Fonction caractéristique d'une variable aléatoire
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par
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Probabilités
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- Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Fonction de répartition d'une variable... Fonction génératrice des moments ; fonction caractéristique... (source : www-irma.u-strasbg)
La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par
![\begin{align}
\varphi_{X}(t)&=\mathbb{E}\left[eˆ{itX}\right]
\\
&=\mathbb{E}\left[\cos (tX)\right]+i\ \mathbb{E}\left[\sin (tX)\right].
\end{align}](illustrations/4c7a574e5f40380e47b74f19afcc2b5f.png)
Si cette variable aléatoire a une densité alors la fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse (à un facteur près suivant la convention) de la densité. Il arrive qu'on prenne
D'une façon plus générale, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans est la fonction à valeurs complexes définie sur par
![\phi_X(u) = \mathbb{E}\left[eˆ{i \langle u , X \rangle}\right]\,](illustrations/6fabbecb1941ff25deb4f6d0f57a6ec6.png)
où est le produit scalaire de u avec X.
Quand la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par
![G(z)=\mathbb{E}\left[zˆX\right]](illustrations/5da28c65b8b923d8c703d18a89c0b0f7.png)
avec z complexe (lorsque cela a un sens). Avec les notations précédentes on a donc
cette fonction G est par conséquent en fait un prolongement de
Propriétés de la fonction caractéristique
- Elle détermine de façon unique la loi d'une variable aléatoire au sens où
(égalité de fonctions) équivaut à "
et 
ont la même loi. "
- Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes,
. D'une façon plus générale, si 
sont des variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble, alors 
.
- En appliquant alors la transformée de Fourier à φX + Y cela sert à retrouver la loi de X+Y.
- Il y a également une relation entre les moments et la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Quand les moments existent et que la série converge :
où μk est le moment d'ordre k.
- Cette relation sert quelquefois pour calculer la moyenne (premier moment) et la variance d'une variable aléatoire. Plus explicitement
![1=\phi_X(0),\qquad\mathbb{E}[X]=-i\,\phiˆ{\prime}_X(0),\qquad\mathbb{E}\left[Xˆ2\right]=-\,\phiˆ{\prime\prime}_X(0)](illustrations/f428abf04d6887193aaac72520c24f3b.png)
.
- La relation suivante sert, par exemple, à calculer la fonction caractéristique d'une variable centrée réduite, à partir de la fonction caractéristique de la variable de départ :
.
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