Fonction du second degré
En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur par : où a, b et c sont des réels nommés les cœfficients.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- Étudier les graphes et propriétés fonctions du second degré.... sont les racines réelles, si elles existent, de l'équation du second degré... (source : analyzemath)
- Conclusion : (dans la totalité des nombres réels) un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine, soit une racine, soit 2 racines... (source : homeomath.imingo)
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En mathématiques élémentaires, une fonction du second degré est une fonction définie sur par :
où a, b et c sont des réels (a non nul) nommés les cœfficients.
ax2 est le terme du second degré, bx est le terme du premier degré et c est le terme constant.
Après les fonctions affines, les fonctions du second degré ou trinômes du second degré forment le deuxième champ d'étude des fonctions polynômes.
Ces fonctions du second degré trouvent leurs applications dans des domaines extrêmement variés comme l'étude théorique d'une chute libre en physique.
Forme canonique
Une fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique qui sert à mettre en évidence sa relation avec la fonction carré :

On peut remarquer que
Exemple : si , on remarque que
et que
par conséquent
Discriminant : On nomme discriminant le nombre Δ = b2 − 4ac. On obtient alors :
![f(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)ˆ2 - \frac{\Delta}{4aˆ2}\right]](illustrations/44b98fc89ae75ffda1520996fcc107d9.png)
De cette forme canonique se déduisent l'ensemble des résultats concernant la fonction du second degré.
Racines
On dit que r est une racine de f si f (r) = 0.
On démontre que
- si Δ > 0 alors f possède deux racines qui sont
et
- si Δ = 0 alors f possède une racine double qui est
- si Δ < 0 alors f ne possède pas de racine dans l'ensemble
mais il en possède dans l'ensemble
.
Cas de la racine évidente
Soit un trinôme du second degré, tel que .
Si alors
admet deux racines évidentes
et
. De même,
Si alors
admet deux racines évidentes
et
.
Opérations sur les racines
Si le polynôme du second degré possède deux racines r1 et r2 (peut-être confondues), il est envisageable de connaître la sommer1 + r2 et le produit r1r2 de ces racines sans avoir besoin de les calculer au préalable.
et
Factorisation
Dans le cas où le discriminant n'est pas négatif, on peut écrire la fonction du second degré sous forme d'un produit de fonctions du premier degré.
- si
- si
alors
Étude de signe
La factorisation précédente (ou l'absence de factorisation) sert à construire le tableau de signe de . En réalité, il existe 6 cas de figure selon que
est positif ou négatif et selon que
possède 2, 1 ou 0 racines. Ces six cas de figure se résument en une méthode : «Le signe de trinôme coïncide avec celui de
. sauf entre les racines»
Représentation graphique
La forme canonique de la fonction sert à remarquer que sa courbe représentative est l'image de la courbe d'équation
par une translation de vecteur
.
La courbe représentative est par conséquent toujours une parabole. Son sommet est le point et son axe de symétrie est la droite d'équation
.
Les six paraboles ci-dessous illustrent les six cas de figures de l'étude de signe, selon le signe de et celui de Δ. On rappelle que
a > 0 | a < 0 | |
Δ < 0 | ![]() ![]() |
![]() ![]() |
Δ = 0 | ![]() ![]() |
![]() ![]() |
Δ > 0 | ![]() ![]() |
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Sens de variation
Enfin, on peut déduire de cette courbe le sens de variation de :
- Si
;
- Si
, la fonction est croissante puis décroissante et atteint son maximum en
Ce résultat est confirmé par le calcul de la dérivée de qui est
.
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