Fonction carré

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.



Catégories :

Mathématiques élémentaires - Fonction de référence

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • a < 0 : Aucune solution dans la totalité (En théorie des ensembles, un ensemble, ... La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine (En... (source : techno-science)
  • admet deux solutions qui sont . 3 et 3. La fonction carré sert à définir... ordonnées comme axe de symétrie ; on dit que la fonction carré est paire.... (source : pierrepuget.free)
  • Soit la fonction f\, définie sur \R par f :x\mapsto xˆ2... notée d'une façon plus générale y), dont la fonction carré est solution.... (source : fr.wikiversity)
Icone math élém.jpg
Cet article est membre de la série
Mathématiques élémentaires
Algèbre
Logique
Arithmétique
Probabilités
Statistiques

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté , soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés

Signe
La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a nécessairement deux fois le même signe à droite; par conséquent y est supérieur ou égal 0. Et s'annule seulement en 0.
Parité
Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que f (x) = f (− x) . En effet avec la remarque précédente (-x)\times(-x)=x\times x.

Résolution d'équation de type x² = a

Article détaillé : équation du second degré.

Lorsque x2 = a, il y a trois cas envisageables :

A titre d'exemple, si x2 = 9 alors x = 3 ou x = − 3, car 32 = (− 3) 2 = 9.

Cas de a < 0 et solutions complexes (voir l'article détaillé sur le Nombre Complexe)
Si a < 0, il n'existe aucune solution réelle, c'est-à-dire appartenant à R. Cependant, il existe une ou des solution (s) irréelle (s), c'est-à-dire complexe (s). Supposons que a = − 9. On a alors :
a = -1 \times 9
Sachant que x2 = a, on déduit ce qui suit :
x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1}
Puisque \sqrt{-1} est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui sert à désigner par conséquent la racine carrée de -1. Ainsi on a :
x = 3i
De façon plus générale, pour x2 = a et avec a < 0, on a x = \sqrt{|a|} \times i.

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est 2x, c'est une fonction affine impaire, et par conséquent une fonction linéaire. Elle est par conséquent positive sur \mathbb{R}ˆ+, si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. A l'inverse, elle est négative sur \mathbb{R}ˆ- par conséquent la fonction carré est décroissante sur cet intervalle. Comme elle est nulle en zéro, la fonction carré est constante en zéro.

Intégrale

Article détaillé : Méthode de Simpson.
Article connexe : Calcul numérique d'une intégrale.

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte quand on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

\int_{a}ˆ{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

Donc pour la fonction carré définie par f (x) = x2, on a :

\int_{a}ˆ{b} f(x) dx = \frac{b-a}{3}(aˆ2+ab+bˆ2)

Primitive

Article connexe : Primitive#Primitives_courantes.

La fonction carré possède comme primitives l'ensemble des fonctions g définies par, pour C une constante :

g(x)=\frac{xˆ3}{3}+C

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0, 0). On remarque quoique l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire, sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La fonction carré a pour limite plus l'infini en plus l'infini et en moins l'infini.

Recherche sur Amazon (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_carr%C3%A9.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 10/03/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu