Formule de Brahmagupta

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible, seulement suivant les longueurs de ses côtés ...

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Trigonométrie - Mathématiques élémentaires - Polygone - Aire

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En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, trouvée par Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), seulement suivant les longueurs de ses côtés :

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

où $p = \frac 12 (a+b+c+d) \,$ est le demi-périmètre du quadrilatère, a, b, c et d sont les longueurs de ses côtés et $S$ son aire.

Démonstration

(modifier p, q, r, s en a, b, c, d)

En suivant les notations de la figure, l'aire $S$ du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles $(A D B)$ et $(B D C)$ :

$S= \frac{1}{2}ab\sin A + \frac{1}{2}cd\sin C$

mais comme $(A B C D)$ est inscriptible, les angles en $A$ et $C$ sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : $S = \frac{1}{2}\sin A (ab + cd)$

d'où en élevant au carré : $4Sˆ2 = (ab+ cd)ˆ2 - cosˆ2 A (ab+ cd)ˆ2 \,$

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles $(A D B)$ and $(B D C)$ et en égalant les expressions du côté commun $D B,$ on obtient :

$aˆ2 + bˆ2 - 2ab\cos A = cˆ2 + dˆ2 - 2cd\cos C \,$

ce qui s'écrit puisque les angles $A$ et $C$ sont supplémentaires :

$2\cos A (ab + cd) = aˆ2 + bˆ2 - cˆ2 - dˆ2. \,$

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

$16Sˆ2 = 4(ab + cd)ˆ2 - (aˆ2 + bˆ2 - cˆ2 - dˆ2)ˆ2 \,$

$=(2(ab + cd) + aˆ2 + bˆ2 -cˆ2 - dˆ2)(2(ab + cd) - aˆ2 - bˆ2 + cˆ2 +dˆ2) \,$

$= ( (a+b)ˆ2 - (c-d)ˆ2 )( (c+d)ˆ2 - (a-b)ˆ2 ) \,$

$= (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d). \,$

En introduisant $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ , on obtient :

$16Sˆ2 = 16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) \,$

d'où

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Cas spécifiques

Le carré : $b=c=d=a,\quad p=2a$ et $S = \sqrt{aˆ4} = aˆ2\,$
Le rectangle : $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)$ et $S = \sqrt{Lˆ2\cdot lˆ2} = L\cdot l\,$
Le triangle : $d=0\quad$ ; on retrouve la formule de Héron.

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