Fonction hyperbolique

En mathématiques, on nomme fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique.



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Exponentielle - Géométrie hyperbolique - Trigonométrie

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En mathématiques, on nomme fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms de sinus, cosinus et tangente proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (ou circulaires) et le terme de hyperbolique provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2y2 = 1.

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais également en géométrie hyperbolique.

Histoire

Les fonctions hyperboliques ont été découvertes par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 tandis qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x2y2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était particulièrement comparable à celle qu'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation x2 + y2 = 1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par ressemblance, il nomma alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire ainsi qu'à l'ensemble des formules trigonométriques. Cependant, néenmoins au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais uniquement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Johann Heinrich Lambert qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi simultanéité fait qu'on attribue quelquefois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques quoique les écrits de Riccati lui soient antérieurs de quelques années.

Définitions

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

Sinus hyperbolique
Cosinus hyperbolique
Tangente hyperbolique

Sinus hyperbolique

Article détaillé : Sinus hyperbolique.

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c'est-à-dire par :

\operatorname{sh}(x) = \frac{eˆ{x} - eˆ{-x}}{2}

sinh – ou sh – est une bijection de classe Cˆ\infty de \R dans \R strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque se nomme argument sinus hyperbolique et est notée argsh ou argsinh.

Cosinus hyperbolique

Article détaillé : Cosinus hyperbolique.


Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c'est-à-dire par :

\operatorname{ch}(x) = \frac{eˆ{x} + eˆ{-x}}{2}

cosh – ou ch – est une application de \R dans [1;+\infty[ strictement croissante sur \Rˆ+, et paire. cosh est de classe Cˆ{\infty} sur \R et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à \Rˆ+ est une bijection à valeurs dans [1;+\infty[ dont l'application réciproque, argument cosinus hyperbolique, est notée argch ou argcosh.

Tangente hyperbolique

Article détaillé : Tangente hyperbolique.

Définie par :

\operatorname{th}(x) = \frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)} = \frac{eˆ{x} - eˆ{-x}}{eˆ{x} + eˆ{-x}}

th – ou tanh – est une bijection de classe Cˆ\infty de \R dans ] − 1;1[ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est \tfrac{1}{\operatorname{ch}ˆ2} = 1-\operatorname{th}ˆ2. Son application réciproque se nomme argument tangente hyperbolique et est notée argth ou argtanh.

Cotangente hyperbolique

Définie par :

\coth(x) = \frac{\operatorname{ch}(x)}{\operatorname{sh}(x)} = \frac{eˆ{x} + eˆ{-x}}{eˆ{x} - eˆ{-x}}

coth est une bijection de classe Cˆ\infty de \Rˆ* dans ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[. Sa dérivée est \tfrac{-1}{\operatorname{sh}ˆ2}=1-\cothˆ2. Son application réciproque, argument cotangente hyperbolique, est notée argcoth.

Sécante hyperbolique

Définie par :

\forall x \in \R,\quad\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\operatorname{ch}(x)}

Cosécante hyperbolique

Définie par :

\forall x \in \Rˆ*,\quad\operatorname{cosech}(x) = \frac{1}{\operatorname{sh}(x)}

Tableau de variations

Les fonctions sont paires, ou impaires il suffit de les étudier sur [0, + \infty [

x 0 +  \infty
ch x 1   \rightarrow  +  \infty
sh x 0   \rightarrow  +  \infty
th x 0   \rightarrow  +1
coth x +  \infty   \rightarrow  +1

Propriétés

Par construction,

\qquad  eˆ{+x} = \operatorname{ch}(x) + \operatorname{sh}(x)
\qquad  eˆ{-x} = \operatorname{ch}(x) - \operatorname{sh}(x)

Ainsi, la formule suivante est vraie pour tout réel x :

\operatorname{ch}ˆ2x - \operatorname{sh}ˆ2x \,=\, 1

De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle quand x parcourt \R, les points (ch x, sh x) décrivent une branche d'hyperbole ;

Le paramètre x ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc ; les fonctions hyperboliques ne sont pas des fonctions périodiques.

La fonction ch admet 1 pour minimum, pour x = 0.

