Fonction linéaire

Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples qu'on rencontre. Ce sont des cas spécifiques d'applications linéaires.



Catégories :

Mathématiques élémentaires - Fonction de référence

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Fonctions Linéaires et Proportionnalité. Commençons par un exemple :... Dans un repère, cette représentation est la droite passant par :... Une fonction linéaire est déterminée dès qu'on connaît un nombre (non nul) et son image.... (source : ilemaths)
  • Classe de troisième, Fonctions linéaires, fonction affines.... La représentation graphique d'une fonction linéaire est par conséquent une droite passant l'origine du ... (source : site2wouf)
  • La représentation graphique de la fonction linéaire est une droite passant par... Pour plus de détails, voir : Intersection entre deux fonctions linéaires... (source : fr.math.wikia)
Icone math élém.jpg
Cet article est membre de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont les fonctions les plus simples qu'on rencontre. Ce sont des cas spécifiques d'applications linéaires.

Elles traduisent la proportionnalité.

A titre d'exemple, on dira que le prix d'un plein d'essence est fonction linéaire du nombre de litres mis dans le réservoir car :

et pour x litres on paie 1, 1 x euro.

Reconnaître une fonction linéaire

Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :

\begin{matrix}f: & \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ & x\mapsto y\\\end{matrix} avec y = a \times x

où le nombre a est un réel quelconque. Ce réel a se nomme le cœfficient de proportionnalité.

En repartant de l'égalité y=a\times x, on voit que, pour x différent de 0, on peut diviser les deux côtés par x. Il vient donc

a=\frac{y}{x}.

Il suffit par conséquent d'une valeur x non nulle et de son image y pour déterminer la valeur du cœfficient de proportionnalité.

Représentation dans le plan

La représentation graphique d'une fonction est la totalité des points de coordonnées (x, y) tels que y = f (x) .

Les fonctions linéaires définies de \R dans \R se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l'origine du repère. En effet, si M est un point de la représentation graphique tel que x = 0, il vient obligatoirement y = 0.

L'élément graphique important est le cœfficient directeur (ou pente) de la droite. Il correspond au cœfficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce cœfficient directeur : si M (x, y) est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme auparavant y = a\times x, puis par division par x (non nul)

a=\frac{y}{x}.

Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison de la droite comparé à l'axe des abscisses.

Droites lineaires.png

Par exemple :

.

En résumé :


Dans un quadrillage à l'unité, le cœfficient directeur correspond au nombre de carreaux parcourus sur l'axe des ordonnées quand on se déplace d'un seul carreau (vers la droite) sur celui des abscisses.

Coefficient directeur.png

Opérations

Somme

Considérons deux fonctions f et g linéaires définies, pour tout x réel, par :

f(x)=ax\,;\,g(x)=bx∼

Alors pour tout réel x, on a

(f+g)(x)=ax+bx=(a+b)(x)∼

C'est à dire, la somme de deux fonctions linéaires est une fonction linéaire.

Multiplication par un réel

Considérons la fonction f linéaire définie pour tout réel x par

f(x)=ax\,

et k, un réel quelconque, alors, pour tout réel x, on a

(kf(x))=kðx)=kax\,

C'est à dire, le produit d'une fonction linéaire par une constante est une fonction linéaire.

Produit

Considérons deux fonctions f et g linéaires définies, pour tout x réel, par :

f(x)=ax\,;\,g(x)=bx

On a alors :

(f\times g)(x)=ax\times bx=abxˆ2

C'est à dire, le produit de deux fonctions linéaires non nulles n'est pas une fonction linéaire mais une fonction du second degré.

Dérivée

Article connexe : Dérivée.

Soit f une fonction linéaire. La tangente à la droite représentative de la fonction f est en tout point de cette droite elle-même, si bien que pour tout x réel, on a :

f'(x)=a∼

La fonction dérivée de f est par conséquent la fonction constante définie sur \mathbb{R} par cette équation.

Intégrale

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

Soit f une fonction linéaire, positive sur l'intervalle [a;b]. On peut calculer l'intégrale de f sur l'intervalle [a;b] en utilisant la formule de l'aire d'un trapèze (somme des bases multipliée par la hauteur et divisée par 2)  :

T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}

Soit pour f (x) = αx

T=\alpha (b-a)\frac{a+b}{2}

Primitives

Article connexe : Primitive.

Soit f une fonction linéaire définie par :

f(x)=ax∼

Alors il existe une illimitété de primitives de cette fonction, elles sont toutes définies par des expressions de la forme :

g(x)=\frac{axˆ2}{2}+C

Où C est une constante réelle quelconque.

Parité

Article connexe : Fonctions paires et impaires.

Soit f une fonction linéaire définie par f (x) = ax

Pour tout x réel, on a :

f(-x)=-ax∼
-f(x)=-ax∼

Donc une fonction linéaire est toujours impaire. Il existe une seule fonction linéaire paire : c'est la fonction nulle qui est à la fois linéaire et constante.

Voir aussi

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_lin%C3%A9aire.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu