Fonction génératrice des moments

Dans le domaine des probabilités et statistiques, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire est définie par



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Dans le domaine des probabilités et statistiques, la fonction génératrice des moments d'une variable aléatoire \ X est définie par

M_X(t) = E\left(eˆ{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

quand son espérance existe. Cette fonction, comme son nom l'indique, est utilisée pour générer les moments associés à la distribution de probabilités de la variable aléatoire \ X.

Définition et calcul

Si à \ X est associée une densité de probabilité continue f (x) , alors la fonction génératrice des moments est donnée par

M_X(t) = \int_{-\infty}ˆ\infty eˆ{tx} f(x)\,\mathrm{d}x

En introduisant dans cette équation le développement limité de l'exponentielle, cette expression est équivalente à :

M_X(t)  = \int_{\mathbb{R}} \left( 1+ tx + \frac{tˆ2xˆ2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + tm_1 + \frac{tˆ2m_2}{2!} +\cdots,

mi est le ieme moment de \ X. Si la densité de probabilité n'est pas continue, la fonction génératrice des moments peut être obtenue par l'intégrale de Stieltjes :

M_X(t) = \int_{\mathbb{R}} eˆ{tx}\,dF(x)

F est la fonction de répartition de \ X.

Les expressions précédentes s'appliquent à des variables aléatoires. Dans le cas d'un vecteur aléatoire à composantes réelles, la fonction génératrice des moments est alors définie comme suit :

M_X(t) = E(eˆ{\langle t, X\rangle})

t est un vecteur et \langle t,X \rangle est le produit scalaire.

Propriétés

M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt)
E(Xˆn) = M_{X}ˆ{(n)}(0) = \leftrac{\mathrm{d}ˆn M_X(t)}{\mathrm{d}tˆn}\right|_{t=0}

Cette relation sert à calculer particulièrement facilement les moments d'une loi dont on connaît la fonction génératrice. A titre d'exemple, E (X) = MX' (0) et Var (X) = E (X2) − E (X) 2 = MX'' (0) − [MX' (0) ]2.

Exemple

On veut calculer l'espérance de la loi exponentielle. Sa fonction génératrice des moments est données par : M_{X}(t)=\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)ˆ{-1}\,=\frac{1}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)}.

En s'appuyant sur la propriété des dérivées que \left({1\over f}\right)' = {-f'\over fˆ2} on obtient :

M_{X}'(t) \equiv \frac{\mathrm{d} M_X(t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} \left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)ˆ{-1}}{\mathrm{d}t}= \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)ˆ{2}}

En évaluant cette dérivée en t=0 on obtient le premier moment :

E[X]=M_{X}'(t=0) = \frac{\frac{1}{\lambda}}{\left(1 - \frac{0}{\lambda}\right)ˆ{2}}=\frac{1}{\lambda}

Relation univoque entre fonction génératrice des moments et fonction de densité

Passer de la densité à la fonction génératrice est chose aisée : il suffit d'appliquer la définition. La relation inverse semble plus ardue.

La manière la plus facile de traiter cette question est de passer par la Transformation de Fourier. Il suffit pour cela de considérer la fonction des moments en t = iτ, où i est le nombre complexe bien connu (i2 = − 1). On obtient ce qu'on nomme la fonction caractéristique de la variable X :

\phi_X(\tau) = M_x(i\tau) = \int eˆ{i\tau x} f(x) \, \mathrm{d}x

Comme transformée de Fourier, l'expression précédente peut être inversée :

f(x)=\frac{1}{2\pi} \int eˆ{-i \tau x} \phi_X(\tau) \, \mathrm{d}\tau

La fonction génératrice des moments caractérise par conséquent idéalement la densité.

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