Fonction zêta de Riemann

En mathématiques, la fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue principalement dans la théorie des nombres premiers.

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En mathématiques, la fonction $ζ$ de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue principalement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour de la plupart d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.

Prologue

La théorie de la fonction $ζ$ de Riemann est presque toute entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle l'ensemble des zéros non triviaux de la fonction $ζ$ de Riemann sont de partie réelle égale à 1/2 renforce toujours l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est développée dans plusieurs directions. La première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.

A titre d'exemple, on démontre qu'on a, sous l'hypothèse de Riemann,

$|\zeta(1+it)| \le C\ln \ln t.$

Si on démontrait qu'on a, sur une suite de t tendant vers l'infini,

$<img class=$ ζ de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence $<img class=$ , et la région $\Re(s)<0$ . À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle apporte les zéros réels et aussi l'ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une illimitété. On estime par conséquent ce nombre N (T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une illimitété sur l'axe 1/2. On estime, avec énormément de difficulté, le nombre No (T) des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est 1/2. Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les hypothèses classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents.

Les recherches sur la fonction zêta forment un domaine particulièrement technique. La majorité des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.

Définition par la série de Dirichlet

Article détaillé : Série de Riemann.

La fonction zêta de Riemann pour les réels s > 1

La fonction $ζ$ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe et définie, pour $<img class=$ .

La série ne converge pas en $s = 1$ : on a

$\sum_{k=1}ˆ{k=m}\frac1{k}\ge \int_1ˆ{m+1} \frac{\mathrm{d}u}{u}= \ln (m+1)$

qui tend vers l'infini avec m (voir l'article détaillé série harmonique pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). La valeur $s = 1$ est par conséquent une singularité de la fonction.

À partir de la série de Dirichlet de $ζ$ on démontre les formules suivantes :

$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}ˆ{\infty} \frac{\mu(n)}{nˆs}$

où $μ$ est la fonction de Möbius,

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}ˆ{\infty} \frac{\varphi(n)}{nˆs}$

où $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler, et

$\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}ˆ{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{nˆs}$ $\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} =\sum_{n=1}ˆ{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{nˆs}$

où $σ a$ est la fonction diviseur à la puissance a :

$\sigma_a(n)= \sum_{d |n} dˆa\,$

Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1

Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction $ζ$ pour les entiers positifs pairs en utilisant l'expression de $\sin x\over x$ sous forme de produit illimité ; il en a déduit la formule :

$\zeta(2k)=\sum_{n=1}ˆ{\infty}\frac1{nˆ{2k}} \ = \ \frac{|B_{2k}| \ (2\pi)ˆ{2k}} {2 \, (2k)!}$

valable pour tout entier positif $k$ , où les $B 2 k$ sont les nombres de Bernoulli. De là, nous obtenons de célèbres séries illimitées^[1] correspondant aux puissances paires de π :

$\zeta(2) = \frac{\piˆ2}{6} \quad ; \quad \zeta(4) = \frac{\piˆ4}{90} \quad ; \quad \zeta(6) = \frac{\piˆ6}{945}\quad ; \quad \zeta(8) = \frac{\piˆ8}{9450} \quad ; \quad \dots$

Pour les entiers impairs, le calcul n'est pas si simple. Ramanujan a énormément travaillé sur ces séries et Apéry a démontré en 1979 que $ζ (3)$ , qui vaut à peu près $1, 2020569...$ est irrationnel (voir constante d'Apéry). En 2000, Tanguy Rivoal a démontré qu'il existe une illimitété de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. On conjecture que l'ensemble des valeurs aux entiers impairs sont irrationnelles et même transcendantes.

Liens avec les nombres premiers

Leonhard Euler par Emanuel Handmann.

Le lien entre la fonction $ζ$ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour $<img class=$

où le produit illimité est étendu à la totalité $\mathcal P$ des nombres premiers. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème essentiel de l'arithmétique. On nomme quelquefois cette formule produit eulérien.

Un autre lien existe avec cette fois la fonction $π (x)$ qui compte le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$ . On a en effet

$\ln \zeta(s) = s \int_2ˆ\infty{\frac{\pi(u)}{u(uˆs-1)}\mathrm du}$

valable pour $<img class=$ ζ de Riemann apporte la position des nombres premiers. On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier suivant les zéros de la fonction $ζ$ de Riemann.

Extension à ℂ-{1}

La fonction $ζ$ admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf 1. Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes représentations de la fonction $ζ$ .

Par la formule d'Euler-Mac Laurin

La formule d'Euler-MacLaurin^[2], appliquée à la fonction $s \mapsto xˆ{-s}$ sur l'intervalle [1 ; N], donne pour tout entier n :

$\sum_{r=1}ˆN rˆ{-s}={{1-Nˆ{1-s}}\over {s-1}}+{{1+Nˆ{-s}}\over {2}}+\sum_{k=2}ˆnB_k\frac{s(s+1)...(s+k-2)}{k!}(1-Nˆ{-s-k+1}) -R_{n, N}(s),$

où les cœfficients $B k$ sont les nombres de Bernoulli,

$R_{n, N}(s)={1\over {n!}}s(s+1)...(s+n-1)\int_1ˆN B_n(x-[x])xˆ{-s-n}\mathrm dx,$

où les $B n (x)$ sont les polynômes de Bernoulli et où $[x]$ sert à désigner la partie entière de $x$ .

En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan $<img class=$ que

$\zeta(s)={{1}\over {s-1}}+{1\over {2}}+\sum_{k=2}ˆnB_k\frac{s(s+1)...(s+k-2)}{k!} -\frac{s(s+1)...(s+n-1)}{n!}\int_1ˆ\infty B_n(x-[x])xˆ{-s-n}\mathrm dx.$

Les fonctions $x \mapsto B_n(x-[x])$ étant périodiques restent bornées sur l'intervalle d'intégration, par conséquent l'intégrale à droite converge si $<img class=$ ζ_n sur $<img class=$ ζ. L'unicité du prolongement analytique montre que les fonctions $ζ n$ et sur $ζ n + 1$ sont semblables sur $<img class=$ ζ déjà définie pour $<img class=$ ζ.

Par une intégrale de contour

La fonction $ζ (s)$ se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale

$\zeta(s)=\frac{eˆ{-i\pi s}\Gamma(1-s)}{2i\pi}\oint_C{\frac{uˆ{s-1}}{eˆu-1}\mathrm du}.$

$C$ sert à désigner un lacet longeant l'axe réel et englobant 0 parcouru de +∞ à +∞ dans le sens trigonométrique.

Une fois cette formule démontrée originellement pour $<img class=$ s définit par conséquent une fonction analytique. Selon le théorème du prolongement analytique, elle représente le prolongement (sauf en $s = 1$ ) de la fonction $ζ$ .

Par la formule sommatoire d'Abel

Cette formule conduit à l'expression

$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_1ˆ\infty{\frac{\{u\}}{uˆ{1+s}}\mathrm du},$

où ${u}$ sert à désigner la partie fractionnaire de u. Comme ${u}$ est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente pour $<img class=$ Par la fonction êta de Dirichlet

On peut toujours étendre la fonction $ζ$ sur $<img class=$

Cette série est convergente pour s réel strictement positif, par application du critère des séries alternées ; il en est en fait de même pour $<img class=$ ζ sur $<img class=$ ζ est annulé par le terme $(1 - 2 1 - s)$ ; on a $η (1) = ln2$ . À partir du prolongement pour $<img class=$ 1 + 2ikπ / ln (2) ( $k \in \mathbb{Z}$ ) qui sont les zéros de $1 - 2 1 - s$ .

Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de $1 / ζ$ , qui converge sur $\Re{e}(s)=1$ soit une autre relation du même genre^[3].

