Fonction

En mathématiques élémentaires, plus de 90 % des fonctions rencontrées sont des fonctions numériques, mais la notion de fonction ne se limite pas à celle-ci.

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Mathématiques élémentaires

En mathématiques élémentaires, plus de 90 % des fonctions rencontrées sont des fonctions numériques, mais la notion de fonction ne se limite pas à celle-ci.

L'article qui suit présente quelques règles à connaître sur les fonctions
L'article fonction numérique traite des fonctions numériques en mathématiques élémentaires
L'article fonction (mathématiques) les présente dans leur généralité.

Les fonctions

Les fonctions sont des outils. Pour être une fonction il faut respecter des règles scrupuleuses. Elles ont de nombreuses propriétés. Nous présentons ici les bases.

Les règles

Avoir un ensemble de départ contenant la totalité de définition de la fonction et un ensemble d'arrivée.

À chaque élément de cet ensemble de définition faire correspondre un de ceux de la totalité d'arrivée.

En mathématiques élémentaires, la première de ces règles (pourtant essentielle) est fréquemment oubliée par les élèves car les exemples qui sont proposés se limitent à quelques ensembles de départ et d'arrivée naturels dans le contexte de travail (ensemble des réels pour les fonctions numériques, ensemble des points du plan pour les fonctions ponctuelles)

Cependant elle reste importante.

Image, antécédent

Si à un élément $a$ , on fait correspondre un élément $b$ ,

l'élément $b$ est nommé l'image de $a$
l'élément $a$ est nommé un antécédent de $b$

Exemple : $f(x)=\sqrt{x}-1$ Avec $x = 0, 1, 4, 9$ , on a $f(0)=-1 , \;f(1)=0 , \;f(4)=1 , \;f(9)=2$

on dira

1

est l'image de

4

par

f

9

est un antécédent de

2

par

f

Remarque : par une fonction, une même image peut avoir plusieurs antécédents. Par contre, chaque antécédent n'a qu'une seule image

Exemples

Une fonction est par conséquent un outil ayant un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée, faisant correspondre aux éléments du premier des éléments du second.

Exemple 1

Une fonction sert à transformer un nombre réel en un autre par exemple, en lui appliquant une suite d'opérations qui doit rester semblable pour chaque nombre.

Dans ce cas la totalité de départ est $\mathbb{R}$ , la totalité de définition est la totalité des réels pour lesquels on peut appliquer la suite d'opérations, et la totalité d'arrivée est $\mathbb{R}$ .

Si la suite d'opérations consiste à élever au carré, ôter 4 et prendre l'inverse, on crée une fonction

Ensemble de départ : $\mathbb{R}\setminus\{-2; 2\}$
Domaine de définition : l'ensemble des réels différents de $- 2$ et $2$
Ensemble d'arrivée : $\mathbb{R}$
Correspondance : à $x$ , on associe $\dfrac{1}{xˆ2-4}$

l'image de $3$ est $\dfrac{1}{5}$ , les antécédents de $\dfrac{1}{5}$ sont $3$ et $- 3$

Exemple 2

Une fonction permet aussi d'associer des points à d'autres points à partir de considérations géométriques.

Dans ce cas la totalité de départ est la totalité des points du plan (ou de l'espace), la totalité d'arrivée est la totalité des points du plan (ou de l'espace)

Par exemple si A et B sont deux points différents, on peut associer, à tout point M non localisé sur (AB) le point N tel que AMBN soit un parallélogramme

Ensemble de départ $\mathcal P$
Ensemble de définition $\mathcal P - (AB)$
Ensemble d'arrivée $\mathcal P$
Correspondance : à M, on associe N tel que AMBN soit un parallélogramme.

Nom

Les fonctions fréquemment utilisées finissent par porter des noms spécifiques (sin, cos... ), les autres se nomment f, g, etc. L'image d'un élément a pour la fonction f est alors notée f (a) .

Notation

Pour résumer toutes ces informations, on utilise l'écriture suivante

$\begin{matrix}f: & D & \rightarrow A\\ & x & \mapsto y\\\end{matrix}$ avec y = f (x) où D représente la totalité de départ et A la totalité d'arrivée.

La recherche du domaine de définition, si ce dernier est plus petit que la totalité de départ, reste faire.

Quelquefois, on se contente de l'écriture abusive y = f (x) en oubliant tout le reste. Ce qui peut conduire quelquefois à des confusions dangereuses si on simplifie trop vite, comme le signalait Gottlob Frege dans Qu'est-ce qu'une fonction ?.

exemple subtil : la fonction $f:x\mapsto y=xˆ2/x$ et la fonction $g:x\mapsto y=x$ ne sont pas les mêmes; puisque f est «interdite pour x=0».

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