Fonction linéaire
Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples qu'on rencontre. Ce sont des cas spécifiques d'applications linéaires.
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- Classe de troisième, Fonctions linéaires, fonction affines.... La représentation graphique d'une fonction linéaire est par conséquent une droite passant l'origine du ... (source : site2wouf)
- La représentation graphique de la fonction linéaire est une droite passant par... Pour plus de détails, voir : Intersection entre deux fonctions linéaires... (source : fr.math.wikia)
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Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples qu'on rencontre. Ce sont des cas spécifiques d'applications linéaires.
Elles traduisent la proportionnalité.
A titre d'exemple, on dira que le prix d'un plein d'essence est fonction linéaire du nombre de litres mis dans le réservoir car :
- pour un litre, on paie 1, 10 euros
- pour 2 litres on paie 2, 20 euros
- pour 10 litres on paie 11 euros
- pour 100 litres on paie 110 euros
et pour x litres on paie 1, 1 x euro.
Reconnaître une fonction linéaire
Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :
avec
où le nombre a est un réel quelconque. Ce réel a se nomme le cœfficient de proportionnalité.
En repartant de l'égalité , on voit que, pour x différent de 0, on peut diviser les deux côtés par x. Il vient donc
.
Il suffit par conséquent d'une valeur x non nulle et de son image y pour déterminer la valeur du cœfficient de proportionnalité.
Représentation dans le plan
La représentation graphique d'une fonction est la totalité des points de coordonnées (x, y) tels que y = f (x) .
Les fonctions linéaires définies de dans
se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l'origine du repère. En effet, si M est un point de la représentation graphique tel que x = 0, il vient obligatoirement y = 0.
L'élément graphique important est le cœfficient directeur (ou pente) de la droite. Il correspond au cœfficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce cœfficient directeur : si M (x, y) est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme auparavant , puis par division par x (non nul)
.
Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison de la droite comparé à l'axe des abscisses.

Par exemple :
- si a = 1, la droite fait un angle de 45° avec l'axe des abscisses ;
- si a = 2, la droite monte plus fortement que pour a = 1 ;
- si a = 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
- si a = − 1, la droite baisse
.
En résumé :
- si a > 0, la droite monte lorsque on la lit de gauche à droite ;
- si a = 0, la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
- si a < 0, la droite descend lorsque on la lit de gauche à droite ;
Dans un quadrillage à l'unité, le cœfficient directeur correspond au nombre de carreaux parcourus sur l'axe des ordonnées quand on se déplace d'un seul carreau (vers la droite) sur celui des abscisses.
Opérations
Somme
Considérons deux fonctions f et g linéaires définies, pour tout x réel, par :
Alors pour tout réel x, on a
C'est à dire, la somme de deux fonctions linéaires est une fonction linéaire.
Multiplication par un réel
Considérons la fonction f linéaire définie pour tout réel x par
et k, un réel quelconque, alors, pour tout réel x, on a
C'est à dire, le produit d'une fonction linéaire par une constante est une fonction linéaire.
Produit
Considérons deux fonctions f et g linéaires définies, pour tout x réel, par :
On a alors :
C'est à dire, le produit de deux fonctions linéaires non nulles n'est pas une fonction linéaire mais une fonction du second degré.
Dérivée
Soit f une fonction linéaire. La tangente à la droite représentative de la fonction f est en tout point de cette droite elle-même, si bien que pour tout x réel, on a :
La fonction dérivée de f est par conséquent la fonction constante définie sur par cette équation.
Intégrale
Soit f une fonction linéaire, positive sur l'intervalle [a;b]. On peut calculer l'intégrale de f sur l'intervalle [a;b] en utilisant la formule de l'aire d'un trapèze (somme des bases multipliée par la hauteur et divisée par 2) :
Soit pour f (x) = αx
Primitives
Soit f une fonction linéaire définie par :
Alors il existe une illimitété de primitives de cette fonction, elles sont toutes définies par des expressions de la forme :
Où C est une constante réelle quelconque.
Parité
Soit f une fonction linéaire définie par f (x) = ax
Pour tout x réel, on a :
Donc une fonction linéaire est toujours impaire. Il existe une seule fonction linéaire paire : c'est la fonction nulle qui est à la fois linéaire et constante.
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