Fonction du second degré

En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur par : où a, b et c sont des réels nommés les cœfficients.

Forme canonique

Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui sert à mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)ˆ2 - \frac{bˆ2-4ac}{4a}$

On peut remarquer que $f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-bˆ2+4ac}{4a}$

Exemple : si $f(x) = 2x ˆ2 + 4x - 5\,$ , on remarque que $\frac{-b}{2a} = -1$ et que $f(-1) = -7\,$ par conséquent $f(x) = 2(x + 1)ˆ2 - 7\,$

Discriminant : On nomme discriminant le nombre $Δ = b 2 - 4 a c$ . On obtient alors :

$f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)ˆ2 - \frac{\Delta}{4aˆ2}\right]$

De cette forme canonique se déduisent l'ensemble des résultats concernant la fonction du second degré.

Racines

Article détaillé : Équation du second degré.

On dit que $r$ est une racine de $f$ si $f (r) = 0$ .

On démontre que

si $Δ > 0$ alors $f$ possède deux racines qui sont $r_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
si $Δ = 0$ alors $f$ possède une racine double qui est $r_0 = \frac{-b}{2a}$
si $Δ < 0$ alors $f$ ne possède pas de racine dans l'ensemble $\R$ mais il en possède dans l'ensemble $\mathbb{C}$ .

Cas de la racine évidente

Soit un trinôme du second degré, tel que $f(x) = axˆ2 + bx + c\,$ .
Si $a+b+c=0\,$ alors $f\,$ admet deux racines évidentes $1\,$ et $c/a\,$ . De même,
Si $a-b+c=0\,$ alors $f\,$ admet deux racines évidentes $-1\,$ et $-c/a\,$ .

Opérations sur les racines

Si le polynôme du second degré possède deux racines $r 1$ et $r 2$ (peut-être confondues), il est envisageable de connaître la somme $r 1 + r 2$ et le produit $r 1 r 2$ de ces racines sans avoir besoin de les calculer au préalable.

$r_1+r_2=- \frac{b}{a}$

$r_1r_2=\frac{c}{a}$

Factorisation

Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.

si $<img class=$
si $\Delta = 0\,$ alors $f(x) = a(x - r_0)ˆ2\,$

Étude de signe

Article détaillé : Inéquation du second degré.

La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) sert à construire le tableau de signe de $f(x)\,$ . En réalité, il existe 6 cas de figure selon que $a\,$ est positif ou négatif et selon que $f\,$ possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coïncide avec celui de $a\,$ . sauf entre les racines»

Représentation graphique

La forme canonique de la fonction $f\,$ sert à remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation $y = axˆ2\,$ par une translation de vecteur $\vec u\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$ .

La courbe représentative est par conséquent toujours une parabole. Son sommet est le point $S\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)$ et son axe de symétrie est la droite d'équation $x = \frac{-b}{2a}\,$ .

Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de $a\,$ et celui de $Δ$ . On rappelle que $f\left(\frac{-b}{2a}\right) = - \frac{\Delta}{4a}\,$

	$a > 0$	$a < 0$
$Δ < 0$	$\begin{array}{\|c\|ccc\|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|ccc\|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & \\ \hline \end{array}$
$Δ = 0$	$\begin{array}{\|c\|ccccc\|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|ccccc\|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & - & \\ \hline \end{array}$
$Δ > 0$	$\begin{array}{\|c\|ccccccc\|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|ccccccc\|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$

Sens de variation

Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de $f\,$ :

Si $<img class=$ ;
Si $a < 0\,$ , la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en $- b/2a\,$

Ce résultat est confirmé par le calcul de la dérivée de $f\,$ qui est $f'(x) = 2ax + b\,$ .

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	$a > 0$	$a < 0$
$Δ < 0$	$\begin{array}{\|c\|ccc\|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|ccc\|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & \\ \hline \end{array}$
$Δ = 0$	$\begin{array}{\|c\|ccccc\|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|ccccc\|} \hline x & -\infty & & r_0 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & - & \\ \hline \end{array}$
$Δ > 0$	$\begin{array}{\|c\|ccccccc\|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|ccccccc\|} \hline x & -\infty & & r_1 & & r_2 & & +\infty \\ \hline f(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$