Fonction nulle

En mathématiques, une fonction nulle est une fonction constante dont l'image est zéro. Elle possède de nombreuses propriétés et intervient dans de nombreux domaines des mathématiques.



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En mathématiques, une fonction nulle est une fonction constante dont l'image est zéro. Elle possède de nombreuses propriétés et intervient dans de nombreux domaines des mathématiques. Elle est fréquemment utilisée comme exemple ou contre-exemple trivial.

Énoncé

On nomme le plus souvent fonction nulle la fonction constante définie sur la totalité des nombres réels ou complexes par : f(x)=0∼. De manière plus rigoureuse, on dit qu'une fonction définie sur A sous-ensemble de C, par exemple, est une fonction nulle (ou est la fonction nulle de A) si c'est la restriction à A de la fonction nulle précédente (c'est à dire, si \forall x\in A, f(x)=0, et si f n'est pas définie en dehors de A).

Définition comme polynôme

La fonction nulle de C peut se définir comme une fonction constante, par conséquent comme un polynôme de degré 0 à cœfficients tous nuls). Cependant, ce polynôme possèderait un nombre illimité de racines (puisque tout nombre réel ou complexe est racine), en contradiction avec l'énoncé courant du théorème de d'Alembert, par exemple. C'est pourquoi on dit (par convention) que ce polynôme, nommé le polynôme nul, est de degré -\infty.

Propriétés

Signe

C'est l'unique fonction, qui, pour tout x réel, est à la fois négative et positive dans la mesure où elle est nulle.

Parité

Une des conséquences de son signe est qu'elle est l'unique fonction définie sur R ou sur C à la fois paire et impaire, puisque pour tout x réel, on a f(x)=f(-x)=-f(x)=0∼. On remarquera que ce résultat ne couvre pas au cas général : pour que la fonction nulle de A soit paire (et impaire), il faut que A soit "symétrique" comparé à 0, c'est-à-dire que x\in A -x\in A.

Opérations

Somme

Par définition, la somme de la fonction nulle f avec une quelconque fonction numérique g donne cette même fonction g, puisque (f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+g(x)=g(x)∼ ; la fonction nulle est par conséquent l'élément neutre du groupe additif des fonctions numériques.

Multiplication par un réel

Quand on multiplie la fonction nulle f par un réel k, on obtient la fonction nulle, car kf(x)=k\times f(x)=k\times 0=0 ; on dit que la fonction nulle est un élément absorbant pour la multiplication des fonctions.

Dérivée

La tangente à la droite représentative de la fonction nulle f est elle-même en tout point de cette droite, dont le cœfficient directeur est nul. Pour tout x réel, on a par conséquent f' (x) = 0, et la fonction nulle est par conséquent sa propre dérivée.

Intégrale et primitives

L'intégrale de la fonction nulle est nulle sur tout intervalle inclus dans la totalité des réels ; la totalité des primitives de la fonction nulle (sur R) est par conséquent la totalité des fonctions constantes.

Représentation graphique

La représentation graphique de la fonction nulle est une droite d'équation y=0 : elle est confondue avec l'axe des abscisses quand elle est représentée sur la droite réelle. Lorsque on la représente sur le plan complexe, elle est confondue avec ce dernier.

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