Factorisation

En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique, un nombre, une matrice sous la forme d'un produit.



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En mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (surtout une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous.

Les enjeux de la factorisation sont particulièrement divers : à un niveau élémentaire, l'objectif peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.

Définition et techniques de base

La factorisation d'une expression s'entend dans un domaine pourvu de deux lois opératoires ; typiquement, les nombres réels pourvus de l'addition et de la multiplication ; d'une façon plus générale, l'article se place dans le cadre d'un anneau commutatif. Une forme factorisée d'une expression est une forme où les dernières opérations (correspondant à la racine dans une ecriture sous forme d'arbre) en jeu sont toutes des multiplications.

Reconnaissance d'un facteur commun

Quand un élément apparaît en facteur dans au moins deux termes d'une somme, tous ces termes peuvent être remplacés globalement par un seul produit de l'élément commun avec la somme de ses différents facteurs. Ce procédé s'appuie sur la distributivité de la multiplication comparé à l'addition.

Facteur commun — Si a, b et c sont trois éléments d'un anneau, alors

ab + ac = a (b + c)

A titre d'exemple, avec des nombres entiers :

4 \times 7 + 4 \times 12 = 4(7 + 12)
5 \times 11 + 3 \times 11 = (5 + 3) \times 11
3a + 21 = 3 (a + 7)

Identités remarquables

Article détaillé : Identité remarquable.

Diverses identités remarquables permettent de factoriser des expressions algébriques :

a2b2 = (a + b) (ab)
a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
a2 − 2ab + b2 = (ab) 2 = (ba) 2
1 − xn = (1 − x) (1 + x + x2... + xn − 1)

En arithmétique

Des entiers

Le théorème essentiel de l'arithmétique indique que tout entier naturel supérieur ou égal à deux peut être factorisé en produit de nombres premiers. Cette décomposition en produit de facteurs premiers pour les entiers est la «meilleure» factorisation envisageable, qui permet d'effectuer de nombreux calculs : simplifications de fractions, détermination de PGCD, PPCM, racines, etc.

Article connexe : Anneau factoriel.

Des polynômes

La connaissance des racines d'un polynôme permet la factorisation de ce polynôme :

Théorème (Racine et factorisation d'un polynôme) Soit P un polynôme de degré n. a est une racine de P (c'est-à-dire que P (a) =0) si et uniquement si il existe un polynôme Q de degré n-1 tel que P (x) = (x-a) Q (x) .

Pour déterminer la limite à l'illimité d'une fonction polynôme réelle de la variable réelle, on peut factoriser par le monôme de plus haut degré. Cela démontre que la limite de la fonction polynôme en plus l'infini (ou moins l'infini) est celle de son monôme de plus haut degré.

En théorie des ensembles

Il est envisageable d'effectuer une opération analogue à la factorisation pour d'autres opérations que la multiplication, telles les opérations ensemblistes d'intersection et d'union qui sont distributives l'une comparé à l'autre, ou encore l'addition comparé au maximum dans le semi-anneau (R, max, +).

Annexes

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