_{2}+\dots+X_{N}=\sum\ X_n\ 1\!\!1_{1\le n\le N}.

Formule de Wald — On suppose que :

  • est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes,
  • les et sont intégrables,

et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :

  • est un temps d'arrêt adapté à la suite. En d'autres termes l'événement est entièrement déterminé par

ou bien :

Alors on a :

\mathbb{E}\left[S_N\right]=\mathbb{E}\left[N\right]\mathbb{E}\left[X_1\right].

Formulation générale

On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, mais aussi l'indépendance de la suite dans la formulation suivante :

Hypothèse — Il existe une filtration telle que :

Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix et le second jeu d'hypothèses découle du choix

Encore d'une façon plus générale, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas spécifiques de la formule d'arrêt pour les martingales.

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