Formule de Héron
En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, sert à calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle ...
Page(s) en rapport avec ce sujet :


En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, sert à calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :
avec
s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.
Démonstration
La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant
puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
|
![]() |
On obtient la formule de Héron en substituant
dans la formule ci-dessus.
Mise en œuvre numérique
La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension particulièrement petite comparé aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).
En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que .
Généralisation
En géométrie sphérique
En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui sert à déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.
Pour les quadrilatères
Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est indispensable. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.
Pour les tétraèdres
Le volume d'un tétraèdre est donné selon la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.
Voir aussi
- Mathématiciens
- Héron d'Alexandrie
- Trigonométrie
- Triangle
- Généralisations
- Théorème de l'Huilier
- Formule de Bretschneider
- Formule Brahmagupta
- Déterminant de Cayley-Menger
Liens externes
Les liens suivants sont en anglais :
- Héron's Formula (site Math World)
- Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle (William Kahan).
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.