Fonctions paires et impaires

En analyse, une fonction, avec est ...



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En analyse, une fonction f : E\to\R, avec E\subseteq\R est :

Les appellations «paire» et «impaire» proviennent du fait que l'ensemble des fonctions x\longmapsto xˆk avec k pair sont paires et l'ensemble des fonctions x\longmapsto xˆk avec k impair sont impaires.

Utilisation

La parité des fonctions sert, par exemple, à n'étudier les fonctions que sur la moitié de leur intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire, définie en 0, est nulle en ce point (en effet, puisque f est impaire, f (− x) = − f (x) pour tout x, et par conséquent f (0) = − f (0) ; ainsi f (0) = 0).

Décomposition en fonctions paires et impaires

Si E est un sous-ensemble de \R symétrique comparé à 0 (c'est-à-dire que si x appartient à E alors x appartient à E), toute fonction f : E\to\R peut se décomposer de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Donc, on peut parler de la partie paire de f et de sa partie impaire. A titre d'exemple, x\mapsto eˆx se décompose comme somme de x\mapsto \cosh(x)= \tfrac{eˆx + eˆ{-x}}{2} et de x\mapsto\sinh(x)=\tfrac{eˆx - eˆ{-x}}{2}.

Représentation graphique

Soit f une fonction définie sur E et (Cf) son graphe, dans un repère d'axes (Ox), (Oy) .

Mais une fonction dont la courbe représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas nécessairement paire ou impaire : il est indispensable que le centre soit O ou l'axe soit (Oy) .

Quelques propriétés

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