Fonction numérique

Quand nous exprimons qu'une quantité dépend d'une autre quantité nous supposons qu'il existe un moyen d'obtenir cette quantité à partir d'une autre.



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Mathématiques élémentaires - Analyse

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Quand nous exprimons qu'une quantité dépend d'une autre quantité nous supposons qu'il existe un moyen d'obtenir cette quantité à partir d'une autre. Et si ces quantités sont représentées par des variables, alors une variable est fonction d'une autre, lorsqu'il y a une règle qui permet d'obtenir la valeur de cette variable, à partir de la valeur de l'autre.

Exemple : la quantité "chiffre d'affaire" d'une entreprise dépend de la quantité "nb de produits vendus"

Une fonction numérique est une règle qui permet d'associer à un réel un autre nombre réel.
Donnons l'exemple d'un épicier qui augmente les prix de tous ses articles de 20%. Ajouter à chaque prix 20% du prix, revient à multiplier chaque prix par 120%. La règle que l'épicier va appliquer à chaque prix est la multiplication par 1, 2 et nous dirons que le nouveau prix dépend de l'ancien.

Définition

Une fonction numérique f ou fonction réelle d'une variable réelle d'une partie D de \mathbb R dans \mathbb R, est une correspondance (ou application) qui à tout élément x de D associe un réel et un seul noté f (x) .
Ce réel f (x) est l'image de x par f.

Cette partie D de \mathbb R est nommée la totalité de définition de f.

Notation

Nous notons la fonction :


\begin{matrix}
f: & D \subset \mathbb R & \rightarrow & \mathbb R
\\ & x & \mapsto & f(x)
\end{matrix}

(observez que la seconde flèche possède un poussoir que n'a pas la première)

ou plus simplement f:  x  \mapsto  f(x)

Exemple

Soit la fonction qui à tout nombre réel de l'intervalle [ − 1; + 1] associe son carré diminué de 1.

Nous pouvons définir la fonction f des manières suivantes :

Soit f définie par :

pour tout réel x dans  [ -1 ; +1 ],\ f(x) = xˆ2 - 1 ∼

ou encore :

\begin{matrix}f: & [-1;1] & \rightarrow & \mathbb R\\ & x & \mapsto & f(x) = xˆ2-1\end{matrix}

Remarque

Nous ne devons pas confondre f et f (x). Dans l'exemple précédent f est la règle qui élève un réel au carré et lui retranche 1, alors que f (x) est égal au réel x²-1 qui est associé à x.

Ensemble de définition

Soit f une fonction de D dans \mathbb R.
Soit x un réel. Si x appartient à D, alors on dit que f est définie en x, et si x n'appartient pas à D on dit que f n'est pas définie en x.

Remarques

Erreurs classiques

Bon nombre[Combien ?] de lycéens tiennent pour vraie la relation f (a+b) =f (a) +f (b)  :

En fait la confusion vient de l'application abusive des règles de calcul seulement valables pour les fonctions linéaires, en d'autres mots pour les situations de proportionnalité.

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