De ce que $0<\frac{1}{(3n-2)}+\frac{1}{(3n-1)}-\frac{2}{(3n)}=\frac{1}{3nˆ2}+O(1/nˆ3)$ , on déduit que la série

$(1-3ˆ{1-s})\zeta(s)=\sum_{n=1}ˆ\infty{\left(\frac{1}{(3n-2)ˆs}+\frac{1}{(3n-1)ˆs}-\frac{2}{(3n)ˆs}\right)}$

est convergente pour $\Re{e}(s)=1$ ^[4]. Il suffit par conséquent de calculer la série uniquement pour ces points car $ln3 / ln2$ se trouvant irrationnel, le facteur $(1 - 3 1 - s)$ ne peut être nul en même temps que celui de $(1 - 2 1 - s)$ .

Par la formule de Landau ou celle de Ramaswami

Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. Les deux formules qui suivent n'ont pas ce défaut. Ces deux autres méthodes de prolongement de $ζ$ , sans conteste les plus simples, sont fondées, chacune, sur une formule exprimant $ζ (s)$ selon $ζ (s + 1)$ , $ζ (s + 2)$ , ...

On a ainsi la formule publiée par Landau

$\zeta(s)-\frac1{s-1}=1-\frac{s(\zeta(s+1)-1)}{2!}-\frac{s(s+1)(\zeta(s+2)-1)}{3!}-\frac{s(s+1)(s+2)(\zeta(s+3)-1)}{4!}-\ldots$

$\zeta(s)-\frac1{s-1}=1-\sum_{n=1}ˆ\infty (\zeta(s+n)-1)\frac{sˆ{\overline{n}}}{(n+1)!}\!$

$sˆ{\overline{n}}$ étant la factorielle croissante.

Ou la formule de Ramaswami

$(1-2ˆ{1-s})\zeta(s)=\frac{s}{1!}\frac{\zeta(s+1)}{2ˆ{s+1}}+\frac{s(s+1)}{2!}\frac{\zeta(s+2)}{2ˆ{s+2}}+\frac{s(s+1)(s+2)}{3!}\frac{\zeta(s+3)}{2ˆ{s+3}}+\ldots$

Ces formules se démontrent par des manipulations classiques sur les termes des séries.

Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. La série de Dirichlet étant totalement convergente sur $<img class=$ 1 − 2^{1 − s} dans la formule de Ramaswami montre que le prolongement de $ζ$ par cette formule souffre du même problème que celui par la fonction $η$ de Dirichlet.

Le comportement au voisinage de 1 : théorème de Dirichlet et nombres de Stieltjes

Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve

$\zeta(s)=\sum_1ˆ\infty{\frac{1}{nˆs}}=s\int_1ˆ\infty{\frac{[u]}{uˆ{1+s}}\mathrm du}.$

La partie entière $[u]$ se décompose en $u - {u}$ . On a alors

$\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_1ˆ\infty{\frac{\{u\}}{uˆ{1+s}}\mathrm du}.$

Comme ${u}$ est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné. Le premier terme vaut aussi

$\frac{s}{s-1}=\frac1{s-1}+1$

qui montre que la fonction $ζ$ admet un pôle d'ordre 1 en 1 et de résidu 1. Cela forme le théorème de Dirichlet. Le développement en série de Laurent de la fonction $ζ (s)$ s'écrit donc

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+\sum_{n=1}ˆ\infty{(-1)ˆn\frac{\gamma_n}{n!}(s-1)ˆn}$

où on a

$\gamma_n=\lim_{k \rightarrow \infty}{\sum_{m=1}ˆk{\frac{(\ln m)ˆn}{m}-\frac{(\ln k)ˆ{n+1}}{n+1}}}.$

Ces nombres sont nommés nombres de Stieltjes. Concernant ces nombres, Matsuoka, en 1985^[5], a montré qu'on avait pour n>4

$|\gamma_n| \le 10ˆ{-4}eˆ{n\ln \ln n}.$

On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

Thomas Joannes Stieltjes s'intéressa de près à la fonction

ζ

de Riemann. Il est l'auteur d'une tentative avortée de démonstration de l'hypothèse de Riemann à partir d'une hypothèse voisine de celle de Mertens qu'il fut incapable de démontrer.

valeur des cœfficients de Stieltjes
	Valeur
$γ = γ 0$	0, 57721566490153286061
$γ 1$	-0, 072815845483676724861
$γ 2$	-0, 0096903631928723184845
$γ 3$	0, 0020538344203033458662
$γ 4$	0, 0023253700654673000575
$γ 5$	0, 00079332381730106270175
$γ 6$	-0, 00023876934543019960987
$γ 7$	-0, 00052728956705775104607
$γ 8$	-0, 00035212335380303950960
$γ 9$	-0, 000034394774418088048178
$γ 10$	0, 00020533281490906479468
$γ 11$	0, 00027018443954390352667
$γ 12$	0, 00016727291210514019335
$γ 13$	-0, 000027463806603760158860
$γ 14$	-0, 00020920926205929994584
$γ 15$	-0, 00028346865532024144664

Le développement de Laurent en 1 montre que $ζ$ est négative sur l'axe réel avant 1 (elle est positive après 1 de manière élémentaire puisque l'ensemble des termes de la série de Dirichlet sont alors positifs). En effet, on a

$(s-1)\zeta(s)=1+\gamma(s-1)+\mathcal{O}((s-1)ˆ2)$

or, en supposant $(s - 1) < 0$ et suffisamment petit, on a

$(s-1)\zeta(s) \ge 0$

donc

$\zeta(s) \le 0$

Relation fonctionnelle et zéros triviaux de la fonction zêta

La fonction $ζ$ satisfait à l'équation fonctionnelle :

$\zeta(s) = 2ˆs \piˆ{s-1} \sin \Big( \frac{\pi s}{2} \Big) \Gamma(1-s)\zeta(1-s)$

valable pour tout nombre complexe $s$ différent de 0 et 1. Ici, $Γ$ sert à désigner la fonction gamma.

Démonstration

Une démonstration, parmi de nombreuses autres, a été donnée par Bæz-Duarte en 2003. Elle est spécifiquement courte. On part de la formule intégrale résultant de la formule sommatoire d'Abel (attention la limite inférieure est prise à 0, non à 1)

$\zeta(s)=-s\int_0ˆ\infty{\frac{\{u\}}{uˆ{1+s}}\mathrm du}.$

Cette égalité étant valable pour $\Re(s) \in ]0,1[.$

On a ainsi, en faisant un changement de variable dans l'intégrale, posant u = 2v,

$\zeta(s)=-s\int_0ˆ\infty{2ˆ{-s}\frac{\{2v\}}{vˆ{1+s}}\mathrm dv}.$

On soustrait alors les deux quantités, après avoir sorti la puissance de 2. On a ainsi

$(2ˆs-1)\zeta(s)=-s\int_0ˆ\infty{\frac{\{u\}-\{2u\}}{uˆ{1+s}}\mathrm du}.$

On développe la partie fractionnaire en série de Fourier

$(2ˆs-1)\zeta(s)=-s\int_0ˆ\infty{uˆ{-1-s}\sum_{n=1}ˆ\infty{\frac{\sin(4n\pi u)-\sin(2n\pi u)}{n\pi}}\mathrm du}.$

et, vérifiant les conditions habituelles pour inverser $\sum$ et $\int$ , on obtient

$(2ˆs-1)\zeta(s)=-s\sum_{n=1}ˆ\infty\frac1{n\pi}\int_0ˆ\infty{uˆ{-1-s}(\sin(4n\pi u)-\sin(2n\pi u))\mathrm du}.$

qu'on peut calculer. On obtient alors

$(2ˆs-1)\zeta(s)=-s(2ˆs-1)2ˆs\piˆ{s-1}\Gamma(-s)\sin\Big(\frac{\pi s}{2}\Big)\zeta(1-s).$

dont on déduit immédiatement la relation fonctionnelle pour $\Re(s) \in ]0,1[.$ On l'étend immédiatement à $\mathbb{C}-\{0,1\}$ par le principe du prolongement analytique.

La fonction zêta de Riemann ζ (s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ (s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif et sur la droite critique Re (s) = 1/2 sont les zéros.

Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction $ζ$ s'annule pour l'ensemble des entiers de la forme $-∼2n$ , $(n \in \mathbb{N}-\{0\})$ par suite du facteur $\sin \Big( \frac{\pi s}{2} \Big)$ mais pas en s=0 par suite du facteur $Γ (1 - s)$ . Ces zéros sont nommés zéros triviaux.

