Fonction holomorphe

En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs dans, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe.



Catégories :

Analyse complexe

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • À cause de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «Fonctions d'une variable complexe : Fonctions holomorphes... (source : fr.wikiversity)
  • Fonctions d'une variable complexe. 2. Fonctions holomorphes. 2-1 : Rappels. 2-2 : Fonctions analytiques. 2-3 : Chemins. 2-4 : Indice d'un chemin... (source : promenadesmaths.free)
  • et fonctions différentiables. On débute par étudier les séries complexes enti` eres (convergentes sur un disque D de . C), puis les fonctions holomorphes... (source : math.sciences.univ-nantes)

En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs dans \mathbb C, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe \mathbb C.

Cette condition est bien plus forte que la dérivabilité réelle. Elle implique (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est indéfiniment dérivable et est égale au voisinage de tout point de l'ouvert à la somme de sa série de Taylor. Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes forment le pilier central de l'analyse complexe.

Définition

Soient U un sous-ensemble ouvert (non vide) de la totalité \mathbb C des nombres complexes et une fonction f:U\to \mathbb C.

f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }.

La limite est prise ici sur l'ensemble des suites de nombres complexes tendant vers z0, et pour toutes ces suites le quotient doit tendre vers un même nombre f ' (z0). Intuitivement, si f est dérivable au sens complexe en z0, et si on approche le point z0 dans la direction d'un vecteur u, alors (pourvu que f ' (z0) ≠ 0) les images approchent le point f (z0) dans la direction du vecteur f ' (z0) u (produit des nombres complexes f ' (z0) et u).

Les règles de calcul des dérivées au sens complexe sont semblables à celles des dérivées des fonctions d'une variable réelle : linéarité, dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée.

Exemples

La fonction f : D \to \mathbb C définie par f(z) = \sum_{n=0}ˆ{+\infty} a_n zˆn est holomorphe, et pour tout z \in D, f'(z) = \sum_{n=1}ˆ{+\infty} n a_n zˆ{n-1}.
En réalité, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D.
\forall\, z \in U,\, zˆa = \exp(a\, L(z)).
En particulier, si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, la fonction
U \to \mathbb{C},\, z \mapsto zˆ{\frac{1}{n}} = \exp\left(\frac{1}{n}\, L(z)\right)
est holomorphe sur U et vérifie l'identité \forall\, z \in U,\, \left(zˆ{\frac{1}{n}}\right)ˆn = z.
On dit que cette fonction est une détermination sur U de la racine n-ième.
On peut noter \ \sqrt[n]{z} au lieu de \ zˆ{\frac{1}{n}} (si des réels strictement positifs appartiennent à U, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation, et sa signification habituelle, permettant de désigner la racine n-ième positive).

Propriétés

Parce que la dérivation complexe est linéaire et qu'elle obéit aux règles classiques de dérivation, les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe sur tout ouvert où le dénominateur ne s'annule pas.

Si on identifie \mathbb C à \mathbb Rˆ2, alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de \mathbb C coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont \R-différentiables sur cet ouvert et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un dispositif de deux équations aux dérivées partielles.

Près d'un point z0 où sa dérivée est non nulle, une fonction holomorphe f est une transformation conforme, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, généralement). En effet, sa différentielle au point z0 est l'application \mathbb{C}-linéaire df_{z_0}: \mathbb{C} \to \mathbb{C},\,u \mapsto A\, u, où A = f'(z_0) \neq 0 : la différentielle s'identifie par conséquent à une similitude directe du plan.

On établit (au moyen de la formule intégrale de Cauchy) que toute fonction holomorphe sur un ouvert U est indéfiniment dérivable en tout point comparé à la variable complexe. Une telle fonction coïncide au voisinage de tout point z0 de U avec sa série de Taylor en ce point (elle est analytique), et la série converge sur tout disque ouvert de centre z0 et inclus dans U. La série de Taylor peut converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor du logarithme converge sur tout disque ne contenant pas 0, même dans un voisinage des nombres réels strictement négatifs.

De la formule intégrale de Cauchy, on déduit surtout que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est totalement déterminée au sein de ce disque par ses valeurs sur la frontière de ce dernier.

Voir aussi

Liens externes

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu