Fonction polynôme

En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à cœfficients dans un anneau commutatif K de la forme ...



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En algèbre, une fonction polynôme, ou fonction polynomiale est définie comme étant une application associée à un polynôme à cœfficients dans un anneau (fréquemment un corps) commutatif K de la forme :

f : x \mapsto a_n xˆn + a_ {n - 1} xˆ {n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 xˆ0

n est un entier naturel et an, an − 1, …, a0 sont des éléments de K, nommés cœfficients de la fonction polynôme f. Cela s'écrit toujours, avec la notation sigma :

f: x \mapsto \sum_{r = 0}ˆ{n} a_r xˆ{r}\,\!

On dit que f est une fonction polynôme à cœfficients dans K.

On n'a pas précisé les ensembles de départ K et d'arrivée L d'une fonction polynôme pour ne pas compliquer la définition. Il suffit en fait que L soit pourvu d'une structure d'algèbre sur le corps (ou l'anneau) K. Une telle structure comporte l'ensemble des opérations qui interviennent dans la définition d'une fonction polynôme :

Dans la pratique, on se place fréquemment dans les cas spécifiques K=L=\mathbb R (ou K=L=\mathbb C) dans lesquels l'ensemble des lois de multiplications précédentes sont confondues.

En analyse, on considère presque toujours des fonctions polynômes à cœfficients réels ou complexes (K=\mathbb R ou K=\mathbb C).

Degré

Le degré d'une fonction polynômiale f non nulle est le plus grand des entiers naturels k tels que ak soit non nul (c'est par conséquent n si le cœfficient an n'est pas nul). Par convention, le degré de la fonction polynômiale nulle est -\infty.

Chaque terme de la fonction polynôme de la forme akxk est nommé un monôme (de degré k). Le cœfficient du monôme de plus haut degré est nommé le cœfficient dominant de f ; a0 est nommé le cœfficient constant de f.

Identification des cœfficients

Dans le cas où K est un corps commutatif illimité, il y a équivalence entre l'identité formelle de polynômes à cœfficients dans K et l'identité des fonctions polynômes associées : deux polynômes sont égaux (ont même degré et mêmes cœfficients) si et uniquement si les fonctions polynomiales associées sont identiques.

En termes plus abstraits : le morphisme de K-algèbres P\mapsto \tilde{P} de K[X] dans \mathcal F(K) qui à un polynôme P(X)=\sum_{r = 0}ˆ{n} a_r Xˆr de K[X] associe la fonction polynomiale \tilde{P}: K \to K,\, x\mapsto \sum_{r = 0}ˆ{n} a_r xˆr, est alors injectif.

Dans ce cas, il n'y a plus lieu de distinguer le polynôme et la fonction polynomiale associée.

Polynômes spécifiques

Les polynômes de

La fonction polynôme f(x) = -7xˆ3 + \frac {2} {3} xˆ2 - 5x + 3 est un exemple d'une fonction cubique avec comme cœfficient dominant -7 et cœfficient constant 3.

Importance des fonctions polynômes

Les fonctions polynômes sont fréquemment utilisées parce que ce sont les fonctions les plus simples : leur définition implique uniquement l'addition et la multiplication (puisque les puissances ne sont que des sténographies pour les multiplications répétées).

Ils sont aussi simples dans un autre sens : les polynômes de degré inférieur ou égal à n sont exactement les fonctions dont la dérivée (n+1) ième est semblablement nulle.

Un aspect important en calcul numérique est la possibilité d'étudier les fonctions compliquées au moyen d'approximations par des polynômes. Des théorèmes rendent envisageables de telles études dans certaines conditions.

Principaux sont le théorème de Taylor, qui affirme environ que toute fonction n fois différentiable a l'air d'être localement un polynôme, et le théorème d'approximation de Weierstrass, qui affirme que toute fonction continue définie sur un intervalle compact peut être approchée uniformément sur cet intervalle d'aussi près que désiré par un polynôme.

Les quotients de fonctions polynômes sont nommés les fonctions rationnelles. Celles-ci sont les seules fonctions qui peuvent être évaluées directement par un ordinateur, puisqu'à la base, seules les opérations d'addition, de multiplication et de division (et les opérations logiques) peuvent être exécutées par l'unité centrale d'un ordinateur. L'ensemble des autres fonctions qu'on a besoin d'évaluer avec un ordinateur, comme les fonctions trigonométriques, les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles, doivent être alors approchées par des fonctions rationnelles convenables.

Pour évaluer des fonctions polynômes en des valeurs données de la variable x, on n'applique pas le polynôme comme une formule et on ne calcule pas l'ensemble des puissances de x, mais on utilise plutôt la méthode de Horner, bien plus efficace.

Si l'évaluation d'un polynôme en de nombreux points équidistants est demandée, alors la méthode des différences finies de Newton diminué la quantité de travail de façon spectaculaire. Le moteur de différences de Charles Babbage a été conçu pour créer automatiquement de grandes tables de valeurs des fonctions logarithmes et trigonométriques en évaluant des polynômes avec la méthode des différences de Newton, en utilisant énormément de points.

Racines

Une racine ou un zéro d'un polynôme P (X) est un nombre r tel que P (r) = 0. Déterminer les racines d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 1, ou «résoudre une équation algébrique», fait partie des plus vieux problèmes mathématiques. Certains polynômes, comme P (X) = X2 + 1, n'ont pas de racine dans la totalité des nombres réels. Si les racines sont recherchées dans la totalité des nombres complexes, alors on pourra en trouver au moins une (ici, il y en a deux. ) En effet tout polynôme (non-constant) de \mathbb C [X] admet au moins une racine complexe (voir le théorème de d'Alembert-Gauss. )

Ordre de multiplicité d'une racine

Si r est racine du polynôme P (X) , il existe un polynôme Q (X) tel que P (X) = (Xr) Q (X) (pour le démontrer il suffit de retrancher à chaque monôme akXk de P (X) la valeur akrk et de constater que (Xr) se met naturellement en facteur). Si Q (r) est nul, alors on peut toujours mettre (Xr) en facteur. On dit tandis que r est racine double de P (X).

D'une façon plus générale, s'il existe un polynôme Q (X) et un entier naturel non nul m tels que P (X) = (Xr) mQ (X) et Q (r) ≠0, on dit que r est racine d'ordre m, ou a pour multiplicité m (Q et m sont alors uniques). A titre d'exemple, le polynôme P (X) = X3 − 2X2 + X peut aussi s'écrire P (X) = (X − 1) 2X ; par conséquent 1 est une racine de P, et sa multiplicité est égale à 2, tandis que 0 est racine simple.

Calcul des racines d'un polynôme

La recherche des racines des polynômes de degré 1 ou 2 sont des classiques de l'enseignement pré-universitaire, connus comme «résolution d'une équation du premier ou du second degré». Des formules servant à calculer les racines des polynômes de degré jusqu'à 4 à partir des cœfficients en utilisant les quatre opérations arithmétiques plus les radicaux (racines n-ièmes) étaient déjà connues au seizième siècle (formule de Cardan, de Niccolo Fontana Tartaglia, de Ludovico Ferrari).

Aucune formule générale de ce type n'existe pour les polynômes de degré 5 ou plus, comme l'a prouvé Abel en 1824. Ce résultat précède de peu la théorie plus générale développée par Galois qui s'engage dans une étude détaillée des relations entre les racines de polynômes.

Les approximations des racines réelles d'un polynôme donné peuvent être trouvées en utilisant la méthode de Newton, ou plus efficacement en utilisant la méthode de Laguerre qui emploie l'arithmétique complexe et sert à localiser l'ensemble des racines complexes. Ces algorithmes sont étudiés en analyse numérique

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