Facteur

En mathématiques, un facteur fait partie des termes d'un produit.

Par exemple le produit 2×3 comporte deux facteurs 2 et 3, ou encore 3×7×12 admet 7 comme facteur.

Mettre en facteurs, décomposer en facteurs ou factoriser un nombre ou une expression algébrique, c'est en rechercher les facteurs, s'ils existent.

Par définition, un nombre premier ne peut être factorisé, puiqu'il comporte comme seuls diviseurs lui-même et 1. Un problème important, objet de nombreuses recherches autant en mathématiques qu'en algorithmique est la décomposition d'un nombre en facteurs premiers ; ce problème a surtout des applications en cryptographie.

Dans une expression algébrique, factoriser, c'est utiliser la distributivité de la multiplication comparé à l'addition, pour transformer l'expression en un produit : a, b et c étant donnés, la relation

a×b + a×c = a× (b + c)

permet de mettre a en facteur.

D'une façon plus générale, étant donné a₁, a₂, …, a_n, a, la relation a×a₁ + a×a₂ + … + a×a_n = a× (a₁ + a₂ + … + a_n) sert à mettre a en facteur. a est nommé facteur commun.

Exemple

Dans l'expression :

A = (x − 2) (3x + 5) + (2x + 7) (2 − x)

on peut mettre (x - 2) en facteur, soit :

A = (x − 2) [ (3x + 5) − (2x + 7) ]

A = (x − 2) (x − 2)

A = (x − 2) ²

Pour factoriser, les identités remarquables peuvent être d'une grande utilité.

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