Formule de Brahmagupta
En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible, seulement suivant les longueurs de ses côtés ...
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En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), seulement suivant les longueurs de ses côtés :
où est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et S son aire.
Démonstration

En suivant les notations de la figure, l'aire S du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles (ADB) et (BDC) :
mais comme (ABCD) est inscriptible, les angles en A et C sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite :
d'où en élevant au carré :
En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles (ADB) and (BDC) et en égalant les expressions du côté commun DB, on obtient :
ce qui s'écrit puisque les angles A et C sont supplémentaires :
En reportant dans la formule précédente, on obtient :
En introduisant , on obtient :
d'où
Cas spécifiques
- Le carré :
et
- Le rectangle :
et
- Le triangle :
; on retrouve la formule de Héron.
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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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