Il en existe d'autres. Une étude plus détaillée figure ci-dessous au paragraphe Les zéros.

Représentation sous forme de produit de facteurs primaires

D'après le théorème de factorisation de Hadamard pour une fonction méromorphe, toute fonction méromorphe s'écrit sous forme de produit de facteurs dits primaires dans lesquels apparaissent les zéros et les pôles de la fonction. La représentation sous cette forme pour $ζ$ prend la forme

$\zeta(s) = \frac{eˆ{(\ln(2\pi)-1-\gamma/2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) eˆ{s/\rho}$

où le produit s'effectue sur les zéros $ρ$ de $ζ$ et $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Définition de ln ζ et de sa dérivée

La fonction $ζ$ étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. Il est par conséquent naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions envisageables du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur le segment $]1, \infty[$ . On prolonge par conséquent par continuité les valeurs de $lnζ$ qui sont réelles sur $]1, \infty[$ .

Présentation élémentaire pour les complexes du demi plan Re (s) >1

On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans $<img class=$ s = σ réel. On prend le logarithme du produit. Cela a un sens puisque $ζ (σ)$ ne s'annule pas sur $σ > 1$ . On a alors

$\ln \zeta(\sigma) = -\sum_{p\in\mathcal{P}}\ln\left(1-\frac1{pˆ\sigma}\right).$

Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est envisageable puisque $p \ge 2$ et $σ > 1$ . Cela justifie qu'on définisse, pour tout complexe $s$ satisfaisant $<img class=$

Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi plan $<img class=$ holomorphe sur ce demi plan. Si $s = σ > 1$ est réel, alors

$\sum_{\nu\geq 1}\frac{1}{\nu}pˆ{-\nu\sigma}=-\ln\left(1-\frac{1}{pˆ\sigma}\right)$

où $ln$ est le logarithme réel habituel. On en déduit que $e D (σ) = ζ (σ)$ . Les deux fonctions $e D$ et $ζ$ sont holomorphes sur $<img class=$ . Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc

$\displaystyle eˆ{D(s)}=\zeta(s)$

pour tout complexe $s$ tel que $<img class=$

En dérivant la série définissant $D$ , on obtient

$D'(s)=-\sum_{p\in\mathcal{P}}\sum_{\nu=1}\ln(p)pˆ{-\nu s}$

de sorte qu'on a, pour $<img class=$

où les seules valeurs de $Λ (n)$ non nulles sont définies par $Λ (n) = ln p$ quand $n = p m$ , $p$ étant premier et $m$ entier non nul, c'est la fonction de von Mangoldt. La définition de la série $D$ se réécrit alors

$D(s)=\sum_2ˆ\infty{\frac{\Lambda(n)}{nˆs \ln n }}.$

Enfin en prenant le module de $e D (s) = ζ (s)$ on obtient $eˆ{\Re\left(D(s)\right)}=|\zeta(s)|$ puis, prenant le logarithme réel on déduit

$\Re\Big(D(s)\Big)=\ln |\zeta(s)|.$

Extension à Re (s) <=1

Pour les complexes $s$ autres que 1 tels que $\Re(s) \le 1$ , la définition du logarithme de $ζ (s)$ est plus délicate. La fonction $ζ$ ayant une illimitété de zéros, $lnζ$ admet une illimitété de points de branchement. Dans les calculs, on pratique alors des coupures de la manière suivante : Une première coupure est pratiquée entre -2 et 1 (qui est aussi un point de branchement quoique $ζ$ ne s'y annule pas). Pour les zéros triviaux, une coupure est pratiquée sur les segments $[ - 4 n - 4; - 4 n - 6[$ pour tout $n \ge 0$ . Pour les autres zéros, toujours hypothétiques, de la forme $β + i γ$ avec $\beta \in ]0,1[$ , ils sont répartis symétriquement comparé à l'axe $\Re(s)=1/2$ . On pratique par conséquent aussi une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques comparé à l'axe 1/2. Pour les zéros de l'axe 1/2, la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro reconnu par une ligne parallèle à l'axe réel. Ce faisant, la fonction $\ln \,\zeta$ est alors uniforme sur le domaine coupé.

Le choix effectué donne

$\Re\Big(\ln \zeta(s)\Big)=\ln |\zeta(s)|$

Expressions suivant les zéros non triviaux

Indépendamment de l'expression suivant les facteurs primaires de Weierstrass, la valeur $ζ (s)$ peut se calculer suivant les zéros non triviaux les plus proches du point $s = σ + i t$ . On démontre que seuls les zéros à une distance de t inférieure à 1 interviennent vraiment. Le reste s'exprime dans la notation "de Landau". Il faudra faire attention au fait que les expressions faisant intervenir une somme sur les zéros $ρ = β + i γ$ ne sont le plus souvent pas commutativement convergentes et que l'ordre de sommation intervient : on somme symétriquement comparé à 1/2.

La première expression intéressante est

$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\ln 2\pi -\frac12\gamma-1-\frac1{s-1}-\frac12\frac{\Gamma'(\frac12s+1)}{\Gamma(\frac12s+1)}+\sum_\rho\Big(\frac1{s-\rho}+\frac1{\rho}\Big).$

On en déduit

$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_\rho\Big(\frac1{s-\rho}+\frac1{\rho}\Big)+\mathcal{O}(\ln |t|).$

Cette formule montre alors

$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{|t-\gamma| \le 1}\frac1{s-\rho}+\mathcal{O}(\ln |t|).$

Représentation de $1 / ζ$ et fonction M de Mertens

La fonction $1 / ζ$ est étudiée conjointement avec la fonction $ζ$ . On a une représentation par une série de Dirichlet sous la formule

$\frac1{\zeta(s)}=\sum_1ˆ\infty{\frac{\mu(n)}{nˆs}}$

L'application de la formule sommatoire d'Abel donne aussi

$\frac1{\zeta(s)}= \sum_1ˆ\infty{\frac{\mu(n)}{nˆs}}=s\int_1ˆ\infty{\frac{M(u)}{uˆ{1+s}}\mathrm du}\;\text{ avec }\;M(u) = \sum_{n \le u}ˆ{\ }{\mu(n)}.$

Cette formule est valable pour $<img class=$ s = 1 + it, $t \neq 0$ .

La théorie de $M$ est particulièrement obscure et cela certainement pour longtemps. On ne sait que démontrer l'estimation suivante :

$M(u) = \mathcal{O}(u eˆ{-a(\ln u)ˆ{3/5}}).$

Que devient la série de Dirichlet sur l'axe Re (s) =1 ?

La théorie des séries de Dirichlet montre, par le lemme d'Abel, que si la série converge en un point $s 0$ , elle converge pour tout $s$ pour lequel $<img class=$ ? La réponse est non. On a en effet ( $<img class=$

L'intégrale est $O (t / σ N σ)$ et le dernier terme se majore par $O (N - σ).$ Ces deux termes tendent par conséquent vers 0 lorsque $N$ tend vers l'infini. Pour l'avant-dernier terme on a

$\left|\frac{Nˆ{1-s}}{s-1}\right|=\frac{Nˆ{1-\sigma}}{\sqrt{(\sigma-1)ˆ2+tˆ2}}$

et il en résulte que quand $N$ tend vers l'infini, ce terme prend des oscillations de plus en plus importantes si $0 < s < 1$ : la série de Dirichlet diverge. Pour $s = 1 + i t$ , le terme devient

$\left|\frac{Nˆ{it}}{it}\right|=\frac{1}{t}.$

Il ne tend pas vers 0 : la série diverge mais ses oscillations restent bornées par $1 / t .$

Pour les séries de Dirichlet de $\displaystyle\frac{\zeta'}{\zeta}$ , $\displaystyle\ln \zeta(s)$ et $\displaystyle \frac1\zeta$ , l'application de la seconde formule de Perron montre que les deux dernières séries convergent sur l'axe 1 en dehors de s=1 alors que la première ne converge pas sur l'axe 1.

Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan

Le module de la fonction $(u,t)\mapsto\zeta(u+it)$ de Riemann pour $0 \le u \le 3$ et $0,1 \le t \le 200$ . On notera la pointe due au pôle en 1 et la très grande irrégularité du module.

Presque périodicité

La fonction $ζ$ est presque périodique au sens de Bohr dans la région $<img class=$ 1 / ζ est aussi presque périodique sur $<img class=$ , veut dire qu'à $\varepsilon$ près, la fonction se répète indéfiniment dans des intervalles de longueur $L (σ 0, ε)$ . Bien entendu, plus $\varepsilon$ est petit, plus $L (σ 0, ε)$ est grand.

Estimations dans la région Re (s) > 1

Dans le demi-plan $<img class=$ ζ (s) est bornée. Ses valeurs satisfont à l'inégalité

$\frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(\sigma)}\le|\zeta(\sigma+it)| \le \zeta(\sigma).$

Elle n'a par conséquent aucun zéro dans le demi-plan $<img class=$ t tendant vers l'infini ayant cette valeurs pour limite de la suite $ζ (σ + i t).$

Charles-Jean de La Vallée Poussin démontra que pour $σ > 1$ , on a

$\zetaˆ3(\sigma)|\zeta(\sigma+it)|ˆ4|\zeta(\sigma+2it)| \ge 1.$

Une estimation, fréquemment utile, est donnée par la formule suivante pour les valeurs réelles de $s$ supérieures à 1

$\zeta(\sigma)\le \frac{\sigma}{\sigma-1}.$

Elle résulte de la formule issue de la formule sommatoire d'Abel déjà donnée en remarquant que l'intégrale est toujours positive et affectée du signe -.

Estimations sur Re (s) = 1

La fonction $ζ$ est presque périodique sur le demi plan $<img class=$ t, l'inégalité

$|\zeta(1+it)|< C_1 (\ln |t|)ˆ{2/3}.\,$

On connait, sans aucune hypothèse, une minoration de l'ordre des fonctions $ζ (1 + i t)$ et $1 / ζ (1 + i t).$ On a en effet ( $γ = 0, 577...$ est la constante d'Euler--Mascheroni)

$\limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\ln \ln t} \ge eˆ\gamma$

$\limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\ln \ln t} \ge \frac6{\piˆ2}eˆ\gamma$

La fonction n'est par conséquent pas bornée sur l'axe 1, même en dehors du voisinage de 1.

Estimations sur Re (s) = 0

Utilisant la formule des compléments et la relation fonctionnelle, on trouve pour t non nul

$|\zeta(it)| = \sqrt{\frac{t}{\pi \sinh(\pi t)}}\sinh \left(\frac{\pi |t|}{2}\right)|\zeta(1+it)|$

et par conséquent

$|\zeta(it)| = \mathcal{O}\left(\sqrt{|t|}\lnˆ{2/3} |t|\right)$

Estimations dans la région Re (s) < 0

L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de $sin (σ + i t)$ sert à montrer que

$|\zeta(\sigma+it)| \ll \Big(\frac{t}{2\pi}\Big)ˆ{1/2-\sigma}$

pour $σ < 0$ .

Estimation dans la bande critique

On peut estimer, uniformément dans la bande critique, $ζ (s)$ par la formule

$\zeta(\sigma+it)=\sum_{n \le t}{\frac1{nˆ{\sigma+it}}}+\mathcal{O}\left(|t|ˆ{-\sigma}\right).$

De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante : il existe deux constantes $c$ et $C$ strictement positives telles que pour tout $\sigma \in [1/2,1]$ et $t > 3$ , on ait

$|\zeta(\sigma+it)| \le C tˆ{c(1-\sigma)ˆ{3/2}} (\ln t)ˆ{2/3}.$

Dans l'état actuel des connaissances, selon Ford^[6], on peut prendre $C = 76, 2$ et $c = 4, 45$ . La relation fonctionnelle permet d'estimer le module dans la bande $\sigma \in [0,1/2].$

Le théorème de Valiron

Lorsque on regarde les applications arithmétiques de la fonction $ζ$ , on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions $1 / ζ$ , $ζ'/ ζ$ , ou $lnζ$ mais la fonction $ζ$ elle même apparaît rarement au numérateur. Comme la région importante est la bande critique $0 \le \Re{e}(s) \le 1$ , il est important de pouvoir traverser cette bande. Or la présence éventuelle de zéros sur le chemin complique singulièrement les calculs et les estimations. Le résultat suivant sert principalement à majorer la fonction $1 / ζ$ sur des chemins bien répartis.

Dans sa thèse soutenue en 1914, Georges Valiron a montré qu'il existait une illimitété de valeurs de $t$ dans tout intervalle $[T, T + 1]$ pour lesquelles on avait la minoration

$|\zeta(\sigma+it)| \ge tˆ{-\delta}.$

pour un certain $δ$ fixe strictement positif.

On ne connaît aucune valeur de $δ$ qui convient. On sait uniquement que $0\le \delta \le 1$ . Sous l'hypothèse de Riemann, on peut prendre $δ$ aussi petit qu'on veut.

La relation fonctionnelle approchée

Comme on a vu dans la partie #Estimation dans la bande critique, il est envisageable de calculer la fonction $ζ$ dans la bande critique en utilisant une somme partielle de la série de Dirichlet. La relation fonctionnelle se traduit alors dans une relation approchée reliant les séries de Dirichlet partielles pour les exposants $s$ et $1 - s$ . C'est la relation fonctionnelle approchée :

Pour $0 < s < 1$ et $2π x y = t$ avec $x > h > 0$ , $y > h > 0,$ on a

$\zeta(s)=\sum_{n \le x}\frac1{nˆs}+\chi(s)\sum_{n \le y}\frac1{nˆ{1-s}}+\mathcal{O}(xˆ{-\sigma}\ln |t|)+\mathcal{O}(|t|ˆ{1/2-\sigma}yˆ{\sigma-1})$

avec

$\chi(s)=\frac{2ˆ{s-1}\piˆs}{\Gamma(s)} \sec\left(\frac12 s\pi\right)$

On peut, avec elle , obtenir une première estimation de $| ζ (1 / 2 + i t) |$ , l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin).

Les zéros

Les zéros triviaux

Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction $ζ$ s'annule pour l'ensemble des entiers de la forme $- 2 n$ , $(n \in \mathbb{N}-\{0\})$ par suite du facteur $\sin \Big( \frac{\pi s}{2} \Big)$ , mais pas en s=0 par suite du facteur $Γ (1 - s)$ . Ces zéros sont nommés zéros triviaux.

La relation fonctionnelle sert à plus de montrer que chacun de ces zéros est simple puisque la valeur de la dérivée en $- 2 k$ est

$\zeta'(-2k)=(-1)ˆk\frac{(2k)!\zeta(2k+1)}{2ˆ{2k+1}\piˆ{2k}}$

Les zéros non triviaux

Il existe d'autres zéros. On obtient de la relation fonctionnelle que la fonction $ζ$ admet une illimitété de zéros dans la bande $\Re(s) \in ]0,1[.$ Pour cela, on remarque que la fonction

$\xi(s)=\frac12 s(s-1)\piˆ{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$

vérifie

$\displaystyle \xi(s)=\xi(1-s).$

On en déduit que la fonction

$\Xi(s)=\xi\left(\frac12+is\right)$

est paire. On montre que les deux fonctions $ξ$ et $Ξ$ sont deux fonctions entières d'ordre 1 et , comme $Ξ (s)$ est paire, la fonction $s \mapsto \Xi(\sqrt{s})$ est une fonction entière d'ordre 1/2 : elle admet par conséquent, selon la théorie générale des fonctions entières, une illimitété de zéros. Ces zéros se traduisent par une illimitété de zéros de $ζ$ dans la bande $\Re(s) \in ]0,1[.$ On ignore pour le moment si l'hypothèse de Riemann (voir plus bas), qui affirme que tous ces zéros sont de partie réelle 1/2, est vraie.

La bande critique et l'hypothèse de Riemann

On nomme bande critique la bande $0 \le \Re(s) \le 1$ . Il existe par conséquent une illimitété de zéros dans la bande critique mais, aujourd'hui, on ne sait pas précisément où. L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle 1/2. On a vérifié numériquement sur plus de 1 500 000 000 zéros que leur partie réelle était bien 1/2 (voir l'article détaillé hypothèse de Riemann pour une explication du fait qu'il ne s'agit pas d'une estimation approchée de cette partie réelle, mais bien d'une démonstration, sans aucune incertitude numérique).

Il a été démontré que l'axe $\Re(s)=1/2$ en avait une illimitété, dont les 2/5 au moins sont simples. On sait aussi que la proportion des zéros de la forme $β + i γ$ en dehors de l'axe 1/2 et tels que $| γ | < T$ tend vers 0 lorsque $T$ tend vers l'infini, cette proportion décroissant aussi à mesure que $β$ s'écarte de 1/2.

On nomme habituellement $N (T)$ le nombre de zéros de la fonction $ζ$ de Riemann dans le rectangle vertical décrit par sa diagonale $[0;1 + i T]$ . On pose aussi $N 0 (T)$ pour le nombre de zéros se trouvant sur le segment $[1 / 2;1 / 2 + i T]$ . On a alors les estimations suivantes :

$N(T)=\frac{T}{2\pi}\ln\left(\frac{T}{2\pi e}\right)+\mathcal{O}\left(\ln T\right)$

Démonstration

On part de $\xi(s)=\frac12s(s-1)\piˆ{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)$ pour laquelle on sait qu'on a selon la relation fonctionnelle $ξ (s) = ξ (1 - s)$ .

Le nombre de zéros de $ξ (s)$ est le même que celui de $ζ (s)$ dans le rectangle défini par les sommets opposés 0 et 1+iT, soit N (T). En effet, la fonction $\xi(s)=\frac12s(s-1)\piˆ{-s/2}\Gamma(s/2)$ ne s'annule pas dans la bande verticale ]0, 1[, celle-ci n'ayant que les zéros réels s=0 et s=1 (elle admet une illimitété de pôles réels pour les 1/2-entiers négatifs par la fonction gamma. )

Si T n'es pas l'ordonnée d'un zéro, $2π N (T)$ est égal à la variation de l'argument de $ξ (s)$ le long du rectangle, conformément au principe de l'argument.

Or, $ξ (s)$ est réelle pour t=0 et aussi pour $σ = 1 / 2$ , de sorte que la variation totale autour du rectangle est 2 fois la variation autour de la moitié en partant de s=2. Par conséquent $π N (T)$ est égal la variation d'argument entre 2 et 2+iT et de 2+iT à 1/2+iT le long des droites.

D'où $\pi N(T)=\int_2ˆ{2+iT}+\int_{2+iT}ˆ{1/2+iT} \frac{\xi'(s)}{\xi(s)} ds.$ Comme $\frac{\xi'(s)}{\xi(s)}= \frac1{s}+\frac{1}{s-1}-\frac12\ln \pi +\frac12\frac{\Gamma'(s/2)}{\Gamma(s/2)}+\frac12\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ , on a en utilisant la formule de Stirling complexe, $N(T)= \frac{T}{2\pi}\ln \frac{T}{2\pi}- \frac{T}{2\pi}+\frac{7}{8}+O(1/T) +\frac1{\pi}\Im{m}\left(\int_{1/2+iT}ˆ{2+iT} \frac{\zeta '(s)}{\zeta(s)}ds\right)$ Car la partie réelle de

ζ (s)

ne s'annulant pas sur l'axe

σ = 2

puisque $<img class=$ ζ (s) entre 2 et 2+iT est inférieure à

π / 2

Il reste à montrer que le dernier terme est $O (ln T)$ .

Si $\Re{e}(\zeta(s)$ s'annule q fois entre 2+iT et 1/2+iT, cet intervalle est divisé en q+1 parties à travers lesquelles $\Re{e}(s)$ ne prend qu'un signe, soit + soit -. Par conséquent dans chaque partie la variation de l'argument de $ζ (s)$ n'excède pas $π$ . et ainsi la variation totale de l'argument est inférieure à $(q + 3 / 2) π$ . Il reste à évaluer q.

Or q est le nombre de zéros de $f(z)=\frac12 \left(\zeta(z+iT)+\zeta(z-iT)\right)$ pour $\Im{m}(z)=0, \frac12\le \Re{e}(z) \le 2$ , et par conséquent q est obligatoirement inférieur au nombre de zéros de f (z) dans |z-2| <= 3/2. On applique alors la formule de Jensen :

«Soit f une fonction analytique dans le disque $|z| \le r$ contenant les zéros $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Alors $\ln |f(0)| = -\sum_{k=1}ˆn \ln\left(\frac{r}{|a_k|}\right)+\frac{1}{2\pi}\int_0ˆ{2\pi}\ln|f(reˆ{i\theta})|d\theta.$ »

qui donne $q < A \left(\int_0ˆ{2\pi} \ln|f(2+reˆ{iu})|du -2\pi \ln|f(2)|\right)$ où 3/2 < r < 2 et parce que $ζ (s) = O (t 1 - σ)$ , le membre de droite est inférieur à A ln T.

D'où le résultat annoncé.

Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang $n$ , $β n + i γ n$ sous la forme

$|\gamma_n| \approx \frac{2\pi n }{\ln n}$

Cette formule montre d'une part que l'ordre $m (ρ)$ de chaque zéro $ρ$ est majoré par

$m(\rho) \le C\ln |\rho|$

et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. On a en effet

$|\gamma_{n+1}-\gamma_n| = \mathcal{O}\left(1/\ln n \right).$

Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $T\geq 2$ on a

$N_0(T)\geq C T\ln T\geq CN(T).$

On ne connaît pas la valeur exacte de la constante $C$ mais Conrey a démontré en 1989 que

$\liminf_{T\to +\infty}\frac{N_0(T)}{N(T)}\geq 0,4077.$

C'est à dire, plus de deux cinquièmes des zéros de $ζ$ sont sur la droite critique $\Re(s)=\frac{1}{2}$ .

La fonction S (T)

Une analyse plus fine de la fonction $N (T)$ montre qu'on a

$N(T)= 1+\frac1{\pi}\arg\Big(\piˆ{-iT/2}\Gamma(1/4+iT/2)\Big)+S(T)$

où la fonction $S (T)$ est définie par

$S(T)=\frac1{\pi}\arg\Big(\zeta(1/2+iT)\Big),$

les arguments étant définis par variation continue depuis la valeur 0 prise en un point réel strictement supérieur à 1, le long d'un chemin menant au point reconnu et composé de deux segments, l'un vertical depuis le point réel, l'autre horizontal jusqu'au point voulu.

La formule de Stirling complexe donne alors

$N(T)= \frac{T}{2\pi}\ln \frac{T}{2\pi e}+\frac78+S(T)+\mathcal{O}\left(1/T\right).$

On connaît assez peu de chose sur $S (T)$ sans aucune hypothèse. On a l'estimation

$S(T)= \mathcal{O}\left(\ln T\right)$

déjà ancienne et qu'on n'arrive pas à perfectionner.

Sous l'hypothèse de Riemann, on a

$S(T)= \mathcal{O}\left(\ln T/\ln \ln T\right).$

Dans les recherches sur $S (T)$ , on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de S (T) qui reste mystérieux :

$\int_0ˆT S(u)\mathrm du = \mathcal{O}\left(\ln T\right)$

dont on déduit que la moyenne de $S (T)$ est égale à zéro.

Cependant Selberg a montré que $S (T)$ était minoré par une quantité tendant vers l'infini pour une illimitété de valeurs de T. Sur ces valeurs de T, on a

$<img class=$

qui montre que la moyenne de $S 2 (T)$ sur $[0, T]$ est $(1 / 2π 2) lnln T$ .

Titchmarsh a montré d'autre part que $S (T)$ changeait de signes une illimitété de fois.

