Fonction linéaire

Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples qu'on rencontre. Ce sont des cas spécifiques d'applications linéaires.

Reconnaître une fonction linéaire

Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :

$\begin{matrix}f: & \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ & x\mapsto y\\\end{matrix}$ avec $y = a \times x$

où le nombre $a$ est un réel quelconque. Ce réel $a$ se nomme le cœfficient de proportionnalité.

En repartant de l'égalité $y=a\times x$ , on voit que, pour $x$ différent de $0$ , on peut diviser les deux côtés par x. Il vient donc

$a=\frac{y}{x}$ .

Il suffit par conséquent d'une valeur $x$ non nulle et de son image $y$ pour déterminer la valeur du cœfficient de proportionnalité.

Représentation dans le plan

La représentation graphique d'une fonction est la totalité des points de coordonnées $(x, y)$ tels que $y = f (x)$ .

Les fonctions linéaires définies de $\R$ dans $\R$ se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l'origine du repère. En effet, si $M$ est un point de la représentation graphique tel que $x = 0$ , il vient obligatoirement $y = 0$ .

L'élément graphique important est le cœfficient directeur (ou pente) de la droite. Il correspond au cœfficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce cœfficient directeur : si $M (x, y)$ est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme auparavant $y = a\times x$ , puis par division par $x$ (non nul)

$a=\frac{y}{x}$ .

Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison de la droite comparé à l'axe des abscisses.

Par exemple :

si $a = 1$ , la droite fait un angle de 45° avec l'axe des abscisses ;
si $a = 2$ , la droite monte plus fortement que pour a = 1 ;
si $a = 0$ , la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
si $a = - 1$ , la droite baisse

En résumé :

si $a > 0$ , la droite monte lorsque on la lit de gauche à droite ;
si $a = 0$ , la droite est confondue avec l'axe des abscisses ;
si $a < 0$ , la droite descend lorsque on la lit de gauche à droite ;

Dans un quadrillage à l'unité, le cœfficient directeur correspond au nombre de carreaux parcourus sur l'axe des ordonnées quand on se déplace d'un seul carreau (vers la droite) sur celui des abscisses.

Coefficient directeur.png

Opérations

Somme

Considérons deux fonctions f et g linéaires définies, pour tout x réel, par :

$f(x)=ax\,;\,g(x)=bx∼$

Alors pour tout réel x, on a

$(f+g)(x)=ax+bx=(a+b)(x)∼$

C'est à dire, la somme de deux fonctions linéaires est une fonction linéaire.

Multiplication par un réel

Considérons la fonction f linéaire définie pour tout réel x par

$f(x)=ax\,$

et k, un réel quelconque, alors, pour tout réel x, on a

$(kf(x))=kðx)=kax\,$

C'est à dire, le produit d'une fonction linéaire par une constante est une fonction linéaire.

Produit

Considérons deux fonctions f et g linéaires définies, pour tout x réel, par :

$f(x)=ax\,;\,g(x)=bx$

On a alors :

$(f\times g)(x)=ax\times bx=abxˆ2$

C'est à dire, le produit de deux fonctions linéaires non nulles n'est pas une fonction linéaire mais une fonction du second degré.

Dérivée

Intégrale

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

Soit f une fonction linéaire, positive sur l'intervalle [a;b]. On peut calculer l'intégrale de f sur l'intervalle [a;b] en utilisant la formule de l'aire d'un trapèze (somme des bases multipliée par la hauteur et divisée par 2) :

$T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}$

Soit pour $f (x) = α x$

$T=\alpha (b-a)\frac{a+b}{2}$

Primitives

Parité

Article connexe : Fonctions paires et impaires.

Soit f une fonction linéaire définie par $f (x) = a x$

Pour tout x réel, on a :

$f(-x)=-ax∼$
$-f(x)=-ax∼$

Donc une fonction linéaire est toujours impaire. Il existe une seule fonction linéaire paire : c'est la fonction nulle qui est à la fois linéaire et constante.

Voir aussi

Fonction affine

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