Fonction du second degré

En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur par : où a, b et c sont des réels nommés les cœfficients.



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Mathématiques élémentaires

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • Étudier les graphes et propriétés fonctions du second degré.... sont les racines réelles, si elles existent, de l'équation du second degré... (source : analyzemath)
  • Conclusion : (dans la totalité des nombres réels) un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine, soit une racine, soit 2 racines... (source : homeomath.imingo)
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En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur \R par :  f(x) = axˆ2 + bx + c\,a, b et c sont des réels (a non nul) nommés les cœfficients.

ax2 est le terme du second degré, bx est le terme du premier degré et c est le terme constant.

Après les fonctions affines, les fonctions du second degré ou trinômes du second degré forment le deuxième champ d'étude des fonctions polynômes.

Ces fonctions du second degré trouvent leurs applications dans des domaines extrêmement variés comme l'étude théorique d'une chute libre en physique.

Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui sert à mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

 f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)ˆ2 - \frac{bˆ2-4ac}{4a}

On peut remarquer que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-bˆ2+4ac}{4a}

Exemple : si  f(x) = 2x ˆ2 + 4x - 5\,, on remarque que \frac{-b}{2a} = -1 et que f(-1) = -7\, par conséquent f(x) = 2(x + 1)ˆ2 - 7\,

Discriminant : On nomme discriminant le nombre Δ = b2 − 4ac. On obtient alors :

 f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)ˆ2 - \frac{\Delta}{4aˆ2}\right]

De cette forme canonique se déduisent l'ensemble des résultats concernant la fonction du second degré.

Racines

Article détaillé : Équation du second degré.

On dit que r est une racine de f si f (r) = 0.

On démontre que

Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que f(x) = axˆ2 + bx + c\,.
Si a+b+c=0\, alors f\, admet deux racines évidentes 1\, et c/a\,. De même,
Si a-b+c=0\, alors f\, admet deux racines évidentes -1\, et -c/a\,.

Opérations sur les racines

Si le polynôme du second degré possède deux racines r1 et r2 (peut-être confondues), il est envisageable de connaître la sommer1 + r2 et le produit r1r2 de ces racines sans avoir besoin de les calculer au préalable.

r_1+r_2=- \frac{b}{a}

et

r_1r_2=\frac{c}{a}

Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

Étude de signe

Article détaillé : Inéquation du second degré.

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) sert à construire le tableau de signe de f(x)\,. En réalité, il existe 6 cas de figure selon que a\, est positif ou négatif et selon que f\, possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coïncide avec celui de a\,. sauf entre les racines»

Représentation graphique

La forme canonique de la fonction f\, sert à remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation y = axˆ2\, par une translation de vecteur \vec u\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right).

La courbe représentative est par conséquent toujours une parabole. Son sommet est le point S\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right) et son axe de symétrie est la droite d'équation  x = \frac{-b}{2a}\,.

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de a\, et celui de Δ. On rappelle que f\left(\frac{-b}{2a}\right) = - \frac{\Delta}{4a}\,

a > 0 a < 0
Δ < 0 Parabole a pos delta nég.png

\begin{array}{|c|ccc|}
\hline x & -\infty & & +\infty \\
\hline f(x) & & + & \\
\hline
\end{array}
Parabole a nég delta nég.png

\begin{array}{|c|ccc|}
\hline x & -\infty & & +\infty \\
\hline f(x) & & - & \\
\hline
\end{array}
Δ = 0 Parabole a pos delta zéro.png

\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\
\hline f(x) & & + & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
Parabole a nég delta zéro.png

\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\
\hline f(x) & & - & 0 & - & \\
\hline
\end{array}
Δ > 0 Parabole a pos delta pos.png

\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\
\hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array}
Parabole a nég delta pos.png

\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\
\hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array}

Sens de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de f\, :

Ce résultat est confirmé par le calcul de la dérivée de f\, qui est f'(x) = 2ax + b\,.

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
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