La région sans zéro

La plus grande région connue qui ne contient aucun zéro de la fonction $ζ$ est donnée asymptotiquement par la formule suivante^[7]^,^[8] :

$<img class=$ Les grandes conjectures

L'hypothèse de Riemann

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

Représentation en bleu de la partie réelle et en rouge de la partie imaginaire de la fonction

ζ (1 / 2 + i x)

sur l'intervalle [0;100], où on voit clairement apparaître les premiers zéros non-triviaux.

Cette hypothèse reste pour le moment non démontrée. Elle exprime que l'ensemble des zéros qui se trouvent dans la bande critique sont de partie réelle égale à 1/2. Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros.

Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à $ζ$ .

Les conséquences sur le comportement de la fonction $ζ$ sont nombreuses. On en donne quelques unes dans ce qui suit.

L'hypothèse de Riemann entraine qu'on a $δ = 0$ dans le théorème de Valiron. En réalité, on montre bien mieux, la fonction $lnζ$ étant analytique régulière dans le demi-plan $<img class=$ σ tel que $1/2<\sigma_0 \le \sigma \le 1$

$\ln \zeta(\sigma+it) = \mathcal{O}\Big((\ln t)ˆ{2-2\sigma+\epsilon}\Big)$

et même plus exactement, si on suppose $1/2+ 1/\ln \ln t \le \sigma \le 1$ , on a

$\ln \zeta(\sigma+it) = \mathcal{O}\Big(\ln \ln t(\ln t)ˆ{2-2\sigma}\Big).$

De cela on déduit, pour tout $σ > 1 / 2$ , car l'exposant dans la formule précédente est inférieur à 1, $\zeta(\sigma+it) = \mathcal{O}\Big(tˆ\epsilon\Big)$ et $\frac1{\zeta(\sigma+it)} = \mathcal{O}\Big(tˆ\epsilon\Big).$

C'est à dire, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf.

Il en résulte aussi l'estimation

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1ˆT\frac{\mathrm dt}{ |\zeta(\sigma+it)|ˆ2} = \frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}.$

On peut développer, sous l'hypothèse de Riemann, une théorie voisine de celle de la fonction $μ (σ)$ qui concernait $ζ.$ Supposant $σ > 1 / 2$ et appelant $ν (σ)$ le plus petit exposant $α$ pour lequel on a $\ln \zeta(\sigma+it)=\mathcal{O}\Big((\ln t)ˆ\alpha\Big)$ , on montre que $ν (σ)$ est une fonction convexe décroissante de $σ$ satisfaisant aux inégalités $1-\sigma \le \nu(\sigma) \le 2(1-\sigma).$ On montre aussi que la fonction $ν (σ)$ de $ζ' (σ + i t) / ζ (σ + i t)$ est la même fonction $ν (σ)$ que celle de $lnζ (σ + i t).$ Mais on ignore toujours la valeur de $ν (σ)$ pour tout $\sigma \in ]1/2, 1[.$ Pour $\sigma \ge 1$ , $ν (σ) = 0.$

On a sans l'hypothèse de Riemann la formule $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{|t-\gamma| \le 1}\frac1{s-\rho}+\mathcal{O}(\ln |t|).$ Avec l'hypothèse de Riemann, la sommation peut être énormément diminuée. On a

$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{|t-\gamma| \le 1/\ln \ln t}\frac1{s-\rho}+\mathcal{O}(\ln |t|).$

On connait, sous l'hypothèse de Riemann, l'ordre exact des fonctions $ζ (1 + i t)$ et $1 / ζ (1 + i t).$

On a en effet ( $γ = 0, 577...$ est la constante d'Euler)

$eˆ\gamma\le \limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\ln \ln t} \le eˆ{2\gamma}$

$\frac6{\piˆ2}eˆ\gamma\le \limsup_{t \rightarrow \infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\ln \ln t} \le \frac{12}{\piˆ2}eˆ{2\gamma}$

La question de la position des zéros de la dérivée $ζ'$ est liée aussi à l'hypothèse de Riemann. Littlewood a démontré le théorème

«Ou bien la fonction $ζ$ ou bien la fonction $ζ'$ a une illimitété de zéros dans la bande $1 - δ < s < 1$ , $δ$ étant une quantité positive arbitrairement petite.»

et Speiser a démontré que

«L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée $ζ'$ dans le demi-plan $σ < 1 / 2$ .»

De même, Yildirim^[9] a démontré que

«L'hypothèse de Riemann implique que $ζ'' (s)$ et $ζ''' (s)$ ne s'annulent pas dans la bande $0 < \Re(s)<1/2.$ »

La théorie de la fonction mu, l'hypothèse de Lindelöf et l'hypothèse de densité

On utilise ici les résultats vus plus haut dans la partie #Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan.

L'estimation de $ζ$ dans la partie $\Re(s)<0$ montre que la fonction $t\mapsto\zeta(\sigma+it)$ est d'ordre fini : elle est majorée par une puissance de $t=\Im (s)$ .

Dans la région $<img class=$

Graphe de la fonction

μ

selon

σ

. En noir, la partie connue. En jaune la partie supposée conformément à l'hypothèse de Lindelöf. En rouge la majoration par la convexité.

La théorie des séries de Dirichlet montre que dans la bande critique, la fonction est toujours d'ordre fini sauf en $s = 1$ . La question qui se pose alors est celle de l'estimation de cet exposant. On nomme habituellement $μ (σ)$ le plus petit exposant $μ$ tel que $|\zeta(\sigma+it)| \ll tˆ{\mu}.$

La théorie générale montre que la fonction $μ$ est une fonction convexe décroissante de $σ$ .

On a de plus :

$\mu(\sigma) = \frac12-\sigma$ pour $σ < 0$ et
$\displaystyle\mu(\sigma) = 0$ pour $σ > 1$ .
La propriété de convexité impose, dans la bande critique, $\mu(\sigma) \le \frac12-\frac12 \sigma$

mais on ignore la valeur exacte de $μ (σ)$ pour $0 < s < 1$ .

La convexité donne $\mu(1/2) \le 1/4=0,25.$

La relation fonctionnelle approchée (voir plus haut) donne : $\mu(1/2) \le 1/6 < 0,16667.$

On sait que $\mu(1/2) \le 139/858=0,162004$ selon Kolesnik.

La conjecture de Lindelöf s'exprime dans la propriété, toujours conjecturale, suivante :

pour tout $<img class=$

Cela a en autre pour conséquence immédiate que $\displaystyle\mu(1/2)=0$ . On connaît alors la valeur exacte de la fonction $μ$ . Le graphe de $μ$ se compose des deux seules demi-droites indiquées, qui se rejoignent en $σ = 1 / 2$ à la valeur 0.

Cette hypothèse a de nombreuses formulations équivalentes intéressantes. En voici deux :

Pour tout $k \ge 1$ , on a

$\frac1{T}\int_1ˆT{|\zeta(1/2+iu)|ˆ{2k}\mathrm du} = \mathcal{O}(Tˆ\epsilon)$

Pour tout $k \ge 1$ , et tout $σ > 1 / 2$ on a

$\frac1{T}\int_1ˆT{|\zeta(\sigma+iu)|ˆ{2k}\mathrm du} = \mathcal{O}(Tˆ\epsilon)$

L'hypothèse de Lindelöf a pour conséquence la raréfaction des zéros à mesure qu'on s'écarte de l'axe 1/2. Cette dernière propriété est nommée hypothèse de densité lorsque on la considère par elle-même. Appelant $N (σ, T)$ le nombre de zéros sur la droite $\Re(s)=\sigma$ et dont la partie imaginaire reste inférieure ou égale à $T$ , on a, sous l'hypothèse de Lindelöf,

$N(\sigma,T) \le \mathcal{O}(Tˆ{2(1-\sigma)+\epsilon})$

Par contre, on ignore si l'hypothèse de Lindelöf, qui a comme on vient de voir une influence sur la position des zéros, implique ou non l'hypothèse de Riemann.

