Formule d'Euler

La formule d'Euler, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler, s'écrit pour tout nombre réel x,



Catégories :

Nombre complexe - Analyse complexe - Trigonométrie - Pi

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Formule d'Euler
\mathrm eˆ{\mathrm i\varphi}=\cos\varphi+\mathrm i\sin\varphi
Article d'une série sur
la constante mathématique e

Euler's formula.svg

Logarithme naturel

Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle / Décroissance exponentielle

Définitions
Démonstration de l'irrationalité d'e · Représentations d'e · Théorème d'Hermite-Lindemann

Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

La formule d'Euler, attribuée au mathématicien suisse Leonhard Euler, s'écrit pour tout nombre réel x,

eˆ{ix} = \cos x + i\;\sin x

Ici, e est la base naturelle des logarithmes, i est le nombre imaginaire, sin et cos sont des fonctions trigonométriques.

Cette formule peut être interprétée en disant que la fonction x\mapsto eˆ{ix} décrit le cercle unité dans le plan complexe quand x fluctue dans la totalité des nombres réels. x représente la mesure de l'angle orienté que fait la demi-droite d'extrémité l'origine et passant par un point du cercle unité avec la demi-droite des réels positifs. La formule n'est valable que si sin et cos ont des arguments exprimés en radians plutôt qu'en degrés.

La démonstration est basée sur les développements de la fonction exponentielle z\mapsto eˆz de la variable complexe z et des fonctions sin et cos reconnues à variables réelles. En réalité, la même démonstration montre que la formule d'Euler est toujours valable pour l'ensemble des nombres complexes x.

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois (sous une forme légèrement obscure) par Roger Cotes en 1714, démontrée à nouveau et rendue populaire par Euler en 1748. Aucun de ces deux hommes ne vit l'interprétation géométrique de cette formule : le point de vue géométrique des nombres complexes reconnus comme affixes de points du plan n'apparut que quelques 50 années plus tard (voir Caspar Wessel).

La formule établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie. Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

eˆ{a + b} = eˆa \cdot eˆ{b}

et

(eˆa)ˆb = eˆ{a b} \,

(qui sont aussi valables pour l'ensemble des nombres complexes a et b), il devient facile de dériver plusieurs identités trigonométriques ou d'en déduire la formule de Moivre. La formule d'Euler permet une interprétation des fonctions cosinus et sinus comme seules variations de la fonction exponentielle :

\cos x = {eˆ{ix} + eˆ{-ix} \over 2}
\sin x = {eˆ{ix} - eˆ{-ix} \over 2i}

Ces formules (aussi nommées formules d'Euler) peuvent servir de définition des fonctions trigonométriques de variable complexe x. Pour les obtenir, on peut dériver la formule d'Euler :

eˆ{ix} = \cos x + i \sin x \,
eˆ{-ix} = \cos x - i \sin x \,

et déterminer cosinus ou sinus.

Dans les équations différentielles, la fonction x\mapsto eˆ{ix}, est fréquemment utilisée pour simplifier les dérivations, même si le problème est de déterminer les solutions réelles exprimées avec sinus et cosinus. L'identité d'Euler est une conséquence immédiate de la formule d'Euler.

En électrotechnique et dans d'autres domaines, les signaux qui fluctuent périodiquement selon le temps sont fréquemment décrits par des combinaisons linéaires des fonctions sinus et cosinus (voir analyse de Fourier), et ces dernières sont plus commodément exprimées comme parties réelles de fonctions exponentielles avec des exposants imaginaires, en utilisant la formule d'Euler.

Démonstrations

Par les séries de Taylor

Article détaillé : série de Taylor.

Le développement en série de la fonction exp de la variable réelle x peut s'écrire :

 eˆx = \frac{xˆ0}{0!} + \frac{xˆ1}{1!} + \frac{xˆ2}{2!} + \frac{xˆ3}{3!} + \frac{xˆ4}{4!} + ... 
           = \sum_{n=0}ˆ\infty \frac{xˆn}{n!}

et couvre à tout nombre complexe x.

Maintenant si nous injectons i dans l'exposant, nous obtenons :


eˆ{ix} = \sum_{n=0}ˆ\infty \frac{{(ix)}ˆn}{n!}
       = \sum_{n=0}ˆ\infty \frac{iˆn xˆn}{n!}
       = \sum_{n=0}ˆ\infty \frac{xˆn}{n!} iˆn

Nous pouvons regrouper ses termes pour obtenir cette écriture dégénérée :


eˆ{ix} = \sum_{n=0}ˆ\infty \left(
           \frac{xˆ{4n}}  {(4n)!}   iˆ{\,4n}
         + \frac{xˆ{4n+1}}{(4n+1)!} iˆ{\,4n+1}
         + \frac{xˆ{4n+2}}{(4n+2)!} iˆ{\,4n+2}
         + \frac{xˆ{4n+3}}{(4n+3)!} iˆ{\,4n+3}
        \right)

Pour simplifier cela, nous utilisons les propriétés de base suivantes de i :


  iˆ0 = 1, \qquad
  iˆ1 = i, \qquad
  iˆ2 = -1, \qquad
  iˆ3 = -i, \qquad
  iˆ4 = 1, \ldots

en généralisant à tout exposant entier, on a pour tout n :


  iˆ{\,4n} = 1, \qquad
  iˆ{\,4n+1} = i, \qquad
  iˆ{\,4n+2} = -1, \qquad
  iˆ{\,4n+3} = -i

Ainsi,


eˆ{ix} = \sum_{n=0}ˆ\infty \left(
           \frac{xˆ{4n}}  {(4n)!}
         + \frac{xˆ{4n+1}}{(4n+1)!} i
         - \frac{xˆ{4n+2}}{(4n+2)!}
         - \frac{xˆ{4n+3}}{(4n+3)!} i
        \right)

en réarrangeant les termes et en séparant la somme en deux (ce qui est envisageable puisque les deux séries sont totalement convergentes)  :


eˆ{ix} = \sum_{n=0}ˆ\infty \left(
           \frac{xˆ{4n}}  {(4n)!}
         - \frac{xˆ{4n+2}}{(4n+2)!}
        \right)
         +
         i\,\sum_{n=0}ˆ\infty \left(
           \frac{xˆ{4n+1}}{(4n+1)!}
         - \frac{xˆ{4n+3}}{(4n+3)!}
        \right)

Pour avancer légèrement plus, nous utilisons les développements en série de Taylor des fonctions cosinus et sinus :

 \cos x = 1 - \frac{xˆ2}{2!} + \frac{xˆ4}{4!} - \frac{xˆ6}{6!} + ... 
              = \sum_{n=0}ˆ\infty \left(
                  \frac{xˆ{4n}}  {(4n)!}
                - \frac{xˆ{4n+2}}{(4n+2)!}
                \right)
 \sin x = x - \frac{xˆ3}{3!} + \frac{xˆ5}{5!} - \frac{xˆ7}{7!} + ... 
              = \sum_{n=0}ˆ\infty \left(
                  \frac{xˆ{4n+1}}{(4n+1)!}
                - \frac{xˆ{4n+3}}{(4n+3)!}
                \right)

Ce qui, en remplaçant dans les formules précédentes de eix, donne :

eˆ{ix} = \cos x + i\; \sin x

comme requis.

Par le calcul différentiel

Article détaillé : calcul différentiel.

Définissons l'application f \ par

f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{eˆ{ix}}. \

Cette application est bien définie puisque

eˆ{ix}\cdot eˆ{-ix}=eˆ0=1 \

implique que eˆ{ix} \ n'est jamais nul.

L'application f \ est le quotient de deux fonctions dérivables et par conséquent est dérivable (dérivation d'un quotient) et sa dérivée est donnée par :

f'(x)\, = \displaystyle\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot eˆ{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot eˆ{ix}}{(eˆ{ix})ˆ2} \
= \displaystyle\frac{-\sin x\cdot eˆ{ix}-iˆ2\sin x\cdot eˆ{ix}}{(eˆ{ix})ˆ2} \
= \displaystyle\frac{-\sin x-iˆ2\sin x}{eˆ{ix}} \
= \displaystyle\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{eˆ{ix}} \
= \displaystyle\frac{-\sin x+\sin x}{eˆ{ix}} \
= 0 \

Ainsi, f \ est une fonction constante et continue sur \mathbb{R} . D'où

f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{eˆ0}=1
\frac{\cos x + i \sin x}{eˆ{ix}}=1
\displaystyle\cos x + i \sin x=eˆ{ix}

Historique

La formule d'Euler fut démontrée pour la première fois par Roger Cotes en 1714 sous la forme ln (cos (x)  + i sin (x) )  = ix (où ln sert à désigner le logarithme népérien, c'est-à-dire Log de base e) [1]. Ce fut Euler qui publia la formule sous sa forme actuelle en 1748, en basant sa démonstration sur l'égalité entre deux séries. Aucun des deux mathématiciens ne donna une interprétation géométrique de la formule : l'interprétation des nombres complexes comme des points d'un plan ne fut vraiment évoquée que cinquante années plus tard (voir Caspar Wessel).

Voir aussi

Références

  1. John Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, 2002

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