Fonctions paires et impaires

En analyse, une fonction, avec est ...

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(i) Toute somme finie de fonctions impaires est une fonction impaire. (ii) Toute somme finie de fonctions paires est une fonction paire. Démonstration... (source : mathsv.univ-lyon1)

En analyse, une fonction $f : E\to\R$ , avec $E\subseteq\R$ est :

paire si et uniquement si pour tout $x$ de $E$ , on a $-x\in E$ et $f (x) = f (- x)$ . Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus ;
impaire si et uniquement si pour tout $x$ de $E$ , on a $-x\in E$ et $f (- x) = - f (x)$ . Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.

Les appellations «paire» et «impaire» proviennent du fait que l'ensemble des fonctions $x\longmapsto xˆk$ avec $k$ pair sont paires et l'ensemble des fonctions $x\longmapsto xˆk$ avec $k$ impair sont impaires.

Utilisation

La parité des fonctions sert, par exemple, à n'étudier les fonctions que sur la moitié de leur intervalle de définition, l'autre moitié étant déduite par symétrie. On remarquera qu'une fonction impaire, définie en 0, est nulle en ce point (en effet, puisque f est impaire, $f (- x) = - f (x)$ pour tout x, et par conséquent $f (0) = - f (0)$ ; ainsi $f (0) = 0$ ).

Décomposition en fonctions paires et impaires

Si $E$ est un sous-ensemble de $\R$ symétrique comparé à 0 (c'est-à-dire que si $x$ appartient à $E$ alors $- x$ appartient à $E$ ), toute fonction $f : E\to\R$ peut se décomposer de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Donc, on peut parler de la partie paire de $f$ et de sa partie impaire. A titre d'exemple, $x\mapsto eˆx$ se décompose comme somme de $x\mapsto \cosh(x)= \tfrac{eˆx + eˆ{-x}}{2}$ et de $x\mapsto\sinh(x)=\tfrac{eˆx - eˆ{-x}}{2}$ .

Démonstration

Soit $E$ un sous-ensemble de $\R$ symétrique comparé à 0 et $f : E\to\R$ .

Unicité

Supposons que

f = g + h

, où $g: E\to\R$ est une fonction paire et $h: E\to\R$ est une fonction impaire.

$\begin{align} \frac{f(x) + f(-x)}{2} &= \frac{g(x) +h(x) + g(-x) + h(-x)}{2} \\ & = \frac{g(x) + g(-x)+ h(x) + h(-x)}{2} \\ & = \frac{g(x) + g(x)+ h(x) - h(x)}{2} \\ &= g(x) \end{align}$

et de même, $\frac{f(x) - f(-x)}{2}= h(x)$ . La décomposition de

f

, si elle existe, est par conséquent unique.

Existence

Guidés par la preuve d'unicité, désignons par

g

h

les deux fonctions de

E

dans $\R$ définies par :

$\forall x \in E, g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

$\forall x \in E, h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

On sait tandis que

g

est paire car

$\forall x \in E, g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)$

et aussi que

h

est impaire car

$\forall x \in E, h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -h(x)$

De plus,

$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x) + f(-x) - f(-x)}{2} = f(x)$

On a par conséquent

f = g + h

Représentation graphique

Soit $f$ une fonction définie sur $E$ et $(C f)$ son graphe, dans un repère d'axes $(O x), (O y)$ .

$f$ est une fonction paire si et uniquement si $(C f)$ est symétrique comparé à l'axe $(O y)$ , parallèlement à l'axe $(O x)$ .
$f$ est une fonction impaire si et uniquement si $(C f)$ est symétrique comparé à l'origine $O$ .

Mais une fonction dont la courbe représentative possède un axe ou un centre de symétrie n'est pas nécessairement paire ou impaire : il est indispensable que le centre soit $O$ ou l'axe soit $(O y)$ .

Quelques propriétés

La seule fonction qui soit à la fois paire et impaire est la fonction nulle (fonction constante égale à 0).
En général, la somme d'une fonction paire et une fonction impaire n'est ni paire ni impaire ; ex : $x + x 2$ .
La somme de deux fonctions paires donne une fonction paire, et tout produit d'une fonction paire par une constante est paire.
La somme de deux fonctions impaires donne une fonction impaire, et tout produit d'une fonction impaire par une constante est impaire.
La parité suit, pour le produit ou le quotient, la "règle des signes" : tout produit ou quotient de deux fonctions paires est une fonction paire, tout produit ou quotient de deux fonctions impaires est aussi une fonction paire, tout produit ou quotient d'une fonction paire par une fonction impaire est une fonction impaire.
La dérivée d'une fonction paire est une fonction impaire ; la dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire.
Une primitive d'une fonction impaire sur E n'est pas nécessairement paire, sauf si $E$ est un intervalle.
Une primitive d'une fonction paire sur E n'est pas nécessairement impaire, sauf si $E$ est un intervalle et si de plus la primitive reconnue est celle qui s'annule en 0.
La composée de deux fonctions impaires est impaire ; la composée $g \circ f$ d'une fonction paire $g$ avec une fonction impaire $f$ est une fonction paire.
La composée $g\circ f$ d'une fonction quelconque $g$ avec une fonction paire $f$ est une fonction paire.

Voir aussi

Série de Taylor
Série de Fourier

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