La fonction sh est impaire et ainsi sh (0) = 0.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, particulièrement ressemblantes aux identités trigonométriques. En réalité, la règle d'Oslimite dit qu'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant totalement avec puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sh et cos en ch, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les «formules d'addition» :

\operatorname{sh}(x + y) \,=\, \operatorname{sh}(x)\, \operatorname{ch}(y) + \operatorname{ch}(x)\, \operatorname{sh}(y)
\operatorname{ch}(x + y) \,=\, \operatorname{ch}(x)\, \operatorname{ch}(y) + \operatorname{sh}(x)\, \operatorname{sh}(y)

et des «formules d'angle moitié» (la seconde étant valide si x est positif ou nul)  :

\operatorname{ch}\left(\frac{x}{2}\right) \,=\, \sqrt{\frac{\operatorname{ch}(x) + 1}{2}}
\operatorname{sh}\left(\frac{x}{2}\right) \,=\, \sqrt{\frac{\operatorname{ch}(x)-1}{2}}

De ces expressions on déduit les formules suivantes relatives à la tangente hyperbolique :

1 - \operatorname{th}ˆ2(x)\,=\, \frac{1}{\operatorname{ch}ˆ2(x)}
\operatorname{th}(x+y)\,=\,\frac{\operatorname{th}(x)+\operatorname{th}(y)}{1+\operatorname{th}(x)\,\operatorname{th}(y)}
\operatorname{th}\left(\frac{x}{2}\right) \,=\, \sqrt{\frac{\operatorname{ch}(x) - 1}{\operatorname{ch}(x)+1}}

On a de même :

\operatorname{sh}(2 x) \,=\, 2\, \operatorname{ch}(x)\,\operatorname{sh}(x)
\operatorname{ch}(2 x) \,=\, \operatorname{ch}ˆ2(x) + \operatorname{sh}ˆ2(x) \,=\, 1 + 2\,\operatorname{sh}ˆ2(x) \,=\, 2\, \operatorname{ch}ˆ2(x) - 1
\operatorname{th}(2 x) \,=\, \frac{2\, \operatorname{th}(x)}{\operatorname{th}ˆ2(x) + 1}


La fonction cosinus hyperbolique est convexe. Elle intervient dans la définition de la chaînette, laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids.

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à la totalité des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à la totalité des nombres complexes. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.

Des formules d'Euler, on obtient immédiatement :

\cos(x) = \operatorname{ch}(\mathrm i x)
\sin(x) = -\mathrm i\,\operatorname{sh}(\mathrm i x)

Ou encore :

\operatorname{ch}(x) = \cos(\mathrm i x)
\operatorname{sh}(x) = -\mathrm i\,\sin(\mathrm i x)

Applications réciproques

Argument sinus hyperbolique

Argument sinus hyperbolique

argsh – ou argsinh – est l'application réciproque de sh. C'est une bijection de \R dans \R, impaire et strictement croissante. argsh est dérivable sur \R et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{\sqrt{xˆ2+1}}. argsh admet une forme logarithmique, c'est-à-dire qu'il peut se mettre sous la forme d'un logarithme :

\arg\operatorname{sh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{xˆ2 +1 }\right)

Argument cosinus hyperbolique

Argument cosinus hyperbolique

argch est l'application réciproque de la restriction de ch dans \Rˆ+. C'est une bijection de [1,+\infty[ dans \Rˆ+, strictement croissante. argch est dérivable sur ]1,+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \frac{1}{\sqrt{xˆ2-1}}. argch admet une forme logarithmique :

\arg \operatorname{ch}(x) = \ln\left(x + \sqrt{xˆ2 -1}\right)

Argument tangente hyperbolique

Argument tangente hyperbolique

argth – ou argtanh – est l'application réciproque de th. C'est une bijection de ] − 1;1[ dans \R, impaire, strictement croissante. argth est dérivable sur ] − 1;1[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{1-xˆ2}. argth admet une forme logarithmique :

\arg \operatorname{th}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)

Argument cotangente hyperbolique

argcoth est l'application réciproque de coth. C'est une bijection de ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[ dans \Rˆ*. argcoth est dérivable sur ]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[ et sa dérivée est x \mapsto \tfrac{1}{1-xˆ2}. argcoth admet une forme logarithmique :

\arg\coth(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

Voir aussi

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