Les hypothèses de Mertens

Sur une table numérique allant jusqu'à 10 000 de la fonction de Mertens $M (x)$ , Mertens en 1897 conjectura qu'on a

$|M(x)| \le \sqrt{x}.$

Cette conjecture a été réfutée en 1985 par Odlysko et Te Riele. Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme

$|M(x)| \le A\sqrt{x}$

pour un certain $A > 1$ , n'est pas réfutée.

Une troisième formulation est la forme affaiblie :

$\int_1ˆx{\frac{Mˆ2(u)}{uˆ2}\mathrm du}=\mathcal{O}(\ln x).$

La forme généralisée implique la forme affaiblie. La forme affaiblie implique l'hypothèse de Riemann (et par conséquent l'hypothèse de Lindelöf) et la simplicité des zéros.

La conjecture des paires corrélées

La conjecture (faible) des paires corrélées exprime que, pour un nombre $α > 0$ ,

$\sum_{0<\gamma,\gamma'<T, 0<\gamma-\gamma'< \frac{2\pi\alpha}{\ln T}}1=\frac{T\ln T}{2\pi}(1+o(1))\int_0ˆ\alpha 1-\left(\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}\right)ˆ2 \mathrm du.$

Cette dernière conjecture fait le lien avec la théorie des matrices aléatoires.

La conjecture de Hilbert-Polya

Hilbert et Polya ont suggéré que la conjecture de Riemann serait démontrée si on pouvait trouver un opérateur hermitien $\hat{H}$ dont les valeurs propres (nécessairement réelles) soient précisément les parties imaginaires $E k$ des zéros non triviaux :

$\ \hat{H} \ \psi_k \ = \ E_k \ \psi_k$

Un tel opérateur hermitien n'a pas encore été trouvé explicitement à ce jour. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant.

Propriétés statistiques des zéros non triviaux et chaos quantique

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction $ζ$ ressemblent asymptotiquement à celle des valeurs propres d'un grand ensemble de matrices aléatoires unitaires gaussiennes de la totalité GUE. Cette conjecture est basée sur de nombreux résultats numériques, et fortement supportée par un théorème rigoureux de Montgomery^[10]. Ceci a conduit le physicien théoricien Michæl Berry à conjecturer que les parties imaginaires $E k$ des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un dispositif quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps^[11]^,^[12]^,^[13]. Mieux, un opérateur hamiltonien semblant posséder les bonnes propriétés a été récemment exhibé par Berry et Keating^[14]^,^[15].

Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques^[16]. On pourra lire aussi : Philippe Biane ; La fonction zêta de Riemann et les probabilités, Journées X-UPS (2003), texte au format pdf.

Le problème des moments

Malgré quelques progrès, on n'a pas réussi à résoudre la question de l'ordre de $ζ$ dans la bande critique. Le problème de l'ordre moyen est lui, partiellement résolu. Il prend la forme de l'estimation de l'expression

$\int_1ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ2 \mathrm dt.$

Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet :

«Soient $f(s)=\sum_{n=1}ˆ\infty{\frac{a_n}{nˆs}}$ et $g(s)=\sum_{n=1}ˆ\infty{\frac{b_n}{nˆs}}$ deux séries de Dirichlet totalement convergentes, la première pour $<img class=$ α > σ₀ et $β > σ 0$ , on a
$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{2T}\int_{-T}ˆT f(\alpha+it)g(\beta-it) \mathrm dt=\sum_{n=1}ˆ\infty{\frac{a_n b_n}{nˆ{\alpha+\beta}}}.$ »

En l'appliquant à la fonction $ζ$ , on trouve immédiatement, pour $σ > 1$

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{2T}\int_{-T}ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ2 \mathrm dt=\zeta(2\sigma)$

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{2T}\int_{-T}ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ4 \mathrm dt=\frac{\zetaˆ4(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}.$

On a par conséquent cherché à étendre ces formules pour $\sigma \le 1$ .

Le problème général des moments est par conséquent l'évaluation des intégrales dépendantes de $k$ , pour $\sigma \ge 1/2$

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ{2k} \mathrm dt.$

Les résultats, désormais classiques, sont les suivants :

Pour l'instant d'ordre 2 en $σ = 1 / 2$

$\int_0ˆT|\zeta(1/2+it)|ˆ{2} \mathrm dt=T \ln T+(2\gamma-1-\ln 2\pi)T+\mathcal{O}\Big(\sqrt{T}\ln T\Big).$

Pour l'instant d'ordre 2 en $σ > 1 / 2$

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ2 \mathrm dt=\zeta(2\sigma)$

Pour l'instant d'ordre 4 en $σ = 1 / 2$

$\int_1ˆT|\zeta(1/2+it)|ˆ4 \mathrm dt=\frac1{2\piˆ2}T (\ln T)ˆ4+\mathcal{O}\Big(T(\ln T)ˆ3\Big).$

Pour l'instant d'ordre 4 en $σ > 1 / 2$

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ4 \mathrm dt=\frac{\zetaˆ4(2\sigma)}{\zeta(4\sigma)}.$

Carlson a montré que, si on nomme $σ k$ la limite inférieure des $σ$ pour lesquels on a

$\lim_{T \rightarrow \infty}\frac1{T}\int_1ˆT|\zeta(\sigma+it)|ˆ{2k}\mathrm dt=\mathcal{O}(1)$

alors

$\sigma_k \le \max\Big(1-\frac{1-\alpha}{1+\mu_k(\alpha)},\frac12,\alpha\Big)$

pour $0 < a < 1$ . La quantité $μ k (α)$ étant l'équivalent de la fonction $μ$ de $ζ$ pour la fonction $ζ k$ .

Les moments d'ordre supérieur à 4 font toujours l'objet d'intenses recherches. On sait qu'il existe une constante $C (k)$ telle que

$\int_0ˆT|\zeta(1/2+it)|ˆ{2k} \mathrm dt \ll Tˆ{(k+2)/4}(\ln T)ˆ{C(k)}$

pour $2 \le k \le 6$ et on conjecture qu'il en est ainsi pour les $k$ supérieurs à 6, surtout 8.

L'importance du problème des moments est liée à l'hypothèse de Lindelöf.

Applications diverses

Régularisation Zêta

Article détaillé : Régularisation zêta.

Par l'intermédiaire de la fonction $ζ$ de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, surtout dans l'effet Casimir.

Calcul d'intégrales

Outre celles déjà données auparavant, on a, pour $<img class=$ s = 1 + 2ikπ / ln (2) ,

$\zeta(s)=\frac1{(1-2ˆ{1-s})\Gamma(s)}\int_0ˆ1 \frac{|\ln u|ˆ{s-1}}{1+u} \mathrm du.$

Ou encore plus simplement pour $<img class=$

Développement en série entière

Une formule due à Legendre donne pour |t|<1

$\ln \Gamma(1+t) = -\gamma t +\sum_{n=2}ˆ\infty \frac{\zeta(n)}{n}tˆn$

Suite de Farey

Fonction de comptage des nombres premiers

La fonction de comptage des nombres premiers est définie par

$\pi(x)=\sum_{p \in \mathcal{P}, p\le x} 1.$

La non annulation de la fonction $ζ$ sur $\Re(s)=1$ a pour conséquence la véracité de la conjecture de Legendre-Gauss

$\pi(x)=\Big(1+o(1)\Big)\int_2ˆx{\frac{\mathrm du}{\ln u}}$

La région sans zéro permet ensuite de majorer le reste :

$\pi(x)=\int_2ˆx{\frac{du}{\ln u}}+\mathcal{O}\Big(x\exp(-c(\ln x)ˆ{3/5}(\ln \ln x)ˆ{-1/5})\Big)$

Ce qui est toujours bien loin de ce qu'on sait démontrer si l'hypothèse de Riemann est vraie

$\pi(x)=\int_2ˆx{\frac{du}{\ln u}}+\mathcal{O}(\sqrt{x}\ln x).$

Le nombre premier de rang n

Grâce à une étude numérique de la fonction $ζ$ , Rosser et Schœnfeld ont montré que

$n\Big(\ln n + \ln \ln n -\frac32\Big) < p_n < n\Big(\ln n + \ln \ln n -\frac12\Big).$

La limite inférieure a été perfectionnée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1,

$n\Big(\ln n + \ln \ln n -1\Big) < p_n .$

Historique

Article détaillé : Histoire de la fonction zêta de Riemann.

Notes et références

↑ On trouvera par exemple quatorze démonstrations (en anglais) de la valeur $ζ (2) = π 2 / 6$ sur le site de Robin Chapman (en)
↑ Voir Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Ed. Belin, 2008, page 253 ; P. Cartier, «An Introduction to Zeta-Functions», in Michel Waldschmidt, P. Moussa, J. -M. Luck, C. Itzykson (éds. ), From Number Theory to Physics [détail des éditions], p. 5-12, et en particulier 11-12, suivi ici.
↑ Widder, The Laplace transforms, p230.
↑ Il existe d'autres démonstrations : on peut par exemple montrer que la série est en fait convergente pour $<img class=$ en laissant le terme négatif à part. Ce faisant, la série est alors une série alternée dont les termes sont décroissants (cela se montre aisément car on a 3n-2 < 3n-1 < 3n < 3n+1 < 3n+2 donc 1/(3n-2) + 1/(3n-1) > 2/3n d'une part et 2/3n > 1/ (3n+1) + 1/ (3n+2) d'autre part) et qui converge par conséquent par application du critère des séries alternées pour $s$ réel. On montre aisément que la série ne converge pas en 0 car ses sommes partielles ne tendent pas vers 0.
↑ Matsuoka, Generalized Euler Constants Associated with the Riemann Zeta Function. , Number Theory and Combinatorics, p279-295, World Scientific, 1985
↑ Ford, Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta Function, Proceedings of the London Mathematical Society, 2002, T85, p565-633
↑ Vinogradov, A new estimate for $| ζ (1 + i t) |$ , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser Math. T22, 1958, p161-164.
↑ Titchmarsh, The theory of the Riemann's zeta-function, 2e édition, 1986, p135
↑ Yildirim, A note on Zeta (s) and Zeta' (s), Proceedings of the american mathematical society, V124 N°8, août 1996
↑ H. L. Montgomery, The pair correlation of zeros of the zeta function, Analytic number theory (Proceedings of Symposium in Pure Mathemathics, Vol. 24 (St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972), American Mathematical Society (Providence, R. I., 1973), pp. 181–193.
↑ Michæl V. Berry ; Riemann's zeta function : a model for quantum chaos?, dans : T H Seligman and H Nishioka (eds. ) ; Quantum chaos and statistical nuclear physics, Springer Lecture Notes in Physics No. 263, Springer-Verlag (1986) 1-17. Texte complet disponible au format pdf.
↑ Michæl V. Berry ; Semiclassical formula for the number variance of the Riemann zeros, Nonlinearity 1 (1988) 399-407. Texte complet disponible au format pdf.
↑ Michæl V. Berry ; Quantum mechanics, chaos and the Riemann zeros, dans : A O Barut, I D Feranchuk, Ya M Shnir and L M Tomil ‘chik (eds. ) ; Quantum systems : new trends and methods, World Scientifc (1995) 387-392. Texte complet disponible au format pdf.
↑ Michæl V. Berry & Jonathan P. Keating ; H = xp and the Riemann zeros, dans : I V Lerner et J P Keating (eds. ) ; Supersymmetry and trace formulæ : chaos and disorder, Plenum Press (New York — 1999), 355-367. Texte complet disponible au format pdf.
↑ Michæl V. Berry & Jonathan P. Keating ; The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics, SIAM Review 41 (1999), 236-266. Texte complet disponible au format pdf.
↑ Propriétés statistiques de la fonction zêta :
- Eugene B Bogomolny & Jonathan P. Keating ; Random matrix theory and the Riemann zeros I : three- and four-point correlations, Nonlinearity 8 (1995) 1115-1131.
- Eugene B Bogomolny & Jonathan P. Keating ; Random matrix theory and the Riemann zeros II : n-point correlations, Nonlinearity 9 (1996), 911-935.
- Oriol Bohigas, Patricio Lebœuf et M. -J. Sanchez ; Spectral spacing correlations for chaotic and disordered systems, Foundations of Physics 31 (2001) 489-517. Texte complet disponible sur l'ArXiv : nlin. CD/0012049.
- Francesco Mezzadri ; Random matrix theory and the zeros of zeta' (s) , Journal of Physics A : Mathematical ans General Vol. 36 (2003), 2945-2962. Texte complet disponible sur l'ArXiv : math-ph/0207044.
- Jonathan P. Keating ; Random matrices and the Riemann zeta-function – a review, Applied Mathematics Entering the 21st Century : Invited Talks from the ICIAM 2003 Congress ; editors, James M. Hill and Ross Moore (SIAM) (2004), 210-225.
- Eugene Bogomolny, Oriol Bohigas, Patricio Lebœuf & A. G. Monastra ; On the spacing distribution of the Riemann zeros : corrections to the asymptotic result, math/0602270.

Bibliographie

Traités généraux

Blanchard ; Introduction à la théorie analytique des nombres
Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane ; La Fonction Zêta, Éditions de l'École polytechnique (Paris — 2002), ISBN 2-7302-1011-3. (Suite d'articles sur différents points de la théorie analytique des nombres et de la fonction zêta. N'est pas conçu pour une étude systématique de la fonction zêta de Riemann, en ligne Bost, Colmez Biane sous forme pdf)
Pierre Colmez, Eléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres) , Editions de l'Ecole Polytechnique, 2009. (On y trouvera surtout une démonstration du théorème des nombres premiers et de celui de la progression arithmétique. )
Ellison et Mendès France, Les nombres premiers, Hermann, Paris, 1975, ISBN 2-7056-1366-8 (malgré son titre, il s'agit principalement de l'étude de la fonction zêta de Riemann. On y trouvera aussi une preuve élémentaire du théorème de Hadamard-De La Vallée Poussin, une preuve du théorème de Dirichlet et la démonstration de la région sans zéro de Vinogradov-Korobov. À lire pour commencer. Il a aussi l'avantage d'être en français. )
Favard, Leçons sur les fonctions presque-périodiques, Gauthier-Villars, Paris, 1933. (pour comprendre la théorie de Bohr des séries de Dirichlet dont la fonction zêta fait partie dans la mesure où elle est presque périodique au sens de Bohr dans le demi-plan à droit du pôle 1)
Eberhard Freitag et Rolf Busam : Complex Analysis, Springer, (2^e édition — 2009), ISBN 978-3540257240 (la théorie analytique des nombres, de la définition des nombres complexes aux formes modulaires en passant par zeta)
Aleksandar Ivic ; The Riemann Zeta-Function, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 0-471-80634-X (Concurrent du traité de Titchmarsh, légèrement plus récent)
Karatsuba, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-53345-1 (très bon traité)
E. C. Titchmarsh et D. R. Heath-Brown ; The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford University Press (2^e édition — 1987), ISBN 0-19-853369-1. (La bible sur la fonction zêta jusqu'à une époque récente, disons 1990. Reste irremplaçable sur certains sujets. La première édition de 1951 n'a pas énormément été complétée par la seconde de 1986. Heath-Brown s'est contenté d'indiquer pour chaque chapitre l'état des connaissances en 1986 sans démonstration en deux ou trois pages. )
Gérald Tenenbaum ; Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin (3^e édition augmentée — 2008), ISBN 978-2-7011-4750-5.
S. J. Patterson ; An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (No. 14), Cambridge University Press (1995), ISBN 0-521-49905-4.

Articles de revue

Nicholas M. Katz & Peter Sarnak ; Zerœs of zeta functions and symmetry, Bulletin of the American Mathematical Society 36 (1999), 1-26. Texte disponible en ligne.
Philippe Biane, Jim Pitman & Marc Yor ; Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions, Bulletin of the American Mathematical Society 38 (2001), 435-465. Texte disponible en ligne.
Stephen S. Gelbart & Stephen D. Miller ; Riemann's zeta function and beyond, Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1) (2004), 59-112. Texte disponible en ligne.