Formule de Héron

En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, sert à calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle ...

Démonstration

La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant

$\cos\gamma = \frac{aˆ2+bˆ2-cˆ2}{2ab}$

puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :

$A \,$	$= \frac 12 ab\sin\gamma\,$
	$=\frac 12ab\sqrt{1-\cosˆ2\gamma}\,$
	$=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,$
	$=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{cˆ2-aˆ2-bˆ2}{2ab}\right)\left(1+\frac{cˆ2-aˆ2-bˆ2}{2ab}\right)}$
	$=\frac14\sqrt{\left((a+b)ˆ2-cˆ2\right)\left(cˆ2-(a-b)ˆ2\right)}$
	$=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,$

On obtient la formule de Héron en substituant

$a = 2s-b-c\,$

dans la formule ci-dessus.

Mise en œuvre numérique

La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension particulièrement petite comparé aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que $<img class=$ .

Généralisation

En géométrie sphérique

En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui sert à déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.

Pour les quadrilatères

Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est indispensable. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.

Pour les tétraèdres

Le volume d'un tétraèdre est donné selon la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.

Voir aussi

Mathématiciens
- Héron d'Alexandrie
Trigonométrie
Triangle
Généralisations
- Théorème de l'Huilier
- Formule de Bretschneider
- Formule Brahmagupta
- Déterminant de Cayley-Menger

Liens externes

Les liens suivants sont en anglais :

Héron's Formula (site Math World)
Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle (William Kahan).

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_H%C3%A9ron.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.